浙江2020版高考数学第七章数列与数学归纳法7.5数学归纳法讲义（含解析）.docx

7.5数学归纳法最新考纲考情考向分析会用数学归纳法证明一些简单的数学问题.以了解数学归纳法的原理为主，会用数学归纳法证明与数列有关或与不等式有关的等式或不等式在高考中以解答题形式出现，属高档题.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立概念方法微思考1用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立因为n0N*，所以n01.这种说法对吗？提示不对，n0也可能是2,3,4，.如用数学归纳法证明多边形内角和定理(n2)时，初始值n03.2数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？提示不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可3有人说，数学归纳法是合情推理，这种说法对吗？提示不对，数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法，它是演绎推理题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用()(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项()(4)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()(5)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.()题组二教材改编2P99B组T1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()A1B2C3D4答案C解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n3.3P96A组T2已知an满足an1anan1，nN*，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_.答案345n1题组三易错自纠4用数学归纳法证明1aa2an1(a1，nN*)，在验证n1时，等式左边的项是()A1B1aC1aa2D1aa2a3答案C解析当n1时，n12，左边1a1a21aa2.5对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(k1，kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，Tn3n.(1)解因为Sn2an2，所以当n2时，anSnSn12an2an1，即an2an1.又由S12a12a1，得a12，所以数列an是以2为首项，2为公比的等比数列故an22n12n.因为点P(bn，bn1)在直线xy20上，所以bnbn120，即bn1bn2.又b11，所以数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列故bn12(n1)2n1.(2)证明易知Sn2an22n12，Tnn2，所以2SnTn3n，即2n2n23n4(n2，nN*)方法一用数学归纳法证明如下当n2时，因为2n216，n23n414，所以不等式成立；假设当nk(k2)时，不等式成立，即2k2k23k4成立，那么当nk1时，由k2得k2k0，所以2k322k22(k23k4)2k26k8(k2k)(k25k8)k25k8(k1)23(k1)4，所以2(k1)2(k1)23(k1)4，所以当nk1时，不等式成立综合可知，对任意的n2，nN*，不等式2SnTn3n成立故得证方法二用二项式定理证明如下：因为n2，nN*，所以2n2222n4(11)n4(CCC)4(CCC)42n22n4n23n4(n2n)n23n4，所以2n2n23n4，故得证题型三归纳猜想证明例2(2018浙江名校协作体考试)已知函数f(x).(1)求方程f(x)x0的实数解；(2)如果数列an满足a11，an1f(an)(nN*)，是否存在实数c，使得a2nca2n1对所有的nN*都成立？证明你的结论解(1)由f(x)x0，得x，即x4或x.(2)存在c使得a2na2n1.因为f(x)，当x(0,1时，f(x)单调递减，所以f(x).因为a11，所以由an1，得a2，a3，且0an1.下面用数学归纳法证明0a2na2n11.当n1时，因为0a2a111，所以当n1时结论成立假设当nk时结论成立，即0a2kf(a2k)ff(a2k1)f(1)，从而a2k1a2k，因此ff(a2k1)ff(a2k)f，即0fa2k2a2k1f1，所以当nk1时，结论也成立综上所述，对一切nN*,0a2n1时，对x(0，a1，有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1时，存在x0，使(x)nln(n1)证明如下：方法一上述不等式等价于，x0.令x，nN*，则ln.下面用数学归纳法证明当n1时，ln2，结论成立假设当nk(k1，kN*)时结论成立，即ln(k1)那么，当nk1时，ln(k1)ln(k1)lnln(k2)，即结论成立由可知，结论对nN*成立方法二上述不等式等价于，x0.令x，nN*，则ln.故有ln2ln1，ln3ln2，ln(n1)lnn，上述各式相加可得ln(n1).结论得证1若f(n)1(nN*)，则f(1)的值为()A1B.C1D非以上答案答案C解析等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n1，则当n1时，最大分母为5，故选C.2已知f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的关系是()Af(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2Bf(k1)f(k)(k1)2Cf(k1)f(k)(2k2)2Df(k1)f(k)(2k1)2答案A解析f(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2.3利用数学归纳法证明不等式1f(n)(n2，nN*)的过程中，由nk到nk1时，左边增加了()A1项Bk项C2k1项D2k项答案D解析令不等式的左边为g(n)，则g(k1)g(k)1，其项数为2k112k12k12k2k.故左边增加了2k项4用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)2答案D解析等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2.故nk1时，最后一项是(k1)2，而nk时，最后一项是k2，应加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.5设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足当f(k)k1成立时，总能推出f(k1)k2成立，那么下列命题总成立的是()A若f(1)2成立，则f(10)11成立B若f(3)4成立，则当k1时，均有f(k)k1成立C若f(2)，假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_答案解析观察不等式中分母的变化便知7已知f(n)1(nN*)，经计算得f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，则其一般结论为_答案f(2n)(n2，nN*)解析观察规律可知f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，故得一般结论为f(2n)(n2，nN*)8用数学归纳法证明不等式的过程中，由nk推导nk1时，不等式的左边增加的式子是_答案解析不等式的左边增加的式子是.9若数列an的通项公式an，记cn2(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn_.答案解析c12(1a1)2，c22(1a1)(1a2)2，c32(1a1)(1a2)(1a3)2，故由归纳推理得cn.10用数学归纳法证明(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(nN*)时，从nk到nk1时左边需增乘的代数式是_答案4k2解析用数学归纳法证明(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(nN*)时，从nk到nk1时左边需增乘的代数式是2(2k1)11已知正项数列an中，对于一切的nN*均有aanan1成立(1)证明：数列an中的任意一项都小于1；(2)探究an与的大小关系，并证明你的结论(1)证明由aanan1，得an1ana.在数列an中，an0，an10，ana0，0an1，故数列an中的任何一项都小于1.(2)解由(1)知0a11，那么a2a1a2，由此猜想an.下面用数学归纳法证明：当n1，且nN*时猜想正确当n1,2时已证；假设当nk(k2，且kN*)时，有ak成立，那么，ak1aka22，当nk1时，猜想正确综上所述，对于一切nN*，都有an.12(2018浙江诸暨中学模拟)数列an满足an1anan1(nN*)(1)当ann2对一切正整数n都成立时，a1应满足什么条件？(2)证明：存在无数个a1的取值，使得对一切正整数n都有(k1)2.综上，当且仅当a13时，ann2对一切正整数n均成立(2)证明由(1)知，当a13时，ann2，an1anan1an(ann)1an(n2n)12an1(nN*)于是，an112(an1)22(an11)2n(a11)(nN*)，从而，对任意的iN*，所以.欲使，只需a13.所以只要a13，)，不等式对任意的正整数n均成立，即满足要求的a1的取值有无数多个13设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()A若f(1)1成立，则f(10)100成立B若f(2)4成立，则f(1)1成立C若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立D若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立答案D解析当f(k)k2成立时，f(k1)(k1)2成立，当f(4)16时，有f(5)52，f(6)62，f(k)k2成立14n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？解设这些半圆最多互相分成f(n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证当n2时，由图(1)知两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f(2)422；当n3时，由图(2)知三个半圆交于三点，则分成9段圆弧，故f(3)932；当n4时，由图(3)知四个半圆交于六点，则分成16段圆弧，故f(4)1642；由此猜想，满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f(n)n2.用数学归纳法证明如下：当n2时，上面已证；假设当nk时，f(k)k2，那么当nk1时，第k1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k1个半圆分成k1段，这样又多出了k1段圆弧所以f(k1)k2k(k1)k22k1(k1)2，即满足条件的k1个半圆被所有的交点最多分成(k1)2段圆弧由可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧15(2018绍兴模拟)已知函数f(x)axx2的最大值不大于，又当x时，f(x).(1)求a的值；(2)设0a1，an1f(an)，nN*，证明：an.(1)解由题意，知f(x)axx22.又f(x)max，所以f(x)