吉林省辽源市田家炳高级中学2019届高三数学上学期期末考试试题文（含解析）.docx

吉林省辽源市田家炳高级中学（第六十六届友好学校）2019届高三数学上学期期末考试试题 文（含解析）第卷一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：解得，又，则，则，故选A.考点：一元二次不等式的解法，集合中交集运算.2.以为准线的抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】确定抛物线的开口及的值即可得解.【详解】易知以为准线的抛物线焦点在x轴的负半轴上，且，开口向右，所以.故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程的求解，属于基础题.3.已知a为函数f（x）=x312x的极小值点，则a=A. 4 B. 2 C. 4 D. 2【答案】D【解析】试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点在可导函数中，函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，时，则是极小值点，如果时，时，则是极大值点.4.记为等差数列的前项和,若, 则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得：，由等差数列的性质可得：，该数列的公差：，故.本题选择B选项.5.若两个单位向量,的夹角为120,则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由根据条件求解即可.【详解】由两个单位向量,的夹角为120,可得.所以.故选C.【点睛】本题主要考查了利用数量积求向量的模长，属于基础题.6.已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先作出x，y满足的可行域，然后平移直线，当直线经过点A（3，0）时取得最大值，求出即可。【详解】作出变量x，y满足的可行域，如下图阴影部分，平移直线，当直线经过点A（3，0）时，取得最大值，所以的最大值为3.故选A.【点睛】本题考查了线性规划问题，属于基础题。7.已知表示两条不同直线, 表示平面, 下列说法正确的是( )A. 若则 B. 若则C. 若则 D. 若则【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.考点：空间点线面位置关系【此处有视频，请去附件查看】8.已知函数，则A. 是奇函数，且在R上是增函数 B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数 D. 是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数的性质，可得答案.详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数。故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.9.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】圆的半径，弦长的一半为1，以及圆心到渐近线的距离为，三者满足，解出ab的关系即可求出离心率。【详解】圆的圆心为（2，0），半径，双曲线的渐近线为，即，则圆心（2，0）到直线的距离为解得，则离心率.故答案为C.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，及双曲线的性质，属于基础题。10.已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示, 则该几何体外接球的表面积是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先通过三视图还原该几何体，然后求出该几何体外接球的半径，进而求出该几何体外接球的表面积。【详解】由题意可知该几何体(如下图)是正方体被平面和平面截去三棱锥和三棱锥所剩下的部分，它的外接球和该正方体的外接球一样，设外接球半径为，则，解得，所以该几何体外接球的表面积为.故选D.【点睛】本题考查了空间几何体的三视图及外接球问题，属于中档题。11.在中，若，则的形状一定是（ ）A. 等边三角形 B. 不含60的等腰三角形C. 直角三角形 D. 钝角三角形【答案】C【解析】【分析】结合三角形的性质，对等式进行恒等变换，可以得到，进而求出角是直角，即可选出答案。【详解】由题意知，所以题中等式可转化为：，即，则，故，所以角为直角，即的形状一定是直角三角形。故答案为C.【点睛】本题考查了三角形的性质，及三角恒等变换，属于基础题。12.已知函数在定义域内可导,若且,记,则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由可以得到函数图象的对称轴，由,可以得到函数的单调性，进而可以比较的大小关系。【详解】由得函数的图象关于对称，则，又因为，所以当时，此时函数为单调递增函数；所以，即.故答案为D.【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性，属于基础题。第II卷二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分）13.曲线 恒过定点_.【答案】(4,3)【解析】【分析】由即可得解.【详解】由，知曲线 恒过定点(4,3).故答案为：(4,3).【点睛】本题主要考查了对数型函数恒过定点问题，属于基础题.14.曲线在点处的切线方程是_【答案】【解析】，故切线方程为，即15.若n是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是_【答案】或 【解析】【分析】根据等比中项的概念求出n值，然后分别利用椭圆、双曲线的性质求解离心率.【详解】由n是2和8的等比中项，得 ，解得n= ，当n=4时，圆锥曲线是焦点在y轴上的椭圆，离心率为 ，当n= -4时，圆锥曲线是焦点在x轴上的双曲线，离心率为故填：或.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，考查了圆锥曲线的离心率的求法，涉及了等比中项的概念，考查了计算能力. 解题的关键是正确运用离心率公式.16.在正方体中, 分别为棱,的中点,则直线与所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】找出直线的平行线，就等于直线与所成的角，求出即可。【详解】如图，取的中点为，连结，则易知，所以与直线与所成的角相等，设正方体的棱长为2，则，连结，则，则.【点睛】本题考查了异面直线的夹角，属于基础题。三、 解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17.的内角所对的边分别为，向量与平行（1）求；（2）若，求的面积【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）由两向量平行的坐标运算列出三角形边角关系的等式，再由正弦定理化边为角，可求得角A；（）由余弦定理（选用角A的等式），求出边，再选用公式可得三角形面积试题解析：(I)因为，所以由正弦定理，得，又，从而，由于所以(II)解法一：由余弦定理，得，而，得，即因为，所以，故面积为考点：向量平行的坐标运算，正弦定理，余弦定理，三角形面积【此处有视频，请去附件查看】18.已知数列是等比数列，,是和的等差中项,（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）将已知条件转化为首项和公比表示，通过解方程得到基本量，从而确定通项为；（）由数列的通项公式得数列的通项，结合特点采用错位相减法求和试题解析：（）设数列的公比为，因为，所以， 1分因为是和的等差中项，所以 2分即，化简得因为公比，所以 4分所以（） 5分（）因为，所以所以 7分则， 9分得，10分，所以 12分考点：数列求通项与求和19.已知函数 （1）求函数的最小正周期；（2）若,求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对函数进行化简，然后利用公式，可求出最小正周期；（2）先求出函数的单调性，然后即可求出值域。【详解】（1），所以最小正周期为，（2）由（1）知又因为，在区间上是减函数，在上是增函数，又，所以函数的值域为.【点睛】本题考查了三角恒等变换及三角函数的单调性，属于中档题。20.如图，在四面体中，点分别是的中点. （1）求证：直线平面（2）求证: 平面平面（3）若平面平面且求三棱锥的体积【答案】（1）见解析； （2）见解析. （3）【解析】试题分析：（1）利用中位线的性质可得到AD即可证明;（2）由题意可知，只需证明BD平面EFC,即可证明平面面；（3）由题意可知，是正三角形，因此可将看成是底面来求三棱锥的体积，由前面可知AD是以为底面时三棱锥的高，分别计算出来代入体积公式即可求解。试题解析：（1）EF是的中位线,所以又 （2）（3）因为面面，且所以,由和得是正三角形所以考点：1.直线与平面平行的判定及性质；2.平面与平面垂直的判定及性质；3.三棱锥体积的求解21.已知椭圆,左右焦点分别为,且，点在该椭圆上.（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线与椭圆C相交于两点，若的面积为, 求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由可以求出，将点代入椭圆方程可以解出与的值，即可得出答案；（2）当直线与轴垂直时，可以求出两点的坐标，即可求出的面积，经计算不符合题意；当直线与轴不垂直时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用弦长公式可以表示出，利用点到直线的距离公式可以表示出到直线的距离，进而得到的面积表达式，求得的值即可得到直线的方程。【详解】（1）因为所以，又点在该椭圆上，所以，又，解得，所以椭圆C的方程为.（2）当直线与轴垂直时，可得，的面积为3，不符合题意。当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入椭圆的方程得，显然成立，设则，所以，用点到直线距离公式可得到直线的距离，所以的面积，化简得解得，因此直线的方程为或.【点睛】处理涉及直线和圆锥曲线交点问题时，一般设出交点坐标，但不求交点坐标，而是用韦达定理作整体运算（把或看作一个整体）。22.已知函数其中为常数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在区间上为单调函数, 求的取值范围.【答案】（1）递增区间，递减区间；（2）.【解析】【分析】（1）将代入函数表达式，然后对函数求导，利用导函数的性质即可求出的单调区间；（2）函数在区间上为单调函数，可以得到导函数在区间上满足或,然后求出的取值范围即可