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文档简介

第三节 向量组的秩,最大线性无关向量组 矩阵的秩与向量组秩的关系 例题 小结,既可理解为矩阵的秩,也可理解成向量组的秩.,定理3,定理3:若向量组B能由向量组A线性表示，则RBRA.,根据定理3,有,故 rs。,等价的向量组的秩相等。,推论,问：反之是否成立？,例2,例3：,结论,例,相关,例4,解,故,结论：矩阵的初等行（列）变换不改变矩阵的列（行）向量组之间的线性关系。,最大线性无关向量组的概念： 最大性、线性无关性, 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩矩阵列向量组的秩 矩阵行向量组的秩, 关于向量组秩的一些结论： 一个定理、三个推论, 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换,四、小结,思 考 题,判断正确与否：,第四节 线性方程组的解的结构,齐次线性方程组解的性质 基础解系及其求法 非齐次线性方程组解的性质 例题详解 小结,两个重要定理：,(1) n元齐次线性方程组Ax=0有非零解R(A)n;,(2) n元非齐次线性方程组Ax=b有解R(A)=R(A,b),当R(A)=R(B)=n时，方程组有唯一解； 当R(A)=R(B)=rn时，方程组有无限多个解。,解向量的概念,设有齐次线性方程组,一、齐次线性方程组解的性质,矩阵方程,称为方程组(1) 的解向量, 它也就是向量方程(2)的解,证明,性质1：,性质2：,证明,证毕.,基础解系的定义,二、基础解系及其求法,齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。,齐次线性方程组基础解系的求法,上式记作：,说明,定理7：,现对 取下列 组数：,依次得,合起来便得基础解系：,几何意义,解：,例1 求齐次线性方程组的基础解系与通解.,解,对系数矩阵A 作初等行变换,变为行最简形矩阵,有,例2,证明,故,证明,例3,证明：,例4,证明,练习 求解线性方程组,故原方程组的通解为,基础解系为,练习：设有齐次线性方程组Ax=0与Bx=0，其中A,B 均为mn矩阵，现有4个命题：,若Ax=0的解均是Bx=0的解，则R(A)R(B); 若R(A)R(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0与Bx=0同解，则R(A)=R(B)； 若R(A)=R(B)，则Ax=0与Bx=0同解,以上命题中正确的是 (A) a, b (B) a,
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