科学营参营资格测试试题及答案评分标准.pdf

1/3 2014 年北京大学物理科学营资格测试试题年北京大学物理科学营资格测试试题 2014 年 6 月 21 日上午 9:00-12:00 总分：140 分 时间：3 小时 + 考生须知 1、 本次考试为闭卷考试，可以使用没有记忆功能的计算器； 2、 不要在本试题纸上写解答；请把解答写在答题纸上； 3、 答题纸每页边框之外一律不能写解答，阅卷时将忽略边框之外的所有内容； 4、 考生可以用监考人员发的草稿纸打草稿，但需要阅卷老师评阅的内容一定要写到 答题纸上，阅卷老师只评阅答题纸上的内容，写在草稿纸上的解答一律无效； * 一、简答题（30 分） 1.（6 分）如图所示，三个带电质点分别位于oxy平面的x轴 和y轴上，A带正电，B带负电，C带正电，它们的电量多少均属 未知，设A、B、C只受到它们之间库仑力的作用。将A、B、C 同时从静止自由释放后瞬间，它们各自加速度的x、y方向分量分 别记为 Ax a、 Bx a、 Cx a和 Ay a、 By a、 Cy a。这些分量都带有正负号， 例如倘若 Ax a取正 （即0 Ax a） ， 则表示A的加速度沿x方向分量与x 轴正方向一致。 请不必进行论证地直接写出这 6 个分量中，哪些分量的正负号可以判定。 2.（8 分）如图所示，在某竖直平面内有一个固定圆环，圆环内 又有一个圆内接的固定长方形空心闭合细管道 12 ABCB A，沿对角线 AC还有一根竖直的空心细管道。静止的小球可以从A端出发，沿 1 ABC管道到达C端，其中从A到 1 B所经时间记为 1 AB t，从 1 B到C所 经时间记为 1 B C t；小球也可沿AC管道到达C端，所经时间记为 AC t； 小球也可沿 2 AB C管道到达C端，其中从A到 2 B所经时间记为 2 AB t， 从 2 B到C所经时间记为 2 B C t。 已知系统处处无摩擦， 小球在 1 B、 2 B处拐弯时不会损失机械能， 且 1 AB边长短于 1 BC边长。 请不必进行论证地从上述 5 个时间量中， 首先写出彼此相等的时间量， 而后在余下的时间 量中写出最大者和最小者（若余下的时间量只有 1 个，则最大者与最小者相同） 。 3.（8 分）已知 234 1111 1 2222 s 是一个有限量，求解s的一个方法如下所述： 23423 11111111 111 22222222 s 等号右边括号内的求和数列右侧无穷远处虽然比等号左边求和数列少了一项，但该项趋于零， 2/3 在极限意义下两个求和数列结构相同，故有 234 11111 11 22222 ss 即可解得2s 。请借鉴此种求解s的方法，解答下述两小问。 （1） 无限梯形电阻网络如图 1 所示， 试求A、B间等效 电阻 AB R，并参考上文，写出求解过程。 （2）无限梯形电阻网络如图 2 所示，试求A、B间等效 电阻 AB R，并参考上文，写出求解过程。 4.（8 分）右下图示的均匀直试管的侧壁上已经定标。所 谓试管已装满液体，意即内盛的液体刚好达到标识线PQ，便称5ml（5 毫升）为该试管的有 效容积，或简称为容积。 今有尚未定标的均匀直试管A和B，另有足量的备用液体以及可为A、B 灌液体的简便装置（灌液器） ，但装置上没有量化标识。需要时可以将液体灌 入A或B内，A（或B）管内的液体也可部分或全部倒入B（或A）管内，也 可以倒回灌液器。此外还为你提供一支可在试管壁上刻划标识线的手用尖笔。 （1）已知A容积为3ml，B容积为5ml，试以ml为单位，为A、B定标； （2）已知A容积为5ml，B容积为8ml，试以ml为单位，为A、B定标。 解答时，必须简单写出关键性操作。 二、计算题（110 分） 5.（16 分）水平地面上有一个三角形鼓包如图所示，两个 质量未必相同的静止小物块同时从鼓包顶峰两侧自由释放后 均能沿斜面下滑， 且分别在图中P点和Q点停下。 设两个小物 块与斜面和水平地面间的摩擦因数为相同的常数， 再设两小球 在转弯处均不弹起且不损耗机械能。 （1）试问图中的四个长度量 1 l、 1 l 、 2 l、 2 l之间满足什么样的关系？ （2） 将左侧物块运动到P点和右侧物块运动到Q点所经时间分别记 为 1 t和 2 t，将摩擦因数记为，试求比值 12 :tt，答案可用图中角参量 1 、 2 和参量表述，不可含有参量 1 l、 1 l 、 2 l和 2 l。 （3）取 1 2 3 ， 1 30o， 2 60o，计算值。 6.（18 分）如右上图所示，半径R、折射率1n 的透明琥珀球内，小 虫P嵌在直径AOB中，靠近B端，与球心O相距r。琥珀球放在空气中， 空气折射率 0 1.0n 。取 R r n ，设P是一个点光源，只考虑从P射出的 光线直接从球面出射的光学效果，试求从琥珀球的两侧可观看到的球面上 被照亮的区域面积之和S。 3/3 数学参考公式：上页下方图示的球冠（不含底圆面）面积为 2SRh 7.（20 分）如图所示的平面圆环是一个与外界绝热且自身封闭的O形 盒的俯视截面图，图中未能显示盒的厚度。盒中有三片质量可略的可动隔 板，将O形盒的内部空间等分为体积同为 0 V的三个互不连通的区域 1、2、 3， 其内各装有比热为常量的同种理想气体， 初始温度和压强分别为 10 T、20T、 30 T和 10 p、 20 p、 30 p。而后因压强不均等且隔板导热，使隔板各自绕O形 盒中央轴无摩擦地转动，设隔板最后停下。 （1）试求此时区域 1、2、3 各自温度和压强 1 T、 2 T、 3 T和 1 p、 2 p、 3 p； （2）再设 102030 :1:2:3TTT， 102030 :3:2:1ppp，再求此时区域 1、2、3 各自体积 1 V、 2 V、 3 V，答案中只能出现参量 0 V。 8. （30 分） 相互垂直的匀强电场E 与匀强磁场B 的方向如图所示。 比荷为的带正电粒子，在图中场区a处速度方向与B 垂直，与电场 线成30o角。经过一定时间到达图中b处时，速度大小第一次增为a处 速度大小的2倍，速度方向第一次与电场线成60o角。不考虑重力， 试求： （1） 粒子在而后的运动过程中， 速度方向与电场线方向平行时的 速度大小； （2）粒子在而后的运动过程中，速度方向与电场线方向垂直时的速度大小； （3）a、b间距ab。 9.（26 分）惯性系s、 s 间的相对关系如图所示，O、 O 重合时 0t t 。 s 系中0t 时， 静质量同为 0 m的质点A、B分别静止在 x 轴上xl ， xl 两处。0t 开始，A、B在 s 系中同时以恒定大 小的加速度 0 a朝着 O 点作匀加速运动。 s 系中A、B在 O 处相碰后 成为一个大质点，设碰撞过程中A、B构成的系统无任何形式的能量耗散。已知 3 5 vc， 2 0 9 50 c a l 。 （1）试求大质点在s系中的质量M。 （2） 试问s系中A开始加速时，B与A相距多远？再问B开始加速时，A与B相距多远？ 1/11 2014 年北京大学物理科学营资格测试试题年北京大学物理科学营资格测试试题 参考解答与评分标准参考解答与评分标准 1.（6 分） Ay a、 Bx a、 By a、 Cx a （4 1.5分） 2.（8 分） 12 ABACAB ttt（对 1 个 2 分，对 2 个 3 分，对 3 个 4 分） 大者为 1 BC t，小者为 2 B C t（2 2分） 3.（8 分） （1） 13 AB RR （4 分） （2） 1 2541 4 A B ABAB A B R R RRRR RR （4 分） 4.（8 分） （1）A管已可定标3ml，B管已可定标5ml； A管先装满液体，再全部倒入B管； A管又装满液体，再部分倒入B管，使B管刚好装满液体； 此时A管中留有1ml液体，可为A管定标1ml； 将B管液体倒尽，A管可累次将1ml液体倒入B管， 逐次为B管定标1ml、2ml、3ml、 4ml； 将A管液体倒尽，B管可一次将2ml液体倒入A管，为A管定标2ml。 （4 分） （2）A管已可定标5ml，B管已可定标8ml； A管5ml液体，全部倒入B管； 2/11 A管5ml液体，再部分倒入B管，使B管刚好装满液体； 此时A管中有2ml液体，可为A管定标2ml； 用A管每次将2ml， 分三次为全空B管注入6ml液体，B管再将6ml液体逐渐注入全 空A管，使A管刚好被装满； 此时B管中留有1ml液体，可为B管定标1ml； 继而参考（1）问解答，完成A、B管全部需补充的定标。 （4 分） 5.（16 分） （1）左、右两个小物块质量分别记为 1 m 、 2 m ，将题文所述摩擦因数记为，由功能关系 和几何关系可得 1 1111111 1 costan cos l m gm glm gl （2 分） 2 2222222 2 costan cos l m gm glm gl （2 分） 1122 tantanll （2 分） 即得所求关系为 1122 llll （2 分） （2）将鼓包顶端距地面高度记为h，左侧物块到斜面底部时的速度记为 10 v ，则有 2 1 1011111 1 1 cos1cot 2sin h mvm ghm gm gh 101 21cotvgh （2 分） 从顶端到达P点所经时间为 1 1010 1 11 11 1cot 21 sincossin1cot vvh t ggg （2 分） 同理可得 2 2 22 1cot 21 sin1cot h t g （2 分） 即有 1 1 11 2 2 22 1 sin 1 sin t t （ 11 1cot， 22 1cot） （3）将 1 2 3 ， 1 30o， 2 60o代入上式，可得 3/11 2 26 1.19 2 2 10 5 （2 分） 6.（18 分） P点发出的一对正、 反向光线， 其光路和对应的几何参量如题 解图所示，其中、间的关系式为 sinsinn （4 分） 全反射对应的入射角临界值满足关系式 2 1 sinsinsinn n （3 分） 此临界值对应的右侧角可由 sinsin1 sinsin R Rrrn （3 分） 确定。对右侧区域，此时h右的计算式为 cos1coscossinsinhRRR 右 （2 分） 对左侧区域，此时h左的计算式为 cos1coscossinsinhRRR 左 （2 分） 球面被照亮的面积便为 2 2241 coscosSRhRhR 右左 （2 分） 将 2 11 sincos1n nn ； 11 sincos1n nn 代入，得 2 1 411 n SRn n n （2 分） 7.（20 分） 将气体摩尔质量、比热分别记为、c；区域 1、2、3 内的气体摩尔数分别记为 1 、 2 、 3 。系统末态温度处处相同，记为 e T ；压强处处相同，记为 e p 。 （1）由 00 0 i i i p V T R ，1 2 3i 、 （2 分） 123110220330e cTcTcTcT （3 分） 得 102030 123 102030 102030 e ppp TTTT ppp TTT （2 分） 4/11 再由 1020300 0123 102030 3 eee pppV pVRTRT TTTR （3 分） 将上式代入，即得 123102030 1 3 e ppppppp （2 分） （2）由 102030 123123 102030 : ie i e ppp RT VV VV p TTT （3 分） 102030 :3:2:1ppp， 102030 :1:2:3TTT 得 123 1 :3:1: 3 V VV （3 分） 因 1230 3VVVV，即有 10 27 13 VV， 20 9 13 VV， 30 3 13 VV （2 分） 8.（30 分） 带电粒子始终在与B 垂直的题图平面上运动，任意时刻速度记为v ，受力 Fq EvB q：粒子正的电量 （2 分） 将v 分解为 12 vvv （1 分） 使得 1 0q EvB 1 v 方向：在题图平面上与E 垂直向上 大小： 1 E v B （2 分） 12 Fq EvBqvB 粒子的运动分解为： 1 v 匀速直线运动 （1 分） 2 v 速率的匀速圆周运动 a处速度如题解图 1 所示分解，有 2 3 cos30 2 o xaa vavv， 211 1 sin30 2 o yaa vavvvv （下面的计算表明 2y va取负，故题解图 1 中画成向下，因此对 应的 a 也对应取负。 ）得 22222 22211xyaa vvavavvvv b处速度如题解图 2 所示分解，有 2 1 cos60 2 o xbb vbvv， 5/11 211 3 sin60 2 o ybb vbvvvv 得 22222 22211 3 xybb vvbvbvvvv 比较两个 2 2 v表达式，得 22 11 3 aabb vv vvv v 由题文所给关系，有 2 ba vv 代入上式，得 1 61 a vv 于是有 1 2 32 b vv 2222 211121 93 693 6 aa vvv vvvvv，1 E v B （4 分） （1）与电场线平行时速度v 参考题解图 3，v 由 1 v 与 2 v 合成，得 2222 211 83 683 60.81 EE vvvvv BB （4 分） 此结果与第几次出现v 无关。 （2）与电场线垂直时的速度v 或如题解图 4 所示，为 211 193 610.29 E vvvv B （3 分） 或如题解图 5 所示，为 211 293 612.29 E vvvv B （3 分） （3）a、b间距ab 在a处 21 33 23 22 xa vavv 211 163 0 22 ya vavvv 题解图 1 中的 a 取负，有 2 2 3 23 cos 2 93 6 x a va v ， 6/11 2 2 63 sin0 2 93 6 y a va v 63 arcsin0.216 2 93 6 a rad 在b处 21 11 2 32 22 xb vbvv 211 36 2 22 yb vbvvv 题解图 2 中的 b 取正，有 2 2 2 32 cos 2 93 6 x b vb v ， 2 2 46 sin 2 93 6 y b vb v 46 arcsin0.647 2 93 6 b rad 粒子的 2 v 速率的匀速圆周分运动周期和圆半径R分别为 2 m T qB ， 2 2 93 6 mE mv R qB qB m：粒子质量 将 q B 代入，得 2 T B ， 2 93 6 E R B 从 a 转到 b 经时 0.863 2 ba tT B 此时间段内 1 v 匀速直线分运动沿y轴位移量 2 11 0.863E yv t B （4 分） 参考题解图 6， 2 v 匀速圆周分运动从a到b的x、y轴位移量分别 为 2 2 1 sinsin72 6 2 ab E xRR B （2 分） 2 2 1 coscos4 23 3 2 ab E yRR B （2 分） 或表述为 2 2 1.05Ex B ， 2 2 0.230Ey B 得a、b间距 7/11 1 2 22 212 abxyy 2 1.52Eab B （2 分） 另解：另解：设 a 处速度大小 a v ，b 处速度大小 b v ，参量B. maqEqvB aEvB xy yx vEBv vBv 2 xyx vvv 通解 2 21 cos()1 sin()2 xa ya vvt vvtv （） （ ） 代入 a 处初值求解 v1、v2、a： 2 3 cos 2 xaaa vvv （3） 21 1 sin 2 yaaa vvvv （4） 2 1 sin 2 xayaaa aEvEvv （5） 由（4） 、 （5）解得 1 11 / 22 aa vvEvE B （6） 进一步解得 2 2 22 211 2 12 31 7 22 cos3/ 28 sin2/ 29 aaaa aa aa vvvvvvv vv vvv （ ） （ ） （ ） 有 b 处已知条件及方程（1） 、 （2） ； （7） 2 ba vv 2 22 12bxby vvvv 2222 1111 26 aaaa vv vvvv vv 1 61 a vv （10） 2 211 ( 61)( 61) 193 6vvv （11） B E x y 8/11 （8） 、 （9）及（10）给出（8） 、 （9）及（10）给出IV a 象限 象限 1 63 sin0.216rad 2 93 6 a （12） 1） 1）vE 时 时 21 sin()0 ya vvtv （13） 12 sin()/ a tvv 22 21 2 2 cos() a vv t v （14） 速度大小速度大小 2 cos() xa vvvt 22 211 83 60.807/vvvE B （15） 2）vE 时时 2cos( )0 xa vvt （16） sin()1 a t 此时 21y vvv 速度大小 211 ( 93 61) (2.285/0.285)/ y vvvvv E B （17） 3）由（1） 、 （2）积分得 2 1 2 11 sin()8 cos()19 a a v xtx v ytyvt （1 ） （ ） 选取 a 位置为坐标原点：0 aa xy 则 12 12 sin/ cos/ a a xv yv （20） 代入（8） 、 （9）整理得 2 1 2 1 1 sin()/ 2 3 cos()/ 2 aa aa v xtvv v ytvtv 设经 t0时间到达 b 点，并令 0ab t 9/11 则 2 21 12 cos 22 36 sin 22 bab bab vvv vvvv 解得 2 12 22 32 cos/0.798 2 2 93 6 646 sin/0.603 2 2 93 6 ba ba vv vvv 由已知条件知I b 象限 1 sin0.6030.647rad b 0 /0.863/ ba t 2 1 1 11 1 sin/ 2 661 21 22 7 61.050 2 bba v xvv v vv 21 11 111 3 cos/() 2 32 6161() 22 0.2300.8631.093 bbaba ba vv yv vv vvv 22 1 2 1.5161.516 bb vE abxy B 2 1.52Eab B 9.（26 分） （1） s 系中A、B碰前瞬间速度大小同为 0 3 2 5 e ua lc （1 分） 此时A、B质量同为 0 0 2 2 5 4 1 e m mm u c （2 分） 10/11 碰撞过程中能量守恒，即质量守恒，得大质点质量为 0 5 2 2 Mmm （1 分） 大质点在 s 系中静止，其静质量为 00 5 2 MMm （2 分） s系中大质点沿x轴匀速运动，速度为v，故质量为 0 0 2 2 25 8 1 M Mm v c （2 分） （2）s系中A开始加速的时刻 A t ，B开始加速的时刻 B t 分别为 22 2