[理学]多元函数积分法及其应用.ppt

,第 九 章,多元函数微分法及其应用,一、平面点集的基本知识,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,91 多元函数的基本概念,（1）点的邻域,一、平面点集的基本知识,（2）区域,例如，,即为开集,从几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是连成一片的. E 中的点都可用折线连接.,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,例如，,(3) 聚点,若对任意给定的 ,点P 的去心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,邻域,内总有E 中的点 ,则,称 P 是 E 的聚点.,聚点可以属于 E , 也可以不属于 E,(因为聚点可以为,E 的边界点 ), 内点一定是聚点；,说明：,类似地可定义三元及三元以上函数,定义域D；值域z z = f (x,y), (x,y)D 自变量x,y；因变量z。,二、二元函数定义,解: 与一元函数类似. 就是要求使这个式子有意义的平面上的点的集合.,例1. 求 z = ln (x + y)的定义域 D , 并画出D的图形.,x + y 0. 故 定义域 D = (x, y)| x + y 0,x + y = 0,x,y,o,如图,y x,D,(不包括直线x + y = 0),例2 求 的定义域,解,所求定义域为,二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,91 多元函数的基本概念,三、二元函数的极限,一、 二元函数的极限,说明：,（2）定义中 的方式是任意的；,（1）二元函数的极限也叫二重极限, 若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.,则可以断定函数极限,则有,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,以不同方式趋于,不存在 .,例. 讨论函数,函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,确定极限不存在的方法：,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例 求极限,解,其中,二、多元函数的连续性,定义3,若 f (P) 在 D 上每一点都连续, 则称 f (P) 在 D 上连续, 记为 f (P) C (D).,注,1. 二元函数 f (X)在 X0 连续必须满足三个条件. 在 X0 有定义, 在 X0 的极限存在, 两者相等,2. 多元连续函数的和, 差, 积, 商(分母不为0)以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数.,定义可推广到三元以上函数中去.,二元连续函数的几何意义:,定义在区域 D 上的二元连续函数z = f (X) = f (x, y)表示了在D上的一片没有 “空洞“, 没有 “裂缝“ 的连续曲面.,这里条件 “D 是一区域“ 是必要的. 若D不是区域, z = f (X)可能不是通常意义下的连续曲面.,例7 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,例如:,分别在半平面 x0；x2+y22；(x,y)(0,0)内连续。,例 设,解,因此,例8,解,函数不连续的点称为间断点。,间断点：,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方