信号分析与处理第二版赵光宙着课后习题参考答案.pdf

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( ) 0 0 2 0 0 2 1 0 1 2 sin()1,2, 1 sin() 2 0 T n T bx tnt dt n T nt dt = = = ? 所以，( ) 1 cos()1,2 222 1 nnt x tsan n =+= = ? (2)指数形式 1 课后答案网 若侵犯 了您的版 权利益，敬请来信通知我们！ 课后答案网 ()( ) 0 0 0 2 0 0 2 1 0 1 0 1 1 0 1 e 1 e 4 11 e 4 T T jnt X nx t T jnt dt jnt jnt = = = dt () () 00 0 0) 0 0 11 ee 4 1 sin( 2 1 2 1 22 jntjnt jn n n Sa n n Sa = = = = 所以， 2 1 ( )() 22 nt j n n x tsae = = (b)周期为0 0 2,T=，信号在一个周期内的表达式为： ( ) sin(),01 0, tt x t aatx 解：先确定是否为周期信号，设 0 0 1 ( )cos() 2 kk k A x tAkt = =+ （1） 00 0000 11 ()cos()cos 22 kkkk kk AA 0 0 x ttAkttAktkt = =+=+ ， 010 AA= 1kk AA= 10kk kt0=，1,2k =? （2） 00 00 11 ()cos()cos() 22 kkk kk AA xtAktAkt k = =+=+ ， 020 AA= 2kk AA= 2kk = ，1,2k =? （3） * * 0 0 1 ( )cos() 2 kk k A x tAkt = =+ * 030 AA=， * 3kk AA= 3kk =，1,2k =? 9 课后答案网 若侵犯 了您的版 权利益，敬请来信通知我们！ 课后答案网 （4）不一定为周期信号，所以不存在傅里叶级数。 t dx)( （5） 00 11 ( ) cos()cos() kkk kk dx tdd AktAkt dtdtdt k = =+=+ 0000 11 sin()cos() 2 kkkk kk kAktkAkt = =+=+ 05 0A =， 50kk AkA= ， 5 2 kk =，1,2k =? （6）的周期为)(tx 0 T a 0 0 1 ()cos() 2 kk k A x atAkat = =+ 060 AA=， 6kk AA= 6kk =， 060 a=，1,2k =? 0 05 1 ()cos() 2 kk k A x atAkt = =+ 7计算下列连续时间周期信号（基波频率= 0 ）的傅立叶系数： k a 由对偶特性 2 , sin() 2 2 ()2()2( ) 2 0, 2 2 t t Sagg t 令4= 2 ,2 4 sin(2) 2( ) 20,2 t g t 12 课后答案网 若侵犯 了您的版 权利益，敬请来信通知我们！ 课后答案网 1,2 sin(2) ( ) 0,2 t g t 2 2 ,2 sin2 (2) ( ) (2)0,2 j j e t eg t （2） 22 2 a t a e a + ， 0a 22 2 )( + = a a f ta efF =)( 1 ， 0a 所以，有 22 2 2 a a e at + （3）由（1）可知： 1 ,2 sin(2)1 2( ) 22 0,2 t g t 2 sin(2)1 1111 ( )*( )( )* ( )( ) () 222288 t gggggg t d + = 1 (4 ),4 8 1 (4),04 8 0 + = 11求下列信号的傅立叶变换。 （1） )2()(= tetf jt （2） ) 1()( )1(3 = tetf t （3） )9sgn()( 2 =ttf （4） ) 1()( 2 += tuetf t （5）) 1 2 ()(= t utf 解：(1)( )()() ()2 1(1) 22 jjtj tjt Fetedttedte + = (2)( ) () () () 31 31 (1)3 1 tj t tj tj de Fetedtj t dt e = =+ = (3)( )()()() 2 6 sgn933( )f ttu tutg=+ t 13 课后答案网 若侵犯 了您的版 权利益，敬请来信通知我们！ 课后答案网 ( )()() ( )() ( )() ( )() 33 11 ( )63 2 2cos3sin363 2cos(3 )123 2123 jj FeeSa jj Sa sa Sa =+ = = = (4)( ) (2)2 2(2) 1 1 (1) 22 jtj tj tjt ee Feu tedtedt jj + + =+= = + (5)()() 22 11 ( )2222 2 jj Fe jj e =+=+ 12试用时域积分性质，求题图 111 所示信号的频谱。 题图 111 解： （1） 1 2 ( )1 ( )()() dx t gttt dt = =+ 1( ) 2()()2()2cos() jj dx t SaeeSa dt += 1 1 ( ) ( ) t dx x td d =，t + atueat0),(atute at （3） （4）0),( atue at )()(costut c （5）)()cos(tut c + （6） 0),()sin( atute c at （7）),(bat a 和 b 为实数 （8） = 0, 0, )( 3 2 te te tx t t 解：(1) )( 11 )( 0 )( 0 )( 0 1 a sa e sa dtedteesX tsatsastat b = = (2) )( )( 1 ) 1 ( 1 )( 2 0 )()( 0 )( 0 2 a sa e sa te sa dttedtetesX tsatsatsastat b = = (3) )( 11 )( 0 )( 0 )( 3 a sa e sa dtesX tsatsa b + = + + =+= c c c c st c st cst cb s s s tsete dtetsX (6) )0( )( sin)( 22 0 )( 6 + = + c ctas cb as dtetsX (7) )( 11 )()()( 7 Re a d a edtebatsX s a b a b s st b = + (8) ( ) 0 32 0 ( ) sttsttst b Xsx t edte edteedt =+ ()() () 0 (3)(2) 0 11 32 11 32 5 23 23 s ts ee ss ss ss t = + =+ + = + + + = + + = += + + ss e s e s dteedteesX tsts sttstt b （2） )()5(sin)()( 54 tutetuetx tt += )4( 1)5(5 1 4 1 5sin)( 2 0 5 0 4 2 + + + = += ss dtetedteesX sttstt b （3） )()()( 32 tuetuetx tt += )3( 3 1 2 1 3 1 2 1 )( 0 )3( 0 )2( 0 3 0 2 3 0。 (10)( )( )( )( ) 8 11 13 ( ) 33 3 3 33/33 s x ttuttut ss + =+=+=+= 零点 s=3, 极点 s=0，收敛域为0。 5若已知的拉普拉斯变换为)(tu s 1 ，收敛域为0se，试利用拉氏变换的性质，求下 列信号的拉氏变换式及其收敛域。 （1）)()cos(tut c （2）)()cos()sin(tutt cc + （3） （4）)()cos(tute at )()cos(tutt c （5） （6） )()cos(tutte c at )(Ttue t （7） （8）)(Ttute t )(tt 4 课后答案网 若侵犯 了您的版 权利益，敬请来信通知我们！ 课后答案网 （9） （10） )( 2 tt = 0 )( k k kTta 解：(5)() ( ) 22 cos () at c c sa et u t sa + + 利用双边拉普拉斯变换的复频域微分特性 () () 2 2 222 2 2 cos() ( ) () atc c c c sadsa tet u t dssa sa + = + + 收敛域为a。 （16） 11 (1) ( )( )( ) atat eu tu teu t ssa = + 利用双边拉普拉斯变换的复频域积分特性 1 11 (1) ( )lnln at s s s teu td aa = sa+ 若 a0，收敛域为0；若 aa。 6求下列函数的拉普拉斯反变换： （1） 0Re 9 1 2 + s s （2） 0Re 9 2 + s ss s （5） 2Re3 65 1 2 + + s ss s （8） 1Re ) 1( 1 2 2 + + s s ss （9） 1Re 23 54 2 2 + + s ss ss （10） 1Re 1 23 2 + s ss ss 解：(1) （7） 2 1 Re 2 31 2 3 2 3 2 31 2 3 2 3 1 1 ) 1( 2 2 + + + += + + s js j js j ss s )() 2 3 2 3 ()() 2 3 2 3 ()( 1 ) 1( 2 31 2 31 2 2 tuejtuejt ss s jj + += + + (8) 1Re ) 1( 3 1 3 1 ) 1( 3 1 ) 1( 1 222 2 + + + += + += + + s sss s s ss 5 课后答案网 若侵犯 了您的版 权利益，敬请来信通知我们！ 课后答案网 )(33)( ) 1( 1 2 2 tuteet s ss tt += + + (9) 2 2 4521 1 3212 ss ssss + = + + （部分分式展开） ( ) ( ) 2 1 2 2( 1 1 2 t t t e u t s eu t s = = + = + ) ( )( )( )( )()( ) 2 22 2 45 22 32 tttt ss te u teu tteeu t ss + =+=+ + （10） 1Re 1 23 2 + s ss ss 1Re 1 1 11 223 2 = + s ssss ss )()( 1 23 2 ttutue ss ss t = + 11已知信号的拉普拉斯变换为)(tx 54 2 )( 2 + + = ss s sX，试求下列信号的拉普拉斯变换。 （1） （2） （3） ) 12() 12(tutx)(ttx)( 3 txe t （4） dt tdx )( （5）)5(3)4/(2txtx+ （6） ttx7cos)( 解： （6） 2 22 22 ( ) cos( )(2) 45(2)1 t ss X setu t sss + = + 所以，( )( ) 22 1 cos7coscos7( ) cos8cos6 2 tt x ttetu tteu tt =t+ ( )( ) 22 11 cos8cos6 22 tt etu tetu t =+ ( )( )( ) 22 11 cos7 cos8 cos6 22 tt x ttetu tetu t =+ ()() 22 1212 22 26423 ss ss + =+ + 6 6 课后答案网 若侵犯 了您的版 权利益，敬请来信通知我们！ 课后答案网 () ()() 22 111 2( 2 264236 s ss =+ + 2) 或( ) 22 122 cos7(2) 2 (2)49(2)49 sjsj x tt sjsj + =+ + 13由下列各象函数求原函数的傅立叶变换)(X。 （1） s 1 （2） 1 2 2 +s （3） 84 2 2 + + ss s （4） 2 )4( +s s 解： （3） 22 22 48(2)2 ss sss + = + 2 其收敛域为2 ，因此j轴在( ) b Xs的收敛域内，所以 ( )( ) 22 22 ()4884 bsj jj XXs jjj = + = + 14设，且有实常数 a0，b0，试证： )()()(sFtutf （1）)( 1 )()( a s Fe a batubatf s a b （2）)()()( 1 basFtu a t fe a t a b + 证明： （1）由拉普拉斯变换的定义 () ()() () st f atb u atbf atb u atb edt + = () ()( ) ( ) b s sta atbb f atb u atb edtfued b a t a + + =+ = + = 令 11 ( ) ( )( ) bs ss aa s efuedeF aa + = b a a （利用 ( )( ) ( ) s F sfue d + =） 。 （2）由拉普拉斯变换的定义 11 ( ) ( ) =( ) ( ) bb tt st aa tt efu tefu t edt aaaa + () 1 ( ) ()()( ) () bsaa t a efu aed afu aedt taa + = = = 令 s b+ () ( ) ( )() as b fuedtF asb + + =+ 7 课后答案网 若侵犯 了您的版 权利益，敬请来信通知我们！ 课后答案网 （利用()( )(0)u aa=， ( )( ) ( ) s F sfued + =） 15求下列象函数的原函数的初值和终值)(sX)0( + x)(x。 （1） 2 ) 1( 32 )( + + = s s sX （2） ) 1( 13 )( + + = ss s sX 解： （1） 2 (23) (0 )lim( )lim2 (1) ss ss xsX s s + + = + =， 2 00 (23) ( )lim( )lim0 (1) ss ss xsX s s + = + 。 （2） (31) (0 )lim( )lim3 (1) ss ss xsX s s s + + = + =， 00 (31) ( )lim( )lim1 (1) ss ss xsX s s s + = + 。 16设信号的有理拉普拉斯变换具有两个极点 s=1 和 s=3。若，其 傅立叶变换 )(tx)()( 2 txetg t = )(G收敛，请问是否是左边的、右边的、或是双边的？ )(tx 解： ( ) ( ) =( ) (1)(3) b N s x tXs ss = + (2) ( ) = ( )(2) (1)(1) b N s g tG sXs ss = + 所以的极点为,( )G s 1 1s = 2 1s =。由于)(G收敛，所以存在，并且其收敛域 包含 ( )G s j轴或以j轴为边界，再根据有理拉普拉斯变换的收敛域特点（P.79） ，可知的 收敛域为 ( )G s 11 。 求 3, 127 )2 + (2 )( 2 + + =se s sX s s 的反变换。 解： 2 2(2)24 ( ) 71234 s X s ssss + =+ + （部分分式法展开） 34 ( )2( )4( ) tt X seu teu = +t 8 课后答案网 若侵犯 了您的版 权利益，敬请来信通知我们！ 课后答案网 习题（习题（P155） 1已知三角脉冲如题图 31 所示，试求 （1）三角脉冲的频谱； （2）画出对 x(t)以等间隔 T0/8 进行理想采样所构成的采样信号 xs(t)的频谱 Xs(); （3）将 x(t)以周期 T0重复，构成周期信号 xp(t)，画出对 xp(t)以 T0/8 进行理想采样所构 成的采样信号 xps(t)的频谱 Xps()； （4）若已知 x(t)的频谱函数 X()，对 X()进行频率采样，若想不失真地恢复信号 x(t)， 需满足哪些条件？ 0 0 2 T 0 2 T 1 t ( )x t 题图 31 ( )( ) j t Xx t edt = 2 00 ( ) 24 TT F x tSa = （1） 2 0 2 0 ( )44 4 4( 4 s n s n T XSa T San) n = = = = （2） 0 2 0 2 00 216 1 ( )( )* ( ) 2 1 44* 24 1 *() 224 1616 ( )()() s s n ss n ss nn ss TT XXP T San TT San n Pn TT = = = = = = = = 课后答案网 若侵犯 了您的版 权利益，敬请来信通知我们！ 课后答案网 （3） 0 00 1 ( )( ) 2()( )()( 2 jt F x t eXXX 0) = 2 00 ( )() 24 TnT XSa 0 = 6.（1） 3 16 ( ) 2 j j e x e = 7. 131 sinsin 44 nn n 8.设，试求下列序列的傅里叶变换： )()( jF eXnx (1)( nx (2) )( nx 其中，表示共轭，为任意常数。 解：(1)( nx )()()()( a j n n a j n nj eXenxeanxanxF = = = (2) )( nx )()( a j eXanxF = 10.求下列周期序列的傅立叶级数 (1) ()( *)( 8 nnu n (10z。 （3） + = n NnNnN Nnn nx 其它,0 21,2 0, )( 解： )2()2()()(2)( )2()2()()2()()( )2()()2() 1()()( NnuNnNnuNnnnu NnunNNnunNNnnunnu NnuNnunNnununnx += += += 21 21 21 12 21 1 21 1 )1 ( )1 ( )1 ()1 ( 2 )1 ( )( = + = z zz z zz z zz z z zX N NN 收敛域为z。 （5）)0( ! 1 )(=n n nx （6） )()0(,cos)(为常数anannx= 21.设 21 1 252 3 )( + zz z nx z ，试问在以下三种收敛域下，哪一种是 左边序列、哪一种是右边序列、哪一种是双边序列？并求出各对应的。 )(nx )(nx (1)|z|2 (2) |z|2 1121 1 5 . 01 1 21 1 252 3 )( + = + = zzzz z zX 因为|z|2，所以15 . 0, 12 11 （2）1| , cos21 1 2 0 1 1 + + z zz z （3） 0 , 1| , 1 0 0 nz z z n n + 为某整数 解： （1） a z az az1 |, 1 1 1 因为 = + = + = = = 0 )1( 1 1 1 1 1 1 1 11 )(1)(1)(1 )( n nn n nn zaza az a az z az az zX 所以 )() 1()( )1(1 nuanuanx nn+ = （2）1| , cos21 1 2 0 1 1 + + z zz z 因为 0 0 2 0 1 0 1 2 0 1 0 1 sin cos1 cos21 sin cos21 cos1 )( + + + + = zz z zz z zX 课后答案网 若侵犯 了您的版 权利益，敬请来信通知我们！ 课后答案网 所以 )( sin sin ) 1( sin ) 1sin( )( 0 0 0 0 nu n nu n nx + + = （3） 0 , 1| , 1 0 0 nz z z n n + 为某整数 A. 当0 0 =n时，5 . 0)(=z，则)(5 . 0X)(nnx= B. 当0 0 n时， = = = = = 0 0 0 000 ) 1() 1() 1()()( 11nn nn n nn n n n n nnn n nn zzzzzX )() 1()( 0 0 0 nnunx n nn = + 参考习题： 1.求下列相应序列的频谱 (1) )( cos 0 nune an (2) )(nrN (3) 10),1(1 1 ) 2 11 1 1 ) 1( 11 )()()( ssssss sHsFsG+ + = + = ) (阶跃响应 收敛域()1()(tutetg t += 0) （3） 根据线性时不变系统的性质： )2() 3() 1()2()2() 1()( 21 += + tutetutetgtgty tt 参考习题： 1. 如图 P3.9(a)所示为理想低通滤波器系统，已知激励 ; = = n sTnnTttx 3 10, 2, 1, 0),()(? 课后答案网 若侵犯 了您的版 权利益，敬请来信通知我们！