高三--空间立体几何综合复习(一)(教师)---副本.doc

高三 空间立体几何综合复习（一） 一、选择题一、选择题 1、已知ABC 的斜二测直观图是边长为 2 的等边ABC，那么原 ABC 的面积为 解析：如图：作 CD平行于 y轴，交 x轴于 D， 在ADC中，由正弦定理得： aSABC 222. a sin2 3 2 sin 46 1 266 答案：2 6 2、 （2012 年高考（北京） ）某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（ B ） A286 5 B306 5 C56 12 5 D60 12 5 3一个体积为 12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为( A ) 3 A6 B8 3 C8 D12 3 5一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为 12，则正视图中 x 的值 8 5 3 为( c ) A5 B4 C3 D2 6、某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段， 在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的最 大值为（ c ） A2 2 B2 3 C4 D2 5 7、对于不重合的两个平面与，给定下列条件： 存在平面，使得、都垂直于； 存在平面，使得、都平行于； 内 有不共线的三点到的距离相等； 存在异面直线 m、n，使得 m/，m/，n/，n/ 其中，可以判定与平行的条件有（ B ） A1 个 B2 个C3 个D4 个 8.有五根长都为 2 的直铁条，若再选一根长都为 a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能 够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 a 的取值范围是 ( d ) (A)（0,62） (B)（1, ） (C) (62,62） (D) （0,）2 32 3 变式：设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1,2和a且长为a的棱与长为2的棱异面, 则a的取值范围是（ a ） A(0,2)B(0, 3) C(1,2)D(1, 3) 9、如图，在棱长为 1 的正方体中，分别为棱的中点， 1111 ABCDABC DEF， 11 AABB， 为棱上的一点，且则点到平面的距离为（ ）G 11 AB 1 (01)AGG 1 D EF 3 2 2 2 3 5 5 1 D 1 C C B A E 1 A G F 1 B D n m k 10、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为 111 ABCABC 1 AABC 的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ D ）BCAB 1 CC （A） （B） （C） (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 4 5 4 7 4 3 4 解：设的中点为 D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成BC 1 A 1 A AB AB 1 CC 的角,由三角余弦定理，易知.故选 D w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB 11、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为 111 ABCABC 1 AABC 的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ B ）ABC 1 ABABC AB CD 1 3 2 3 3 3 2 3 答.B由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高 1 AABCa 1 3ABa （即点到底面的距离） ，故与 2222 1 236 () 323 AOaAOaaa 1 BABC 1 AB 底面所成角的正弦值为.ABC 1 1 2 3 AO AB 12、若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱 0 60 形，则该棱柱的体积等于( B ) （） （） （） （）22 23 24 2 【解】：如图在三棱柱中，设， 111 ABCABC 0 1111 60AABAAC 由条件有，作于点， 0 111 60C AB 111 AOABC 面O 则 0 11 1 0 11 coscos6013 cos coscos3033 AAB AAO B AO 1 6 sin 3 AAO 11 2 6 sin 3 AOAAAAO 故选 B 1 111 1 1 0 12 6 2 2 sin602 2 23 AO ABC A BCA B C VSAO 13、 （2012 年高考（新课标） ）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上, ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且2SC ;则此棱锥的体积为（ A ） A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 提示 O-ABC 为正四面体(讲正四面体的内外接球的半径位置)， = 0 ABC V 1 2 S ABC V 讲 正四面体中的异面直线成角情况（对边情况；中线情况） 变式：已知正四面体 A-BCD，设异面直线 AB 与 CD 所成的角为，侧棱 AB 与底面 BCD 所成的角为，侧面 ABC 与底面 BCD 所成的角为，则（ B ） A. B. C. D. 解析：取底面 BCD 的中心点 O，连接 AO,BO,易知,取 BC 的中点 E，连接ABO AE、OE，易知，易知，延长 BO 交 CD 于 F，则，AEO 2 0 CDBF 又，即，CDAO ABFCD平面ABCD 2 14、如图，在斜三棱柱中，则在底面 ABC 111 CBAABC 90BACACBC 11 C 上的射影 H 必在（ A ） A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 AC 上 D.内部ABC 如图，由,所 BBCABBCACABAC 11, , 以,在平面 ABC 上 1 ABCAC平面 1 ABCABCABCAC平面，所以平面平面 1 C 的射影 H 必在两平面交线 AB 上 15、已知矩形 ABCD，AB=1，BC=。将ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻 折，在翻折过程中。 ( B ) A.存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直. B.存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直. C.存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直. D.对任意位置，三对直线“AC 与 BD” ， “AB 与 CD” ， “AD 与 BC”均不垂直 解 , , ACBDAEC EC 过A作BD 的垂线交与E点，连结EC , 若则BD平面， 那么BD这是不可能的。 故选择 B,BCBCAC若AD而C D那么BC而这是不可能的。 16、过正方体 1111 ABCDABC D的顶点 A 作直线 L，使 L 与棱AB,AD, 1 AA所成的角都 相等，这样的直线 L 可以作 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 【答案】D 【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第 一类：通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC1，第二类：在图形外部和每条棱 的外角和另 2 条棱夹角相等，有 3 条，合计 4 条。 17、正方体 ABCD的棱上到异面直线 AB，C的距离相等 1 A 1 B 1 C 1 D 1 C 的点的个数为（C） A2 B3 C. 4 D. 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】：C 【解析】解析如图示，则 BC 中点，点，点，点分别到两异面直线的距离相等。 1 BD 1 D 即满足条件的点有四个，故选 C 项。 18、在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为棱 AA1，CC1的中点，则在空间中与三条 直线 A1D1，EF，CD 都相交的直线（ D ） A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条 19、与正方体 1111 ABCDABC D的三条棱AB、 1 CC、 11 AD所在直线的距离相等的点( D ) （A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个 （C）有且只有 3 个 （D）有无数个 【答案】D上的所有的点 20、已知直线与平面所成角为，P 为空间一定点，过 P 作与，所成角都是a30a 的直线 ，则这样的直线 可作（ A ）45ll A.2 条 B.3 条 C.4 条 D.无数条 法 1：圆锥法 法 2：与法向量 21、已知二面角的大小为，P 为平面外的一定点，则过点 P 且与l50、 所成的角都是的直线的条数为（ B ）、25 A.2 B.3 C.4 D.5 法法 1：直接与平面的关系，找中间位置：直接与平面的关系，找中间位置 法法 2：与法向量成：与法向量成 65 22、已知异面直线 a,b 所成的角为，空间中有一定点 P，过 P 点作直线 ，使得 与 a,b60ll 所成的角为，则这样的 有（ A ）条15l A.0 B.2 C.3 D.无数 解法同上解法同上 23、已知二面角的大小为，过外一定点的平面，与平面和平面l70, 所成的角都是的平面的个数为（ B ）45 A.1 B.2 C.3 D.4 转化为转化为 三个法向量之间的关系三个法向量之间的关系 24、在正三棱锥 P-ABC 中，M 为内(含边界)一动点，且点 M 到三个侧面ABC PAB、PBC、PCA 的距离成等差数列，则点 M 的轨迹是（B ） A.一条折线段 B.一条线段 C.一段圆弧 D.一段抛物线 B.提示：如图由于正三棱锥 P-ABC 的三个侧面积相等，因此，点 M 到三个侧面 PAB、PBC、PCA 的距离成等差数列等价于三个三棱锥 M-PAB、M-PBC、M-PCA 的体积 成等差数列，即,所以，从而 PCAMPABMPBCM VVV 2 ABCMPBCM VV 3 ,故点 M 的轨迹是经过的重心且平行于 BC 的一条截线段 ABCMBC SS 3 1 MBC 25、已知正方体的棱长为 1，点 P 在线段上，当最大时， 1111 DCBAABCD 1 BDAPC 三棱锥 P-ABC 的体积为（B ） 9、 B. C. D. 24 1 18 1 9 1 12 1 26、如图所示，M、N 是正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 A1A 和 AB 的点，若 =，那么的大小是（ C ） 1 NMC90 1 NMB A、大于 B、小于 C、等于 D、不能确定909090 D C D B A C A B F E D1C1 A1 B1 AB C D M N 27、如图，正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E、F 分别是 A1D1，CC1的中点，P 为 A1B1上的 一动点，则 PF 与 AE 所成的角为（ C ） A、 B、 C、 D、不能确定456090 28、如图，在棱长为、如图，在棱长为 1 的正方体的正方体 ABCDA1B1C1B1D1中，点中，点 P 在线段在线段 AD1上运动，给出上运动，给出 以以下四个命题：下四个命题： 异面直线异面直线 C1P 与与 CB1所成的角为定值；所成的角为定值； 二面角二面角 P-BC1-D 的大小为定值；的大小为定值； 三棱锥三棱锥 D-BPC1的体积为定值；的体积为定值； 异面直线异面直线 A1P 与与 BC1间间 的距离为定值。其中真命题的个数为的距离为定值。其中真命题的个数为( D ) A1B2 C3D4 29、 (2010 北京)如图，正方体 ABCD- 1111 ABC D 的棱 长 为 2，动点 E、F 在棱 11 AB 上，动点 P，Q 分别在棱 AD，CD 上，若 EF=1， 1 A E=x，DQ=y，D（，大于零） ，则四 面体 PE的体积 ( D ) （）与，都有关 （）与有关，与，无关 （）与有关，与，无关 （）与有关，与，无关 30、如图，正方体的棱线长为 1，线段上有两个动点且DCBAABCD DBFE, ，则下列结论中错误的是（D ） 2 2 EF D1C1 A1 B1 AB C D P F E A B C D A1 B1 C1 D1 O A. ACBE B. / /EFABCD平面 C. 三棱锥的体积为定值ABEF D. 异面直线所成的角为定值,AE BF 31、已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于 2 的等边三角形，SA垂直于底面 ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 （A） 3 4 (B) 5 4 (C) 7 4 (D) 3 4 【解析】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。 过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E，连结 SE，过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F，连 BF，正三角形 ABC， E 为 BC 中点， BCAE，SABC， BC面 SAE， BCAF，AFSE， AF面 SBC，ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角，由正三角形 边长 3， 3AE ，AS=3， SE=2 3，AF= 3 2， 3 sin 4 ABF 32、正方体 ABCD- 1111 ABC D中，B 1 B与平面 AC 1 D所成角的余弦值为 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的 求法，利用等体积转化求出 D 到平面 AC 1 D的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想 的具体体现. 【解析 1】因为 BB1/DD1,所以B 1 B与平面 AC 1 D所成角和DD1与平面 AC 1 D所成 A B C S E F 角相等,设 DO平面AC 1 D，由等体积法得 11 D ACDDACD VV ,即 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD .设 DD1=a, 则 1 22 1 1133 sin60( 2 ) 2222 ACD SAC ADaa A, 2 11 22 ACD SAD CDa A. 所以 1 3 1 2 3 33 ACD ACD SDDa DOa Sa A ,记 DD1与平面 AC 1 D所成角为,则 1 3 sin 3 DO DD ,所以 6 cos 3 . 【解析 2】设上下底面的中心分别为 1, OO； 1 O O与平面AC 1 D所成角就是B 1 B与平面AC 1 D所成角， 1 11 1 36 cos1/ 32 OO OOD OD 33、在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分 1111 ABCDABC D 1 B 1 BD 11 ABCD 别为和，则下列命题中正确的是（ C ）hd A若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为 h d (0,1) B若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为 h d 2 2 3 (,) 23 C若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为 h d 2 3 (,2) 3 D若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为 h d 2 3 (,) 3 【答案】C 解析设底面边长为 1，侧棱长为，过作。(0) 1 B 1111 ,B HBD BGAB 在中，由三角形面积关系得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11 Rt BB D 2 111 2,2B DB D 设在正四棱柱中，由于， 111 1 2 1 2 2 B D BB hB H B D 1 ,BCAB BCBB 所以平面，于是，所以平面，故为BC 11 AAB B 1 BCBG 1 BG 11 ABCD 1 BG 点到平面 的距离，在中，又由三角形面积关系得 11 ABCD 11 Rt AB B P A B C 于是，于是 111 1 2 11 AB BB dBG AB 2 2 2 211 21 2 2 h d 当，所以，所以1 2 2 21 23,11 32 )2, 3 32 ( d h 34、如图所示，在正方体中，E 是棱 1111 DCBAABCD 的中点，F 是侧面上的动点，且 1 DD 11C CDD ,则与平面所成角的正切值构成的集合是（C）. BEAFB 11 /平面FB1 11C CDDA2 . B 5 5 2 . . C222| ttD 25 5 2 |tt 35、正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为自变量，则相邻两侧面所成二面角的余x 弦值与之间的函数解析式是（ A ）)(xfx A. B. C. D. 2 )( 2 2 x x xf 2 2 2 )( x x xf 2 )( 2 2 x x xfxxf 3 3 )( 36、如图是一个由三根细铁杆组成的支架，三根细铁杆的两夹角都是，一个半径为 160 的球放在该支架上，则球心到的距离为（ C C ）P . . C. D.22 3 2 3 37、用一个边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢.现2 将半径为 1 的球体放置于蛋巢上,则球体球心与蛋巢底面的距离为( B ) A. B. 21 2 31 2 C. D. 51 2 51 2 二填空题二填空题 38、设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使 二面角ADEB为 45 ，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所 成角的大小等于_90 变式：等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为ABCABDEABCABD ，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 3 3 MN，ACBC，EMAN， 答案：.设，作 1 6 2AB COABDE 面， ，则，为二面角的平面角OHABCHABCHOCABD ，结合等边三角形3,cos1CHOHCHCHOABC 与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则ABDE3ANEMCH , 11 (), 22 ANACAB EMACAE 11 () () 22 AN EMABACACAE 1 2 故所成角的余弦值EMAN， 1 6 AN EM AN EM 39、已知 O 为三棱锥 P-ABC 的顶点 P 在平面 ABC 上的射影，若 PA=PB=PC，则 O 为 ABC 的 _外_心；若有，则 O 为ABC 的_垂_心；若 P 到ABC,PABC PBAC 三边的距离相等，则 O 为ABC 的_内_心 ；三个侧面与底面所成的二面角相等， 平面 ABC，垂足为 O，O 为底面ABC 的_内_心.PO 40、在平面几何里， “设ABC 的两边 AB、AC 相互垂直，则” ， 222 ABACBC 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以 M N D C B A 得 出正确结论是：“设三棱锥 A-BCD 的三个侧面两两相互垂直，则_三个侧面面积的平方和 等于底面的平方和_” 。 41、正方体的截面不可能是钝角三角形；直角三角 形；菱形；正五边形；正六边形.下述选项 正确的是（ B ） B. B. C. D. 42、如 图，平 行六面体中，以顶点 A 为端点 1111 DCBAABCD 的三条棱长都为 1， 且两两夹角为，则与 AC 夹角的余弦值60 1 BD 为 6 6 方法：基向量法方法：基向量法 43、如图，在正三棱锥 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点， EFDE，且 BC1，则正三棱锥 ABCD 的体积是 . 2 24 44、如图，二面角l 的大小是 60，线段AB.Bl， AB与l所成的角为 30.则AB与平面所成的角的正弦值是 . 解析：过点 A 作平面 的垂线，垂足为 C，在 内过 C 作 l 的垂线.垂足为 D 连结 AD，有三垂线定理可知 ADl， 故ADC 为二面角l 的平面角，为 60 又由已知，ABD30 连结 CB，则ABC 为AB与平面所成的角w_w_w.k*s 5*u.c o*m 设 AD2，则 AC3，CD1 A B C D AB 0 sin30 AD 4 sinABC 3 4 AC AB 答案： 3 4 45、在正三棱柱中，AB=1，边 AB 上有一点 P，锐二面角 111 CBAABC 1 AA 、的大小分别为，则的最小值为 111 BCAP 111 ACBP、)tan( 。提示设 AP=，易得 13 38 x 433 32 tantan1 tantan )tan( 2 xx 46直三棱柱 ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若 ABACAA12，BAC120，则此球的表面积等于_ 解析：在ABC 中 ABAC2，BAC120，可得 BC2，由正弦定理，可得ABC 外 3 接圆半径 r2，设此圆心为 O，球心为 O，在 RtOOB 中，易得球半径 R，故此 5 球的表面积为 4R220. 答案：20 47、如图，在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC, 分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为 1 S， 2 S， 3 S，则 1 S， 2 S， 3 S的大小关系为 。 【答案】 321 SSS 【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方 体验证结论，特殊化，令边长为 1，2，3 得 321 SSS。 三、解答题三、解答题 48、如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形， SABCDAB CDABCCDSAB 2,1ABBCCDSD （I）证明：平面 SAB；SD （II）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。 50、(07 全国)四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底SABCDABCDSBC 面已知，ABCD45ABC 2AB 2 2BC 3SASB （）证明；SABC （）求直线与平面所成角的大小SDSAB 解法一： （）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面SOBCOAOSBCABCDSO ABCD 因为，所以，SASBAOBO 又，故为等腰直角三角形，45ABC AOBAOBO 由三垂线定理，得SABC （）由（）知，依题设，SABCADBC 故，由，得SAAD2 2ADBC3SA 2AO ，1SO 11SD 的面积SAB 2 2 1 11 2 22 SABSAAB A 连结，得的面积DBDAB 2 1 sin1352 2 SAB AD A 设到平面的距离为，由于，得DSABh D SABSABD VV ， 12 11 33 h SSO SAA 解得2h 设与平面所成角为，则SDSAB 222 sin 1111 h SD 51、在四面体 ABCD 中，AB=AC=1，AD= , 是正三角形 0 90BAC3BCD O D B C A S D B C A S C.求证：ADBC D.求 AB 与平面 ACD 所成的角 D C A B (取 CB 中点 E 连结 EA、ED) 52、已知四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形，底面 ABCD 为菱形， 0 60BAD （1）求证： 0 90PBC （2）若 PB=3,求直线 AB 与平面 PBC 所成的角 53、如图，在四棱锥中，底面 ABCD 是矩形，已知 AB=3,AD=2,PD=,PABCD2 2 =PAB 0 60 1、 证明：平面 PABAD 2、 求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小 3、 求二面角 P-BD-A 的大小 54、如图已知矩形过作平面,再过作交于94 10,ABCDASA ACAAESBSB 作交于EEFSCSCF P A D C B A D BC P 求证： 1AFSC 若平面交于，求证：. 2AEFSDGAGSD 55、如图，在三棱锥中，底面，于，PABCPA ABC90ABC AEPBE 于，若，则当的面积最大时的值为AFPCF2PAABBPCAEFtan 多少？ j P AB C F E 解：因平面，则又，故平面，故平面PA ABCPABCBCACBC PAC 平面，PBC PAC ，在.,2,2AFPCAFPBC AFEF PAABAEPBAE 22 2222 ,( 2)21 2 AFEF Rt AEF AFEFAEAFEF A 因此 111 1 222 AEF SAFEF A 当且仅当时，上式中等号成立，即AFEF 取得最大值 AEF SA 1 2 这时，又，由三垂线定理的逆定 2 11AEEFEFEF ,AFPBC AEPB G F E C A B D S 理，得，在中，由，知FEPBRt PEFA2,1PEEF 12 tan 22 56、如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，ABCDACEF ，是线段的中点。2AB 1AF MEF （1）求证：平面；AMBDE （2）求二面角的大小；ADFB （3）试在线段上确定一点，使得与所成的角ACPPFBC 是60 57、如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共ABCDABDACDAD 的斜边，且，。另一个侧面是正三角形。3AD 1BDCDABC （1）求证：ADBC （2）求二面角的大小BACD （3）在线段上是否存在一点，使与面成角？若存在，确定点的位ACEEDBCD30E 置；若不存在，请说明理由。 58、如图，在三棱锥中，PABC90APB ，平面平面。60PAB ABBCCAPAB ABC （）求直线与平面所成角的大小；PCABC （）求二面角的