光学习题解崔宏滨.pdf

1 说明 教材上的习题是主要依据该题解编辑，但题目次序不一 致，见谅。 崔宏滨 几何光学 【2.1】光线以入射角光线以入射角i射到折射率为射到折射率为n的物体上，设反射光与折射光线成直角，问入射角与的物体上，设反射光与折射光线成直角，问入射角与 折射率之间的关系如何？折射率之间的关系如何？ 解：ini=sinsin，而ii= 2 ，inicossin =，即ntgi =。 【2.2】把一片玻璃把一片玻璃板放在装满水的玻璃杯上，光线应以板放在装满水的玻璃杯上，光线应以什么样什么样的角度射到玻璃板上才能够的角度射到玻璃板上才能够 在玻璃板和水的分界面上发生全反射？玻璃的折射率为在玻璃板和水的分界面上发生全反射？玻璃的折射率为 1.5，水的折射率为，水的折射率为 1.33 能接收到这束能接收到这束全全反射光吗？反射光吗？ 解：发生全反射时，光线从玻璃向水的入射角应满足 wCg nin=sin。 此时若从空气到玻璃板入射，入射角i应满足 Cg inisinsin =，即 w ni =sin。 由于133 . 1 = w n，所以上述情况不可能发生。 【2.3】红光和紫光对同种玻璃的折射率分别是红光和紫光对同种玻璃的折射率分别是 1.51 和和 1.53。当这些光线射到玻璃和空气的。当这些光线射到玻璃和空气的 分界面上时，全反射的最小角度是多少？当白光以分界面上时，全反射的最小角度是多少？当白光以 41o的角入射到玻璃和空气的界面上时，的角入射到玻璃和空气的界面上时， 将会有什么现象发生？将会有什么现象发生？ 解：由于1sin =in，所以 81.40 53 . 1 1 arcsin 1 arcsin= V V C n i， 47.41 51 . 1 1 arcsin 1 arcsin= R R C n i。 2 以 41o角入射，则紫光全反射；而红光大部分透射，仅有少部分发生反射。 【2.4】如图，以光线射入镜面间并反射如图，以光线射入镜面间并反射n次，最后沿入射时的光路返回，试写出次，最后沿入射时的光路返回，试写出 i 与与间间 的关系表达式。的关系表达式。 解： 最后的反射之后，其对另一镜的入射角应为 0。最后（第 n 次）的反射角为= n ， 第n-1次 的 反 射 角 为2 1 = n 。 相 邻 的 两 次 反 射 间 ， 有 关 系 式 ， =+ 2/)2/( 1mm ，即+= mm 1 。 则nnm nm =+=+=) 1() 1( 1 。 【2.5】证明：当一条光线通过平板玻璃时，出射光线方向不变，只产生侧向平移。当入射证明：当一条光线通过平板玻璃时，出射光线方向不变，只产生侧向平移。当入射 角角 1 i很小时，位移很小时，位移ti n n x 1 1 =。其中，。其中，n 为玻璃的折射率，为玻璃的折射率，t 为玻璃板的厚度。为玻璃板的厚度。 证：如图，由于上下两面平行，且两侧折射率相等，所以在下表面的入射角等于上表面的折 射角，下表面的折射角等于上表面的入射角。出射光线保持平行。 2212121221 cos/ )sincoscos(sin)sin()cos/()sin(iiiiitiiitiiABBCx= 3 ) cos sincos (sin 2 11 1 in ii it=，在小角度时，有 11 sinii ， 21 1 ) 2 (1cos i i， 22 2 ) 2 (1cos i i 则) 1( ) 2 (1 ) 2 (1 ) cos sincos (sin 1 22 21 1 2 11 1 n n ti i i n n ti in ii it，即ti n n x 1 1 = 【2.6】如图，一条光线通过一顶角为如图，一条光线通过一顶角为的棱镜。 （的棱镜。 （1）证明出射光线相对于入射光线的偏向）证明出射光线相对于入射光线的偏向 角为角为+= 11 ii； （； （2）证明在）证明在 11 ii=时，有最小偏向角时，有最小偏向角 m ，而且，而且， 2 sin 2 sin m n + =， 式中式中 n 为棱镜材料的折射率，在已知为棱镜材料的折射率，在已知的情况下，通过测量的情况下，通过测量 m ，利用上式可以算出棱镜材，利用上式可以算出棱镜材 料的折射率； （料的折射率； （c）顶角）顶角很小的棱镜称为光楔，证明对小角入射光楔产生的偏向角为很小的棱镜称为光楔，证明对小角入射光楔产生的偏向角为 ) 1( = n 证 ：（ 1 ） 由 于 棱 镜 两 侧 面 及 其 法 线 所 构 成 的 四 边 形 中 有 一 对 直 角 ， 则 =+)( 22 ii， 而+=+=+= 1122112121 )()()(iiiiiiiiii （2）上式对 1 i 求导数，有 1 1 1 1 i d di i d d += ，当该导数为 0 时，取得最小偏向角。 而由折射定律 12 sinsiniin=， 12 sinsiniin=，微分，得到 1 2 2 2 2 1 1 1 i d i d i d di di di i d di = 1 coscos coscos cos cos ) 1( cos cos 21 12 2 1 1 2 = = = ii ii in i i in ， 1 2 1 2 cos cos cos cos i i i i =， 1 2 2 2 1 2 2 2 cos cos cos cos i i i i = 即 1 2 1 2 1 2 1 2 sin1 sin sin1 sin i in i in = ，只有 11 ii=才能成立。即= 1 2i m ，而 2 2 =i。所以 4 2 sin 2 sin sin sin 2 1 m i i n + = (3) 如果顶角很小， m m i i n + + = 2 sin 2 sin sin sin 2 1 ，可得) 1( = n m 【2.7】顶角为顶角为 500的棱镜的的棱镜的 35= m ，如果浸入水中，最小偏向角，如果浸入水中，最小偏向角等于多少？水的折射率等于多少？水的折射率 为为 1.33。 解：可得棱镜的折射率599 . 1 2 50 sin 2 3550 sin 2 sin 2 sin = + = + = m n。浸入水中时，入射角为 211 sinsininin=，而满足最小偏向角时， 2 2 =i，则508 . 0 2 sin sin sin 11 2 1 = n n n in i ， 53.30 1 =i， 1 . 115053.3022 1 =i m 【2.8】附图是一种求折射线方向的追迹作图法。附图是一种求折射线方向的追迹作图法。例如为了求光线通过棱镜的路径， （如图例如为了求光线通过棱镜的路径， （如图 b 所示） ，可如图所示） ，可如图 a 以以 O 为中心做二圆弧，其半径为中心做二圆弧，其半径正比于折射率正比于折射率nn,。作。作 OR 平行于入射线平行于入射线 DE， 作， 作 RP 平行于棱镜第一界面的法线平行于棱镜第一界面的法线 N1N1， 则， 则 OP 的方向即为第一次折射后光线的方向。的方向即为第一次折射后光线的方向。 再作再作 QP 平行于第二界面的法线平行于第二界面的法线 N2N2，则，则 OQ 的方向即为出射线的方向即为出射线 FG 的方向，从而的方向，从而 =ROQ即为偏向角，证明此法的依据。即为偏向角，证明此法的依据。 证： 如图所示， 从圆心O向棱镜的界面法线做垂线OM、 OT， 根据作图方法， 可知 1 iORM =， 5 而OMinORMOR= 1 sinsin，OMOPMnOPMOP=sinsin， 即 1 sinsininOPMn=，由折射定律 2 iOPM =，为第一界面的折射角。即 OP 为第一界 面的折射线。 2 iOPT=。 又OTOQTnOQTOQiniOP=sinsinsinsin 22 ， 由折射定律， 1 iOQT=，于是=ROQ。 【2.9】组和波罗棱镜由两块组和波罗棱镜由两块 450角直角棱镜组成，利用两块直角棱镜的四个直角面上产生角直角棱镜组成，利用两块直角棱镜的四个直角面上产生 的全反射，使像倒转于凸透镜成实的全反射，使像倒转于凸透镜成实像的情况一致，试证明之。像的情况一致，试证明之。 证：如图。 【2.10】极限法极限法测液体测液体折射率的装置如附图所示，折射率的装置如附图所示，ABC 是直角棱镜，其折射率是直角棱镜，其折射率 g n已知，将已知，将 待测液体涂一薄层于其上表面待测液体涂一薄层于其上表面 AB， 再覆盖一块毛玻璃。， 再覆盖一块毛玻璃。 用扩展光源在掠入射的方向上照明。用扩展光源在掠入射的方向上照明。 从棱镜的从棱镜的 AC 面出射的光线的折射角将有一个下限面出射的光线的折射角将有一个下限 i 。 如用望远镜观察， 则在视场中出现有。 如用望远镜观察， 则在视场中出现有 明显分界线的半明半暗区。证明待测液体的折射率可以由下式算出：明显分界线的半明半暗区。证明待测液体的折射率可以由下式算出：inn g = 22 sin。 用这种方法测量液体的折射率用这种方法测量液体的折射率，测量范围受什么限制？，测量范围受什么限制？ 6 证：由于液体的折射率 g nn ，则有 0 cossinsininini gg =，而 00 sinsininin g =。 0 222 0 22 0 222 sin)sin1 (cossininninini ggg =，由于是掠入射，在明暗区的边界， 2 0 =i，故有 222 sinnni g =，即inn g = 22 sin。 测量时，要求 g nn 。 【2.11】光从塑料光从塑料棒的一端射入，若要保证射入的光总是在棒内全反射传播，其折射率至少棒的一端射入，若要保证射入的光总是在棒内全反射传播，其折射率至少 是多大？是多大？ 解： 21 cossinn=， 2 222 1 2 sinsinnn =要发生全反射，nn C /1sinsin 2 =， 而 1 可以取到2/，则1sin1sin 2 2 222 1 2 =nnn，即2 2 n，2n。 【2.12】在圆形在圆形木塞中心垂直插入一大头针，然后将其倒放浮于水面上，调节大头针露出的木塞中心垂直插入一大头针，然后将其倒放浮于水面上，调节大头针露出的 长度，使观察者从水面上无论何种角度都恰好看不到水下的大头针。如果测得大头针露出长度，使观察者从水面上无论何种角度都恰好看不到水下的大头针。如果测得大头针露出 木塞得长度为木塞得长度为 h，木塞直径为，木塞直径为 d，求水的折射率。，求水的折射率。 解 ： 此 时 大 头 针 顶 发 出 的 光 线 恰 好 发 生 全 反 射 。 即 n 1 sin 1 =， 而 1 1 sin1 sin 2 2 1 2 1 2 2 1 2 = = = nh d tg ，得到 2 ) 2 (1 d h n+= 【2.13】如图所示，一束光线以入射角如图所示，一束光线以入射角i射入折射率为射入折射率为 n 的球形水滴，求： （的球形水滴，求： （1）此）此光线在水光线在水 滴内另一侧球面的入射角滴内另一侧球面的入射角， 这条光线是被全反射还是部分反射？ （， 这条光线是被全反射还是部分反射？ （2） 偏向角） 偏向角的表示式；的表示式； （3）偏向角最小时的入射角）偏向角最小时的入射角i。 7 解： （1）由反射定律及球面的对称性，sinsinsin 1 nini=，ni /sinsin 1 =，由于 n/1sin，只有入射光对准球心入射时，才能发生全反射。 （2）)2(2)( 22 11 iii=，)2(2 1 i取极大值即可。 而2 等于圆心角， 1 2i等于入射光线与水平直径间的夹角，对准球心入射时为极大值。即 入射角0 1 =i。 【2.14】水槽中盛水，水槽中盛水，深深 20cm，底部有一光源，底部有一光源，水面上放一不透光纸片。水面上放一不透光纸片。要使从水面上任要使从水面上任 何角度都看不到光源，纸片的形状和面积应怎样？何角度都看不到光源，纸片的形状和面积应怎样？ 解：纸片应该是圆形的。hrtg/=，而n/1sin， 所以 2 22 2 2 2 2 1 sin + = + =n rh r tg tg ， 2 1/nnhr 【2.15】一玻璃杯，底部为凸球面，球面下嵌一画，空杯看去，与普通酒杯无异；注入酒后，一玻璃杯，底部为凸球面，球面下嵌一画，空杯看去，与普通酒杯无异；注入酒后， 则底部呈现美丽画面，请解释。则底部呈现美丽画面，请解释。 解：空杯成实像，注入酒后，相当于有一平凹透镜，画面经折射后成一放大虚像。 【2.16】一球面反射镜将平行光会聚在一球面反射镜将平行光会聚在 x0=20cm 处；将水处；将水（折射率约为（折射率约为 4/3）注满球面，光注满球面，光 通过一张白纸片上的针孔射向通过一张白纸片上的针孔射向反射镜，如图，距离反射镜，如图，距离 x 为多大时在纸片上成清晰的像？为多大时在纸片上成清晰的像？ 解：无水时，球面的焦距为 20cm，球面半径为 r=220=40cm，注水后，其焦距 cmnf15)3/4/(20/20=，此时要成清晰实像，而且物距、像距相等，则有 8 cmfx302=。 【2.172.17】导出宽光束经球面折射后严格成像的一对共轭点（即齐明点）的位置公式。导出宽光束经球面折射后严格成像的一对共轭点（即齐明点）的位置公式。 解：要宽光束严格成像，就是两点间沿任意路径的光程都相等。如图，取r n n QC =， r n n CQ =，则Q、 Q 即为一对齐明点。 QMC与CQM 相 似 ， 则 有 n n CQ MC QM QM = = ， 由 于 Q 为 虚 像 点 ， 则 光 程 0=QMnnQMQQM，由于 M 是任意点，所以沿任意路径，两点间等光程。 【2.18】 光的波动性 【3.1】 将一厚度为将一厚度为d、 折射率为、 折射率为n的平板玻璃片， 使其法线与平行光线成的平板玻璃片， 使其法线与平行光线成i角地插入光线中，角地插入光线中， 试试比较插入前后，光线的相位改变多少？比较插入前后，光线的相位改变多少？ 解： 在这种情况下，只需要比较一下空间的同一波面在插入前后的相位差即可。 插入前，波面 CD 与 AB 间的光程差为 BD，插入后， 2 cos/idGF =，两波面间光程 差为nGFBG +， 而 22121 cos/ )cos()cos(iiidiiGFGD=， 插入前后的光程差改变 为GDnGF = 2 cos/ind= 221 cos/ )cos(iiid)cos(cos/ 212 iinid= ) cos sinsin cos cos ( cos sinsincoscos 2 11 1 22 2121 in ii i i n d i iiiin d= = 9 2 2 22 1 2 2 222 1 2 1 22 1 cos cos cos cos sin cos) cos sin cos( in in i in inn i in in id+= += += 11 22 12 2 21 cossincossin1coscosiiniinini=+= 插入后 CD 波面位相的改变为)cossin( 2 11 22 iin d k= ，比插入前滞后。 【3.2】设有两个一维简谐平面波的波函数为设有两个一维简谐平面波的波函数为 )2 . 03(2cos4),( 1 zttzE=，)75 . 3cos( 5 . 2 1 ),( 2 zttzE+= 式中位移以式中位移以 cm 为单位，时间以为单位，时间以 s 为单位，距离以为单位，距离以 m 为单位，试分别求它们的（为单位，试分别求它们的（1）振幅；）振幅； （2）频率； （）频率； （3）周期； （）周期； （4）波长； （）波长； （5）相速度； （）相速度； （6）传播方向。）传播方向。 解：波的表达式为)cos(),( 0 +=kztAtzE )2 . 03(2cos4),( 1 zttzE= （1）cmA4=（2）Hz3=（3）sT33 . 0 1 = （4）m k 5 2 . 0 12 = （5） sm k P /15 2 . 0 3 v= （6）z+ )75 . 3cos( 5 . 2 1 ),( 2 zttzE+= （ 1 ）cmcmA4 . 0 5 . 2 1 =（ 2 ）Hz557 . 0 2 5 . 3 = （ 3 ）sT80. 1 . 0 2 = （ 4 ） m k 9 . 0 7 22 = （5）sm k P /5 . 0 7 5 . 3 v= （6）z 【3.3】频率为频率为 61014Hz，相速度为，相速度为 3108m/s 的光波，在传播方向上相位差为的光波，在传播方向上相位差为 60 0 0 0的任意 的任意 两点之间的最短距离是多少？两点之间的最短距离是多少？ 解：nmm k z PP 3 . 831033 . 8 1062 103 3 2 vv 8 14 8 = = = = = 【3.4】在玻璃中在玻璃中 z 方向上传播的单色平面波的波函数为方向上传播的单色平面波的波函数为 ) 65 . 0 (10exp10),( 152 c z titPE= 式中式中 c 为真空中的光速，时间以为真空中的光速，时间以 s 为单位，电场强度以为单位，电场强度以 V/m 为单位，距离以为单位，距离以 m 为单位，试为单位，试 求： （求： （1）光波的振幅和时间频率； （）光波的振幅和时间频率； （2）玻璃的折射率； （）玻璃的折射率； （3）z 方向的空间频率； （方向的空间频率； （4）在）在 xz 平面内与平面内与 x 轴成轴成 450角方向上的空间频率。角方向上的空间频率。 （ 1 ）mVA/102=，Hz 14 105 2 = （ 2 ）54. 1 65. 0v = c cc n（ 3 ） 10 16 15 1056 . 2 2 65 . 0 10 2 1 = =m c k （4） 16 1082 . 1 4 cos ) 4 ( =m f f z 【3.5】一平面波的波函数为一平面波的波函数为)432(5cos),(zyxtAtPE+=，式中，式中 x，y，z 的单位为的单位为 m，t 的单位为的单位为 s。试求： （。试求： （1）时间频率； （）时间频率； （2）波长； （）波长； （3）空间频率矢量的大小和方向，）空间频率矢量的大小和方向， 解：)432(5cos),(zyxtAtPE+= （1）Hz796 . 0 2 5 2 = （2）cm kkk k zyx 17 . 1 532 222 222222 = + = + = （3） 1 86 . 0 1 =cm ，方向)432( zyx eeek += 【3.6】一平面波函数的复振幅为一平面波函数的复振幅为 14 3 14 2 14 exp)( z k y k x k iAPE+=，试求波的，试求波的 方向。方向。 解： 14 3 14 2 14 exp)( z k y k x k iAPE+= 方向 14 3 14 2 14 1 zyx eee k k += 【3.7】一台一台 3kW 的的 CO2激光器发出的光束被聚焦成直径为激光器发出的光束被聚焦成直径为 10m 的光斑，求在焦点的光斑，求在焦点处处的的 光强光强 I 以及以及光光场的振幅值场的振幅值 A（假设（假设 n=1，不计光束的损失） 。，不计光束的损失） 。 解：光强smJ m kw S W I 213 2 /1082 . 3 )10( 2 = = m 由 2 2 1 AI m =，得 16 12 7 132 1088 . 2 1085 . 8 104 1082 . 3 22= = m IA， mVA/1070 . 1 8 = 【3.8】平面波函数的复振幅为平面波函数的复振幅为 i AeE = ，试证： （，试证： （1）当相位改变）当相位改变 2时，时，E 保持不变； （保持不变； （2） 用用i乘波函数乘波函数E ，等效于它的相位改变，等效于它的相位改变 2 。 解： i AeE = ， iiii AeeAeAeE= 2)2( )2( ， 11 ) 2 ( 2 = i i i AeAeeEi 【3.9】如附图，一平面简谐波沿如附图，一平面简谐波沿 x 方向传播，波长为方向传播，波长为，设，设 x=0 的点的相位的点的相位0 0 =。 （1）写出沿）写出沿 x 轴波的相位分布轴波的相位分布)(x； （2）写出沿）写出沿 y 轴波的相位分布轴波的相位分布)(y； （3）写出沿）写出沿 r 方向波的相位分布方向波的相位分布)(r。 解： x ekk = （1）kxxkx= )( （2）0)(=yky （3）cos)(kxrkr= 【3.10】如附图，一平面简谐波沿如附图，一平面简谐波沿 r 方向传播，波长为方向传播，波长为，设，设 r=0 的点的相位的点的相位为为 0 ， （1）写出沿）写出沿 r 方向波的相位分布方向波的相位分布)(r； （2）写出沿）写出沿 x 轴波的相位分布轴波的相位分布)(x； （3）写出沿）写出沿 y 轴波的相位分布轴波的相位分布)(y。 解： 12 )sin(cos yx eekk +=，)sin(cos yx eerr +=， x exx =， y eyy = （1） 00 )(+=+=krrkr （2） 00 cos)(+=+=kxxkx （3） 00 sin)(+=+=kyyky 【3.11】如图所示，在一薄如图所示，在一薄透镜的物方焦平面上有三个点光源透镜的物方焦平面上有三个点光源 O、A、B，试分别写出由它，试分别写出由它 们发出的光波经透镜折射后，在像方焦平面上产生的复振幅分布函数（设三列波的波长均们发出的光波经透镜折射后，在像方焦平面上产生的复振幅分布函数（设三列波的波长均 为为） 。） 。 解 ： 三 点 发 出 的 球 面 波 经 过 透 镜 后 变 为 平 面 波 。 平 面 波 的 复 振 幅 表 达 式 为 )( 0 )( + = rki AePU ，其中波矢)cos, 0 ,(sin 2 =k，为平面波的方向，即平面波的波 矢 与YOZ平 面 间 的 夹 角 ， 22 1 22 1 cos,sin fa f fa a + = + =， 22 2 22 2 cos,sin fb f fb b + = + =。而位于屏上的位矢 zyx eeyexr 0+=。 则有， o i A rki OO eAeAPU = +)( 0 )( )sin()( 10 )( o ki A rki AA eAeAPU + = )sin()( 20 )( o ki A rki BB eAeAPU + = 或者另解：三点的坐标取定为) 0 , (aA，)0 , 0(O，) 0 , ( bB 。其中 A、B 为轴外物点， O 为轴上物点。在物方焦平面上位相为零。三点发出的球面波经透镜后变为平面波，波矢与 XOZ 平面平行，方向角分别为 22 sin fa a A + =，0sin= O ， 22 sin fb b B + =。 忽略透镜对光的吸收和透镜厚度所引起的附加光程，各列球面波传播到光心处时，振幅为 22 fa A AA + =， f A AO=， 22 fb A AB + = 13 将 像 方 坐 标 系 取 在 透 镜 平 面 处 ， 像 方 焦 平 面 的 坐 标 为),(fyx， 则 )cos, 0 ,(sinkk = sincosexp),( 22 22 AAA xikikffaik fa A yxU+ + = )exp( 2222 22 22 fa a xik fa f ikffaik fa A + + + + = )2exp(sincosexp),( 0 ikf f A ikxikfikf f A yxU OO =+= sincosexp),( 22 22 BBB xikikffbik fb A yxU+ + = )exp( 2222 22 22 fb b xik fb f ikffbik fb A + + + + + = 【3.12】如图所示的杨氏实验装置中，若单色光源的波长如图所示的杨氏实验装置中，若单色光源的波长=5000=5000，d=Sd=S1 1S S2 2=0.33cm=0.33cm，r r0 0=3m=3m， 试求：试求： （1 1）条纹间隔；）条纹间隔； （2 2）若在）若在 S S2 2后面置一厚度后面置一厚度 h=0.01mmh=0.01mm 的平行平面玻璃片，的平行平面玻璃片，若在若在 S S2 2后面置一厚度后面置一厚度 h=0.01mmh=0.01mm 的平行平面玻璃片，试确定条纹移动方向和计算位移的公式；假设一直条纹的位的平行平面玻璃片，试确定条纹移动方向和计算位移的公式；假设一直条纹的位移为移为 4.73mm4.73mm，试计算玻璃的折射率。，试计算玻璃的折射率。 （1）mm d r x5 . 0 0 = （2）插入玻璃片后从 S2到 P 点的光程为hnr) 1( 2 +，由于光程增大，j=0 级条纹向下移 动，所有条纹亦将同样移动。 由于 P 点处的光程差为hn r d xrhnr) 1() 1( 0 12 +=+=，j 级亮纹jhn r d x=+) 1( 0 14 对 0 级条纹0) 1( 0 =+hn r d x，52. 1 10301. 0 3 . 3 73. 411 3 0 = += hr d xn 【3.13】用很薄的云母片（用很薄的云母片（n=1.58）覆盖在双缝装置中的一条缝上，这时，光屏上的中心为）覆盖在双缝装置中的一条缝上，这时，光屏上的中心为 原来的第七级亮纹所占据，若原来的第七级亮纹所占据，若=5500=5500，则云母片有多厚？，则云母片有多厚？ 解： 插入前 d D jxj=， 插入后 0 ) 1( r d hnj xj = ， 中心处的光程差7) 1( 0 =hn， mm n hm 64 . 6 1064 . 6 158 . 1 105507 ) 1( 7 6 9 = = = 【3.14】在双缝的情况下，证明在双缝的情况下，证明 （1）屏幕上的光强为）屏幕上的光强为)sin(cos)sin(cos4 2 0 22 0 d I d AIP=； （2）第一极小出现在）第一极小出现在 d2 1 =。 解： （1）)sin 2 cos1 (2)cos1 (2)cos1 (2 2 0 2 0 2 0 2 d AkAAAI+=+=+= )sin(cos)sin(cos4 2 0 22 0 d I d A= （2）第一极小值出现在 2 sin = d ，即 d2 sin =，近轴条件下， d2 1 =。 【3.15】设设菲涅耳双面镜的夹角菲涅耳双面镜的夹角=10-3rad，有一单色狭缝光源有一单色狭缝光源 S 与两镜相交处与两镜相交处 C 的距离的距离 r 为为 0.5m， 单色波的波长， 单色波的波长=5000=5000。 在距两镜相交处的距离为。 在距两镜相交处的距离为 L=1.5mL=1.5m 的屏幕上出现明暗干的屏幕上出现明暗干 涉条纹，如图所示。 （涉条纹，如图所示。 （1 1）求屏幕上）求屏幕上两相邻明条纹之间的距离； （两相邻明条纹之间的距离； （2 2）问在屏幕上最多可）问在屏幕上最多可 以看到多少明条纹？以看到多少明条纹？ 15 解：两像光源对反射镜交线的张角为22)(2=+=，则两者间距sin2rd =， LrD+=cos （1）mm d D x00 . 1 = （2） 由于两光源的重叠照射区域LtgxM=，3= = = x Ltg x x j M ， 如果仅考虑屏幕上部， 则包括 0 级，可以看见 4 条，下半部分也应该有一些，但考虑到反射镜的遮挡，会少一些。 【3.16】如附图（如附图（a）和（）和（b）所示，将一焦距）所示，将一焦距 f 为为 50cm 的会聚透镜的中央部分截取的会聚透镜的中央部分截取 6mm， 把余下的上下两部分再粘合在一起，成为一块透镜把余下的上下两部分再粘合在一起，成为一块透镜 L。在透镜。在透镜 L 的对称轴上，左边的对称轴上，左边 300cm 处有一波长处有一波长=5000=5000 的的单色点光源单色点光源 S，右边，右边 450cm 处置一光屏处置一光屏 DD。试分析并计算：。试分析并计算： （1）S 发出的光经过透镜发出的光经过透镜 L 后的成像情况，如所成之像不止一个，计算各像之间的距离；后的成像情况，如所成之像不止一个，计算各像之间的距离； （2） 在光屏） 在光屏 DD 上能否观察到干涉条纹？如能观察到干涉条纹， 相邻明条纹的间距是多少？上能否观察到干涉条纹？如能观察到干涉条纹， 相邻明条纹的间距是多少？ 解：如此处理后的透镜等效于具有两个光轴的透镜，光轴偏移现在的中心轴 y=3mm。 （1）cm fs sf s60 50300 50300 = = =，像高mmy s s y6 . 03 300 60 = = 像光源间距mmyyd12 . 7 22=+= （2） 由图可见，两像光源发出的光在屏幕上并不相交，故没有干涉。 16 【3.17】设有两个点光源设有两个点光源 S1、S2，相距为，相距为 t，接收屏垂直于接收屏垂直于 S1S2连线放置，垂足为接收屏上连线放置，垂足为接收屏上 的原点，接收屏至的原点，接收屏至 S1、S2中点的距离为中点的距离为 D，且，且 Dt、x。问在接收屏上生成的干涉图像是。问在接收屏上生成的干涉图像是 什么形状？并证明第什么形状？并证明第 k 级亮纹至屏原级亮纹至屏原点的距离为点的距离为 )1 (2 t j D = 解：对于接收屏上任一点（x，y） ， 222222 21 ) 2 () 2 ( t Dyx t Dyxrr+= j t D t D=+= 2222 ) 2 () 2 ( 22 yx +=，为接收屏上任一点到中心线的距离，可见条纹为同心圆环。 ) 2 ( 2 1 1) 2 ( ) 2 ( 1) 2 () 2 ( 2 2 2 2 22 1 t D t D t D t D t Dr + + + +=+= 22 2 ) 2 ( t Dr+= ) 2 ( 2 1 1) 2 ( 2 2 t D t D + = 21 rr ) 2 (2 1) 2 ( 2 2 t D t D + += ) 2 (2 1) 2 ( 2 2 t D t D + 2 2 ) 2 (2 t D D t + += 2 2 ) 2 (2 t D D 22 22 2 ) 2 () 2 ( ) 2 () 2 ( 2 t D t D t D t D D t + + += 4 2 2D DtD t += j D t=) 2 1 ( 2 2 ，)1 (2 22 t j D =，)1 (2 t j D = 17 【3.18】波长为波长为 的平行单色光以小倾角的平行单色光以小倾角 斜入射到间距为斜入射到间距为 t 的双缝上，设接收屏到双缝距的双缝上，设接收屏到双缝距 离为离为 D。 （。 （1）求零级主极大的位）求零级主极大的位置； （置； （2）假设在屏上到双缝距离都相等的地方恰好出现暗）假设在屏上到双缝距离都相等的地方恰好出现暗 条纹，倾角条纹，倾角 必须满足什么条件？必须满足什么条件？ 解： 光程差中应包括双缝前的部分，sint D xt = （1） j=0 级，sin 0 Dx =，在入射方向上。 （2） 暗条纹) 2 1 (sin+=jt D xt ，0=x，) 2 1 (sin+=jt，由于 j 可以取任 义整数，同时又是以小角度入射， t j ) 2 1 (sin+= 【3.19】考虑如图所示的考虑如图所示的三缝干涉，假设三狭缝的宽度相同（三缝干涉，假设三狭缝的宽度相同（ 2 ） 。 （） 。 （1）第一主极大的）第一主极大的 角角是多少？是多少？（即从三狭缝出来的子波同相位） ； （即从三狭缝出来的子波同相位） ； （2）把（）把（1）的结果写为）的结果写为1 1，在零级主极大，在零级主极大 （=0=0）方向的能流可写为）方向的能流可写为 F F0 0。在。在 2 1 方向上的能流是多少？（以方向上的能流是多少？（以 F F0 0为单位，设为单位，设d 3.44 在 Fresnel 圆孔衍射实验中，保持其它条件不变，而使圆孔的半径连续增大，大致画出 观察点 P 处光强随圆孔半径变化的曲线。 解：由 Fresnel 半波带公式 bR bR j )( 2 + =，及强度公式 2 1 )()( 2 1 PAPAI jP =，可以 画出大致的强度分布曲线，是震荡衰减的。 3.45 波长为=5633 的单色光从远处的光源发出，经过一个直径 D=2.6mm 的圆孔，在距孔 1m 处放一屏幕，问： （1）幕上正对孔中心的点 P 是亮的还是暗的？（2）要使 P 点的明暗变 成与（1）相反的情况，至少要将屏幕移动多少距离？ 解：Fresnel 圆孔衍射。 （1） 由3 10110 3 . 563 3 . 1 ) 11 ( )( 36 2222 = =+= + = bbRbR bR j ，P 为亮点。 （2） 使 j=2， 或 j=4。 由上式计算 = = = = 4,750 2,1500 10 3 . 563 3 . 1 6 22 jmm jmm jj b ， 前移 0.25m 或后移 0.5m。 3.46 当缝宽分别是（1）1（2）5（3）10时，单缝 Fraunhofer 衍射的半强角宽度是多 30 大？（半强角宽度是光强等于中央衍射主极大光强一半处的衍射角宽度） 解：Fraunhofer 单缝衍射公式， 2 0 ) sin ()( u u II=， 2 1 ) sin ( )( 2 0 = u u I I ， 2 1sin = u u ， 即 2 1 sin sinsin = a a ，该超越方程的解是，391557 . 1 sin= a。 （1）=a，4429 . 0 391557. 1 sin= a （2）5=a，0886 . 0 5 391557 . 1 sin= a （1）10=a，0443 . 0 391557 . 1 sin= a 3.47 若将一个 Fresnel 波带片的前 5 个偶数半波带挡住，其余全开放，衍射场中心的强度与 自由传播时相比扩大了多少倍？ 解： 1211086421 2 11 5 2 1 )( 2 1 AAAAAAAAAA+= 强度 0 212 121) 2 (121I A AI= 3.48 若将一个 Fresnel 波带片的前 50 个奇数半波带挡住，其余全开放，衍射场中心的强度与 自由传播时相比扩大了多少倍？ 解： 11199311 2 99 50 2 1 )( 2 1 AAAAAAAA+=3 强度 0 212 9801) 2 (9801I A AI= 3.49 一硬币半径为 1.2cm，据波长 500nm 的点光源 10cm，求在两者的中心连线上，硬币后 10cm 处的光强表示式 21 ) 2 ( +k a 中 k 的数值。 解：48) 10 1 10 1 ( 10 0 . 600 )102 . 1 ( ) 11 ( 9 222 =+ =+= bR j ， 49148 2 1 2 1 AAA= + ， 由衍射的反比关系 a = 0 3.50 对于波长为 500nm 的光，波带片的第 8 个半波带的直径为 5mm，求此波带片的焦距以 及距焦点最近的两个次焦点到波带片的距离。 31 解：波带片公式 j f 2 =，mmmf56. 15 .1562 105008 5 . 2 6 2 = = 相邻的次焦点 = = = + = 2,312 . 0 1,521 . 0 12mm mm m f f 3.51 如图所示，用波长为 632.8 nm 的平行光垂直照射宽度为 0.2mm 的单狭缝，缝后有一焦 距为 60cm 的透镜，光屏在此透镜的焦平面上，求衍射图样中心到第二条暗纹的距离。 解：暗条纹0sin=u，0, sin =jj a u ，0,sin=j a j 第二条暗纹到中心处距离 mmcm a f jftgfx038. 01080 . 3 02. 0 10632860 2sin 3 8 = = 3.52 波长为 500.0nm 的单色光垂直入射到直径为 4mm 的圆孔上，确定轴线上光强极大和极 小值点的位置。 解：Fresnel 圆孔衍射。由 j b 2 =，j 取奇数为极大值点，偶数为极小值点。 + = = 暗点 亮点 )m( 4 )m( 12 8 8 10 0 . 500 )102 . 0( 9 22 m m jj b 3.53 波长为 500.0nm 的单色光垂直入射到直径为 4mm 的圆孔上，接收屏在圆孔后 1.5m 处， 问孔的轴线与屏的焦点处是两点还是暗点？如果要使该点的光强发生相反的变化， 孔的直径 要改变多少？ 解：2 10 0 . 5891500 3 . 1 6 22 = = b j，为暗点。 mm12m88 . 1 ) 12m(+=+=bjb，为亮点。 32 3.54，同 3.45 3.55 波长为632.8nm的平行光垂直入射到圆孔衍射屏上， 屏后轴上距离1m处出现一个亮点， 设此时圆孔恰好仅露出第一个半波带，试求：(1)圆孔的半径； （2）由该点向衍射屏移动多 远可以出现第一个暗点？ 解：795mm . 0 632.810001=jb 5m . 0 2 1 2 = b j b 3.56 平行光照射图示的衍射屏， 图中标出的是观察点到屏上的光程， 在近轴条件下用矢量方 法求出观察点的光强（用自由传播时该点的光强表示） 。 （a） 8 3 24 1 4 3 4 1321 AAAA A=+=， 0 2 1212 16 9 416 9 ) 8 3 (I AA AI= （b） 1 4 2 AA =， 0 2 1212 2 1 42 1 ) 4 2 (I AA AI= 33 （c）0=A，0=I （d） 1 4 2 AA =， 0 2 1212 2 1 42 1 ) 4 2 (I AA AI= 3.57 针孔相机没有透镜，而是用一个前后相距 10cm 的带针孔的暗盒构成。用它拍摄太阳时 要得到最清晰明亮的像，针孔的直径应该多大？ 解：在暗盒底看来，针孔处恰好露出第一个半波带。 224mm. 0500.01001=jb 3.58 500.0nm 的光正入射到图示衍射屏上，mmr2 1 =，mmr1 2 =，轴上观察点距衍射屏 2m。计算该点的振幅和强度。 34 解： 在观察点， ，1 10 0 . 5002000 1 6 22 = = b j，2 10 0 . 5002000 2 6 2 2 = = b j由 于第二半波带只露出 1/4。所以有 121 4 3 4 1 AAAA=，光强 0 2 4 9 IAI= 3.59 波带片第 5 环的半径为 1.5mm，对于 500.0nm 的光，其焦距和第一环的半径是多少？ 若在波带片和屏幕间充以折射率为 n 的介质，将发生什么变化？ 解：9m . 0 900mm 105005 5 . 1 6 2 2 j = = j f 67mm . 0 5 j 5j =jf 充入介质后，其中等效波长改变。但是波带片