2019版高考数学二轮复习限时检测提速练17最值与范围问题.docx

限时检测提速练(十七)最值与范围问题A组1如图，在矩形ABCD中，|AB|4，|AD|2，O为AB的中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足，直线AQ与BP的交点在椭圆E：1(ab0)上(1)求椭圆E的方程；(2)设R为椭圆E 的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值解：(1)设AQ与BP的交点为G(x，y)，P(2，y1)，Q(x1,2)，由题可知，从而有，整理得y21，即为椭圆E的方程(2)由(1)知R(2,0)，设M(x0，y0)，则y0，从而梯形ORMN的面积S(2x0)y0，令t2x0，则2t4，S，令u4t3t4，则u12t24t34t2(3t)，当t(2,3)时，u0，u4t3t4单调递增，当t(3,4)时，u0，u4t3t4单调递减，所以当t3时，u取得最大值，则S也取得最大值，最大值为2(2018资阳三诊)已知A1，A2为椭圆E：1(ab0)的左、右顶点，|A1A2|2，离心率为(1)求椭圆E的方程；(2)设动点P(2，t)(t0)，记直线PA1，PA2与E的交点(不同于A1，A2)到x轴的距离分别为d1，d2，求d1d2的最大值解：(1)由|A1A2|2得2a2，则a又由e得，c1，所以 b2a2c21故椭圆E的方程为y21(2)不妨设t0.直线PA1的方程为xy，直线PA2的方程为xy，设直线PA1，PA2与E的交点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得y2y0，可得y1又由得y2y0，可得y2则d1d2因为t26，当且仅当t23取等号，所以，即(d1d2)max.当且仅当t取等号3(2018石嘴山一模)已知椭圆E：1(ab0)过点，两个焦点的坐标分别为(1,0)，(1,0)(1)求E的方程；(2)若A，B，P(点P不与椭圆顶点重合)为E上的三个不同的点，O为坐标原点，且，求AB所在直线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值解：(1)由已知得c1,2a2，a，b1，则E的方程为y21(2)设AB：xmyt(m0)代入y21得(m22)y22mtyt220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，8(m22t2)，设P(x，y)，由，得yy1y2，xx1x2my1tmy2tm(y1y2)2t，点P在椭圆E上，1，即1，4t2m22，在xmyt中，令y0，则xt，令x0，则y三角形面积S|xy|2，当且仅当m22，t21时取得等号，此时240，所求三角形面积的最小值为4(2018河南联考)已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45时，AB的中垂线交y轴于点Q(0,5)(1)求p的值；(2)以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧MN的长度为S，当直线l绕F点旋转时，求的最大值解：(1)F，当l的倾斜角为45时，l的方程为yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x22pxp20，x1x22p，y1y2x1x2p3p，得AB中点为D，AB中垂线为 yp(xp)，将x0代入得yp5，p2(2)设l的方程为ykx1，代入x24y得x24kx40，|AB|y1y22k(x1x2)44k24，AB中点为D(2k,2k21)，令MDN2，则S2|AB|AB|， D到x轴的距离|DE|2k21，cos 1，当k20时cos 取最小值，的最大值为，故的最大值为B组1(2018“皖南八校”联考)设椭圆C：1(ab0)的离心率为e，椭圆C上一点M到左右两个焦点F1，F2的距离之和是4(1)求椭圆的方程；(2)已知过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形AMBF1面积的最大值解：(1)依题意，2a4，a2，因为e，所以c1，b2a2c23，所以椭圆C方程为1(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB：xmy1，则由可得3(my1)24y212，即(3m24)y26my90，36m236(3m24)144(m21)0，又因为，所以四边形AMBF1是平行四边形，设平行四边形AMBF1的面积为S，则S2SABF12|F1F2|y1y2|224设t，则m2t21(t1)，所以S2424，因为t1，所以3t4，所以S(0,6，所以四边形AMBF1面积的最大值为62(2018山西模拟)已知抛物线E：x24y的焦点为F，P(a,0)为x轴上的点(1)过点P作直线l与E相切，求切线l的方程；(2)如果存在过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且直线PA与PB的倾斜角互补，求实数a的取值范围解：(1)设切点为Q，则y|xx0k1Q点处的切线方程为y(xx0)l过点P，(ax0)，解得x02a或x00当a0时，切线l的方程为y0，当a0时，切线l的方程为y0或axya20(2)设直线l的方程为ykx1，代入x24y得x24kx40设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.由已知得kPAkPB0，即0，2kx1x2(1ka)(x1x2)2a0.把代入得，2ak22ka0，当a0时，显然成立，当a0时，方程有解，48a20，解得a，且a0综上，a3(2018江西联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率与双曲线1的离心率互为倒数，且过点P(1)求椭圆C的方程；(2)过P作两条直线l1，l2与圆(x1)2y2r2相切且分别交椭圆于M、N两点 求证：直线MN的斜率为定值； 求MON面积的最大值(其中O为坐标原点)解：(1)可得e，设椭圆的半焦距为c，所以a2c，因为C过点P，所以1，又c2b2a2，解得a2，b，所以椭圆方程为1(2)显然两直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由于直线l1，l2与圆(x1)2y2r2相切，则有k1k2，直线l1的方程为yk1(x1)，联立方程组消去y，得x2(4k3)k1(128k1)x(32k1)2120，因为P，M为直线与椭圆的交点，所以x11，同理，当l2与椭圆相交时，x21，所以x1x2，而y1y2k1(x1x2)2k1，所以直线MN的斜率k设直线MN的方程为yxm，联立方程组消去y得x2mxm230，所以|MN| ，原点O到直线的距离d，OMN面积为S，当且仅当m22时取得等号经检验，存在r，使得过点P的两条直线与圆(x1)2y2r2相切，且与椭圆有两个交点M，N所以OMN面积的最大值为4(2018揭阳二模)已知椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，圆C2经过椭圆C1的两个焦点和两个顶点，点P在椭圆C1上，且|PF1|2，|PF2|2 (1)求椭圆C1的方程和点P的坐标；(2)过点P的直线l1与圆C2相交于A、B两点，过点P与l1垂直的直线l2与椭圆C1相交于另一点C，求ABC的面积的取值范围解：(1)设F1(c,0)，F2(c,0)，可知圆C2经过椭圆焦点和上下顶点，得bc，由题意知2a|PF1|PF2|4，得a2，由b2c2a2，得bc，所以椭圆C1的方程为1，点P的坐标为(2,0)(2)由过点P的直线l2与椭圆C1相交于两点，知直线l2的斜率存在，设l2的方程为yk(x2)，由题意可知k0，联立椭圆方程，得(2k21)x28k2x8k240，设C(