概率论第三章4事件的独立性.ppt

第四讲 事件的独立性,显然 P(A|B)=P(A),这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.,两事件的独立性,A=第二次掷出6点， B=第一次掷出6点，,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，,设,由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B),用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受P(B)0或P(A)0的制约.,P(AB)=P(B)P(A|B),若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1) 则称A、B独立，或称A、B相互独立.,一、两事件独立的定义,例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的,可见, P(AB)=P(A)P(B),由于 P(A)=4/52=1/13,说明事件A、B独立.,问事件A、B是否独立？,P(AB)=2/52=1/26,P(B)=26/52=1/2,解：,前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做:,从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的,在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.,则 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13 P(A)= P(A|B), 说明事件A、B独立.,在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.,由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立 .,（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）,一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai=第i件是合格品 i=1,2,若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.,因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响.,又如：,因为第二次抽取的结果 不受第一次抽取的影响.,若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立.,请问：如图的两个事件是独立的吗？,即: 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0, 则A与B不独立.,反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0, 则A 、B不互斥.,而P(A) 0, P(B) 0,故 A、B不独立,我们来计算：,P(AB)=0,问：能否在样本空间S中找两个事件,它们既相互独立又互斥?,这两个事件就是 S和,P( S) =P( )P(S)=0,与S独立且互斥,不难发现， 与任何事件都独立.,设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：,前面我们看到独立与互斥的区别和联系，,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),再请你做个小练习.,定理1：若P（B）=0则B与任一事件独立，进而 不可能事件与任一事件独立。,证明：,定理2：若P（B）=1则B与任一事件独立，进而 必然事件与任一事件独立。,证明：,定理3：A与B独立 P (B) =0或P (AB) =P(A).,定理4：若A与B 独立，则A与 ， 与B， 与 也分别独立。,证明：,得A与 独立。,二、多个事件的独立性,将两事件独立的定义推广到三个事件：,若(1)、 (2)、 (3)同时成立，则称事件 A、B、 C两两独立,请注意多个事件两两独立与相互独立 的区别与联系,两两独立,相互独立,对n(n2)个事件,?,推广到n个事件的独立性定义,可类似写出：,包含等式总数为：,设A1,A2, ,An是 n个事件，如果对任意k (1k n),任意1 i1i2 ik n,具有等式 则称A1,A2, ,An为相互独立的事件.,证明：,只需证 相互独立，反复 用此结论，即可得证。,对任意 有：,注释 1. n个事件独立，则其中任意k（2kn） 个事件也独立，反之未必成立， 2. 在实际应用中，独立性往往通过实际 意义判断，而不用定义证明；在理论证 明中，独立性用定义或定理证明。 3. 事件的独立与互斥是两个截然不同的概 念，互斥是指两个事件之间的关系，独 立是指两个事件概率之间的关系。 4. 互斥可用图形表示，而独立不能用图形 表示。,对独立事件，许多概率计算可得到简化：,例2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,将三人编号为1，2，3，,三、独立性的概念在计算概率中的应用,所求为 P(A1A2A3),记 Ai=第i个人破译出密码 i=1,2,3,解：,记 Ai=第i个人破译出密码 i=1,2,3,1,2,所求为 P(A1A2A3),已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4,P(A1A2A3),=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3),3,请看演示,“诸葛亮和臭皮匠”,若n个事件 相互独立，则：,（1）事件 至少有一个发生的 概率为,（2）事件 至少有一个不发生的 概率为,例3. 某种型号的高射炮发一发击中目标的概率 是0.6，现若干门高射炮同时发射，（每门 发一发），问欲以99%以上把握击中飞机， 至少要配置几门高射炮？,设A=飞机被击中，Ai=第i门炮击中飞机，,至少6门炮。,解：,例4. 下面是一个串并联电路示意图. A、B、 C、D、E、F、G、H都是电路中的元件. 它们下方的数是它们各自正常工作的概 率. 求电路正常工作的概率.,P(W)=P(A)P(B)P(CDE)P(FG)P(H),将电路正常工作记为W，由于各元件独立 工作，有,其中,P(CDE)=1-,P(FG)=1-,P(W) 0.782,代入得,解：,这一讲，我们介绍了事件独立性的概念. 不难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分简单，因而也就特别重要和有用. 如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化.,第五讲 重复独立试验、 二项概率公式,n次重复独立试验：,将一个试验重复进行n次，如果在每次试验中， 任一事件出现的概率与其他各次试验的结果无 关，则称这n次试验是n次重复独立试验。,注释：,“重复”指每次试验条件相同，每次事件 发生的概率在各次试验中都相同。 2. “独立”指各次试验结果相互独立。,若一个试验只有两个结果：A成功和 失败；则称这个试验为伯努利试验 (Bernoulli试验)。它的n次重复独立试验， 称为n重伯努利试验。 设成功A的概率为P（A）=p，P（ ）=q， p+q=1.,在n重伯努利试验中，成功的次数可能为 0，1，2，n次。关于成功恰好发生k次 （0kn）的概率Pn(k)，有下面的定理：,定理：设在每次试验中成功的概率为p(0p1), 则在n重伯努利试验中成功恰好发生k次的 概率为,二项概率公式,其中p+q=1, k=0,1,2, ,n。,证明：,设Bk=成功A恰好发生k次, Ai =第i次试 验成功， =第i次试验失败，则,推论：,证明：,例2. 设有N件产品，其中有M件次品，今进行 n次有放回抽样（每次抽取一件），求这 n次中共抽取到k件次品的概率？,解：,例1. 连续投n次均匀骰子，求6点恰好出现k次 的概率？（kn）,设A=每次出现6点， =每次不出现6点，,解：,P(A)=1/6=p，,例3. 某人进行射击，每次击中目标的概率均为 0.01,令他独立地射击300次，求恰好有4次 击中目标的概率？,解：,二项概率的泊松逼近定理：如果n,p0 使得np=保持为正常数，则,对k=0,1,2, 一致地成立。（证明见书上）,当0.1p0.9时，可考虑用正态近似，将 在第五章中论述。,P232附表1，泊松分布累积值表,例3（续）n=300, p=0.01, =300*0.01=3.,解：,例4. 一个工厂某产品的废品率为0.005，任取 1000件，求（1）不超过5件废品的概率， （2）其中至少有两件废品的概率。,n=1000, p=0.005 , np=5,（1）设A=废品不超过5件，则