[理学]第四章质点系动量.ppt

一 、质心 质点系的牛顿第二定律 二、质点（线）动量、（线）冲量、动量定理 三、 质点系的动量定理、动量守恒定律及其应用 四、碰撞,一个特殊的点,上述物体的运动是一个平动和转动的合成。,一、质心,转动和平动的合成,上述二个例子中，物体上总有一点的运动是纯平动，这个特殊的点是物体的质心。,物体的运动，可以看做 物体质心的运动 物体相对质心的运动。,什么是质心(Center of mass)？ 物质系统按质量分布的加权平均中心。 引入质心后，物体或物体系的运动相当于所有质量都集中在质心，所有外力都作用于质心时的运动。 如何确定质心位置（坐标）？,两个质点系统的质心 m1和m2的位置分别为x1和x2，质心位置的定义为：,M = m1+m2 -系统的总质量,三维的情形：,推广到n个质点的情形：,用位置矢量 来表示质心：,质心的位矢：,连续实体的质心位置 将质点换成质量元dm，下面的累加 变为积分形式,对体积为V的均匀物体，密度为 = dm/dV = M/V，即dm = (M/V)dV，于是,1)坐标系的选择不同，质心的坐标也不同；但质心相对位置与坐标系选择无关； 2)对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处 3)质心不一定在物体上。,例如：,例题1 计算质心位置,）杆长为L，线密度为，为离杆一端的距离，为常量，求杆质心坐标。（xc=2/3L）,2) 均质圆环的质心,) 半圆环的质心，线密度为,4) 均质圆盘的质心,5) 半圆盘的质心，面密度为,例2 很薄的条状材料被弯曲成半径为 R 的半圆， 求其质心。 解：带子是沿着y轴对称的， 因此有：,一个小质量元dm可表示为,例3 一个半径为2R圆金属盘，其中一个半径为R的圆盘已经被移掉了。 求：金属盘的质心 (x) 。,完整大圆盘的质心,?,解：由于圆盘绕x轴对称，质心一定在x轴上。如果园孔被半径为R的相同金属填满，合成金属盘的质心在坐标轴的原点上。,二、质点系的牛顿第二定律(质心运动定律),质心位置rc,质心速度Vc,质心加速度ac,将牛顿第二定律应用于质点系，可以得到：,上式中 是作用在系统上的所有外力；M 是系统的总质量； 是系统质心的加速度。 写成x, y, z 三个分量的形式：,质心运动定律：作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统质心加速度的乘积。,它与牛顿第二定律在形式上完全相同，相当于系统的质量全部集中于系统的质心，在合外力的作用下，质心以加速度 ac 运动。合外力等效于作用在质心上。,公式 的证明： 对n个质点的系统，根据前面有：,将上式对 t 求二次导数，得到,各质点上所受的力为：,三、线动量 (Linear momentum) momentum的定义： 单位：kgm/s,即：物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量,动量是矢量，大小为 mv，方向就是速度的方向； 表征了物体的运动状态, 是个瞬时量。,质点系的线动量 对于质点系，系统的总动量定义为各个质点的动量之矢量和：,结论：系统内各质点的动量的矢量和等于系统质 心的速度与系统质量的乘积,牛顿第二定律可以表示为：,即：合力的瞬时作用等于动量在该时刻的变化率,四、冲量(Impluse) 动量定理,F从t1时刻作用到t2时刻，动量的增量为dp对时间的积分，从t1 积分到 t2,定义: 称为冲量,若质点受恒力，在t时间内所受的冲量为：,即：物体动量的改变 dp 不仅取决于相互作用力 F 的大小，还依赖于力所作用的时间 dt。,将牛顿定律表示为：,则,说明：,冲量,动量定理,F是作用在质点上的所有合外力在t1t2时间内的通式。,动量定理的分量表示,动量定理的成立条件惯性系。,动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力作用时间两个因素，即冲量决定的,冲量的图示：,利用动量定理计算平均冲力,利用冲力：减小作用时间冲床 避免冲力：增大作用时间 轮船靠岸时的缓冲,在力作为时间的函数图F(t)中, 冲量就代表F(t)曲线下面的面积。,作 业,1， 3， 9， 13， 17,1质心的计算,回顾：,物体质量均匀，且形状具有对称性时可简化计算,2质心运动定律,3 动量、冲量、动量定理,状态量, 是瞬时矢量。,单个物体动量：,质点系总动量：,冲量,定理可以采用分量式表示，只可用于惯性系,质点动量的改变是由冲量，也即外力和外力作用时间两个因素决定的,= 0.20 + 0.02,= 0.22 ( N ),（向上）,例2 质量m1=0.24kg的小车在光滑水平面上以初速度0.17m/s做直线运动。忽然它与一辆静止的质量m2=0.68kg的小车相撞。第一辆车装有对其他物体施加力的大小的监测器。测得力随时间的变化如图所示。 求：碰撞后每辆车的速度。,解：由图上曲线的积分可以求得曲线下的面积，即冲量J，然后由 J 等于动量变化，分别求出二辆车的速度大小及方向。,J = (1110)/2 =5510-3 kgm/s,p1=-J, p2=J p1f = m11+p1= m11-J = -0.014kgm/s p2f = 0+ p2 = +0.055kgm/s 1f = p1f/m1= -0.058m/s 2f = p2f/m2 = +0.081m/s,例3 质量为0.14 kg的棒球以42m/s的速度水平前进，用球拍击打它，球拍打后棒球运动方向为与水平方向成35o角，速度为50m/s (a)标出球所受到的冲力方向。 (b)如果撞击持续1.5 ms，平均 冲力是多少？ (c)求球拍的动量的变化？,解：初始球的动量沿水平-x方向,打击后，球沿x方向以35o角运动，其动量的二分量为：,(1) 冲力方向：与x轴夹角,(2) 平均冲力：,(3) 球拍的动量变化,冲量的二分量为,五、质点系的动量定理,1、两个质点的情况,作用在两质点组成的系统的合外力的冲量，等于系统内两质点动量之和的增量，即系统动量的增量。,2、多个质点的情况,质点系的动量定理： 作用在系统的合外力的冲量等于系统动量的增量,(线)动量守恒定律(Conservation of momentum),当系统所受合外力为零时，即F外=0时，系统的动量的增量为零，即系统的总动量保持不变,动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方向为零时）,如果系统是孤立（合外力为零）和封闭（没有 和外界的质点交换）的，则,说明,守恒的意义：动量守恒是指系统的总动量的矢量和不变，而不是指某一个质点的动量不变。 守恒的条件：系统所受的合外力为零。 在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多） - 近似守恒条件。 内力的作用：不改变系统的总动量，但可以引起系统内动量分布的变化,动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 虽然是由牛顿定律导出，但是比牛顿定律更普遍。,如炮身的反冲：,设炮车以仰角发射炮弹。 炮身和炮弹的质量分别为m0和m， 炮弹在出口处相对炮身的速率为v，试求炮身的反冲速率？ （设地面的摩擦力可以忽略）,解题步骤： 1选好系统，分析要研究的物理过程； 2进行受力分析，判断守恒条件； 3确定系统的初动量与末动量； 4建立坐标系，列方程求解； 5必要时进行讨论。,注意： 动量守恒是相对于同一个惯性系而言的， 因此所有的物理量都要转化为同一个惯性系里的量。,例题1：水平光滑铁轨上有一车，长度为l，质量为m2，车的一端有一人（包括所骑自行车），质量为m1，人和车原来都静止不动。当人从车的一端走到另一端时，人、车各移动了多少距离？,解：以人、车为系统，在水平方向上不受外力作用，动量守恒。,例2 一个质量为9.8kg的射弹从和地面成54o角的方向以12.4m/s的速度向上发射，一段时间后，子弹爆炸成两份，其中一份质量为6.5kg，它在时间1.42s时的高度为5.9m，和发射点的水平距离为13.6m。 求：此刻另一份的位置。 解：如果射弹没有爆炸，射弹在时间 t = 1.42 s 的位置应该是：,这是质心的位置,?,?,Cm,Cm,y,x,五、变质量体系问题,动量守恒的应用例子-分析火箭的加速运动 火箭在惯性参考系中加速，忽略重力和大气阻力，作为一维运动处理（为什么可以这样处理？）。 在t = t，火箭的质量为M，速度为， 到t=t+dt，火箭质量减少为M-dM，减少的质量作为喷射的废弃物以速度U 相对于惯性系沿与火箭相反的方向运动，而火箭的速度变为+d。 根据动量守恒求火箭的速度 Pi = Pf M = -dMU + (M+dM)(+d),M = -dMU + (M+dM)(+d) 设火箭相对于废弃物的速度rel 整理得 Md =-dMrel 两边除以dt，得到,取 ，称为火箭的质量损失速率，得到,令 Rrel = T，称为火箭的推力，则,(第一火箭方程),则,火箭的最终速度： 由,(第二火箭方程),Mi / Mf 叫做质量比,火箭在地面上起飞：,Mg,火箭运动方程：,考虑外力火箭运动的速度公式,多级火箭,质量比Ni =Mi-1 / Mi,但级数越多，技术越复杂。一般采用三级火箭。,例题：一长为 l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的密度为。将其卷成一堆放在地面上（1）若手握链条的一端，以匀速v 将其上提当绳端提离地面的高度为x 时，求手的提力;（2）以匀速a将其上提当绳端提离地面的高度为x 时，求手的提力。,以变质量体系来考虑,解：,（1） v=Const,（2） a=Const,六、碰撞 什么是碰撞？碰撞是两个（或以上的）物体在相对短的时间内以相对强的力发生相互作用的过程。（假定碰撞前和碰撞后物体间的相互作用力可以忽略，力的作用只发生在碰撞的一瞬间。） 在碰撞时，两物体间相互作用力的大小相等方向相反。 碰撞是一种非常普遍的机械运动过程，同时又是在其他物理领域中所经常发生的过程。 如：气体分子的碰撞、电子在导体中运动时与原子的碰撞、光与物体的相互作用、微观粒子之间的碰撞，打网球，天体相碰，汽车相碰。等。许多物理学家都把他们的时间花在玩“碰撞游戏”上。,碰撞引起两个物体运动速度大小和方向的改变。 讨论碰撞问题，要从动量定理和机械能关系来分析其规律，即碰撞前后运动状态所满足的方程。,1、碰撞中的动量与动能 讨论孤立、封闭的体系 孤立isolated系统不受到净外力 封闭closed与外界没有质量交换 动量必定是守恒的每个碰撞物体的动量可以改变，但系统的总动量不会改变。,接触阶段：两球对心接近运动 形变产生阶段：两球相互挤压，最后两球速度相同 动能转变为势能 形变恢复阶段：在弹性力作用下两球速度逐渐不同而分开运动势能转变为动能 分离阶段：两球分离，各自以不同的速度运动,完全弹性碰撞： 碰撞前后系统动能守恒 非弹性碰撞： 碰撞前后系统动能不守恒 （由于非保守力的作用，两物体碰撞后，部分机械能转换为其他形式的能量。） 完全非弹性碰撞： 碰后系统以相同的速度运动,2、碰撞分类：,弹性碰撞,完全非弹性碰撞,正碰：一维问题，碰前、碰后速度沿质心连线,斜碰：一般为三维问题， 若v20=0，则为二维问题。,3、一维碰撞,两球m1，m2对心碰撞，碰撞前速度分别为v10 、v20，碰撞后速度变为v1、v2,由上面两式可得：,由动量守恒,动能守恒,弹性碰撞,(4)/(3)得,碰撞前两球相互趋近的相对速度（v10-v20 ）等于碰撞后两球相互分开的相对速度（v2-v1 ）,由（3）、（5）式可以解出,若v20=0,讨论,若m1=m2，则v1=v20，v2=v10，两球碰撞时交换速度。 若m2m1，且v20=0，则v1v10，v22v10， 即一个质量很大的球体，当它的与质量很小的球体相碰时，它的速度不发生显著的改变，但是质量很小的球却以近似于两倍于大球体的速度运动。 若m1m2，且v20=0，则v1 - v10，v2=0，m1反弹， 即质量很大且原来静止的物体，在碰撞后仍保持不动，质量小的物体碰撞后速度等值反向。,若v20=0,作 业,18， 20，22， 23， 27,讨论,若m1=m2，则v1=v20，v2=v10，两球碰撞时交换速度。 若m2m1，且v20=0，则v1v10，v22v10， 即一个质量很大的球体，当它的与质量很小的球体相碰时，它的速度不发生显著的改变，但是质量很小的球却以近似于两倍于大球体的速度运动。 若m1m2，且v20=0，则v1 - v10，v2=0，m1反弹， 即质量很大且原来静止的物体，在碰撞后仍保持不动，质量小的物体碰撞后速度等值反向。,若v20=0,例：原子核式结构的发现,汤姆逊模型,一团带正电的物质中镶嵌着电子, 粒子轰击,结果：大部分 粒子通过，小部分以大角度被反弹回来, 卢瑟福核式模型,完全非弹性碰撞,碰撞后系统以相同的速度运动 v1=v2=v,动能损失为,动量守恒,非弹性碰撞,恢复系数,牛顿提出碰撞定律：碰撞后两球的分离速度v2-v1与碰撞前两球的接近速度v10-v20之比为一定值，比值由两球材料的性质决定。该比值称为恢复系数。,完全非弹性碰撞： e=0，v2=v1 完全弹性碰撞： e=1， v2-v1 = v10-v20 非完全弹性碰撞： 0e1,例题：,一质量为的物体，一侧系有一处于压缩状态的轻弹簧，其倔强系数为， 压缩量为，并用细绳系住，一质量为()的物块以初速正撞击弹簧，碰撞过程中弹簧放松。 求碰后两物块的速度。,m, V,M,机械能守恒,动量守恒,解,质心的速度com 在封闭的孤立系统中，质心的速度不会因碰撞而改变（因为没有外力的作用）。 证明： 由二个物体组成的一个系统的总动量为：,用质心速度来表示总动量 由上面二式得到,4、二维碰撞,两体碰撞可以是速度方向不同的二个质点的碰撞，或二个弹性球的非对心碰撞。一般情形，二物体碰撞前后的动量是共面的，因而是二维碰撞。,二维碰撞后，物体的运动