近世代数基础习题课答案到第二章9题.pdf

第一章 第二章 第一章第一章 1. 如果在群G中任意元素, a b都满足 222 ()aba b, 则G是交换群. 证明证明: 对任意, a bG有ababaabb. 由消去律有abba. 2. 如果在群G中任意元素a都满足 2 ae,则G是交换群. 证明证明: 对任意, a bG有 222 ()abea b. 由上题即得. 3. 设G是一个非空有限有限集合, 它上面的一个乘法满足: (1) ()()a bcab c, 任意, ,a b cG. (2) 若abac则bc. (3) 若acbc则ab. 求证: G关于这个乘法是一个群. 证明证明: 任取aG, 考虑 2 ,a aG. 由于|G 必然存在最 小的i 使得 i aa. 如果对任意aG, 上述i都是 1, 即, 对任意xG都有 2 xx, 我们断言断言G只有一个元, 从而是幺群. 事实上, 对任意, a bG, 此时有: ()()()ab aba ba bab, 由消去律, 2 babbb; 2 abbb, 再由消去律, 得到ab, 从而证明了此时G只有一个元, 从而是幺群. 所以我们设G中至少有一个元素a满足: 对于满足 i aa的最小正整数i有1i . 定义eG为 1i ea , 往证e 为一个单位元. 事实上, 对任意bG, 由|G , 存在 最小的k 使得 k baba. 由消去律和i的定义知ki: i baba, 即beb. 最后, 对任意xG, 前面已经证明了有最小的正整数k 使得 k xx. 如果1k , 则 2 xxxe, 由消去律有xe 从而 22 xee, 此时x有逆, 即它自身. 如果1k , 则 11kkk xxxexxxx , 此时x也有逆: 1k x . 注注: 也可以用下面的第 4 题来证明. 4. 设G是一个非空集合, G上有满足结合律的乘法. 如果该乘法 还满足: 对任意, a bG, 方程axb和yab在G上有解, 证明: G关于该乘法是一个群. 证明证明: 取定aG. 记axa的在G中的一个解为e. 往证e是G 的单位元单位元. 对任意bG, 取yab的一个解cG: cab. 于是: ()()beca ec aecab. 得证. 对任意gG, 由gxe即得g的逆. 5. 找两个元素 3 , x yS使得 222 ()xyx y . 解解: 取(12)x , (13)y . 6. 对于整数2n , 作出一个阶为2n的非交换群. 解解: 二面体群 n D. 7. 设G是一个群. 如果, a bG满足 1r a bab , 其中r是正整数, 证 明: i iir a bab , i是非负整数. 证明证明: 对i作数学归纳. 8. 证明: 群G是一个交换群当且仅当映射 1 xx是群同构. 证明证明: 直接验证. 9. 设S是群G的一个非空集合. 在G上定义关系为: ab当且仅 当 1 abS . 证明: 这个关系是一个等价关系当且仅当SG. 证明证明: 直接验证. 10. 设n是正整数. 证明: n是的子群且与同构. 证明证明: 直接验证. 11. 证明: 4 S的子集(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)B 是一个子群, 而且 B与 4 U不同构. ( n U是全体n次单位根关于复数的乘法组成的群). 证明证明: 用定义验证B是 4 S的子群. 由于 4 U中有 4 阶元而B中的元 的阶只能是 1 或 2, 所以它们不可能同构. 12.证明: 2n阶群的n阶子群必然是正规子群. 证明证明: 用正规子群的定义验证. 13. 设群G的阶为偶数. 证明: G中必有 2 阶元. 证明证明: 否则, G中的任意非单位元和它的逆成对出现, 从而, G 的阶为奇数, 矛盾. 14. 设 01 10 A , 2 i 2 i 0 e e 0 n n B . 证明: 集合 22 : , nn GB BBAB ABAB关于矩阵的乘法是一个群, 而 且这个群与二面体群 n D同构. 证明证明: n D有如下的表现: 21 , |1, n n DT S TSTSST . 作 2 :GL ( ) n D: SA, TB. 直接验证是群单同态, 而且imG. 15. 设群G满足: 存在正整数i使得对任意, a bG都有()k kk aba b, 其 中,1,2ki ii. 证明: G是一个交换群. 证明证明: 由()i ii aba b和 111 ()i ii aba b 得: 111 ()()()()() iiiiii ab a bab ababa b , 从而, 1iiii ba ba b, 即: ii baa b. 同理可得: 11ii baa b . 于是: 11 ()() iiii a babaa ba ab , 即: abba. 16. 在群 2( ) SL 中, 证明元素 01 10 a 的阶为 4, 元素 11 01 b 的 阶为 3, 而ab的阶为. 证明证明: 直接验证. 17. 如果群G为一个交换群, 证明G的全体有限阶元素组成一个子 群. 证明证明: 设| ( )HgG o g . 显然eH, 从而H不是空集. 对任 意, a bH, 设( )o am, ( )o bn, 则 1 ()o bn ; 11 ()() mnmn ababe , 即: 1 abH . 18. 如果群G只有有限多个子群, 证明G是有限群. 证明证明: 首先证明: 对任意aG有( )o a . 事实上, 设 k a为G的 由 k a生成的子群, 其中, 1k 是整数. 则 242m aaaa . 由于G只有有限多 个子群, 所以必然存在m使得 2(1)22(2)mmm aaa , 即 22 (1)mt m aa . 由消去律即得( )o a . 于是G的任意元素都包含在某个有限子群里, 而G只有 有限多个子群, 所以|G . 19. 写出群 n D的全部正规子群. 解解: 已知: 2121 21 ,1, , ,|1 , nnn n n DT TTTS ST STST S T STTSST 设H是 n D的子群. 如果1H 则H当然是 n D的正规子群. I (1) 设 k HT . 由于 1kkkk ST SST SSSTTH 和 kk TT TTH. 所以 k T是 n D的正规子群. (2) 设1, HSS . 由于SSSS和 12 TSTST , 所以 1, HSS 是 n D的正规子群当且仅当2n . (3) 设 k HST . 注意到()()1 kk STST, 所以 1, kk HSTST . 由于 1kk TST TST 和() kk S STSST , 所以1, kk HSTST 是 n D的正规子群当且仅当|2nk. II (1) 设, kk HTT . 则 ( , )k k HT . 归结为 I (1)的情形, 从 而是 n D的正规子群. 一般地, 1212 (,) , tt kk kkkk HTTTT 也是 n D的正规子群. (2) 设, k HS T . 由于 1kk TT TT , 12 TSTST , kk ST ST , 所以, k HS T 是 n D的正规子群当且仅当 存在m使得|(2)nmk . (注: 当1k 时 , k n HS TD ). 一般地, 设 1 , t kk HS TT. 则 12 (,) , t k kk HS T , 归结为刚讨论的情形. (3) 设, kk HSTST . 或者, 更一般地, 1212 (,) , tt kk kkkk HSTSTSTST . 归结为 I (3)的情形, 即: 1212 (,) , tt kk kkkk HSTSTSTST 是 n D的正规子群 当且仅当 12 |2( ,) t nk kk. 20. 设,H K是群G的子群. 证明: HK为G的子群当且仅当HKKH. 证明证明: HK为G的子群当且仅当 111 ()HKHKK HKH . 21. 设,H K是群G的有限子群. 证明: | | | HK HK HK . 证明证明: 首先, HK是形如Hk的不交并; 其中kK. 又, 12 HkHk 当且仅当 1 1 2 k kKH . 所以, 这样的右陪集共有 | | K HK 个. 于是: | | | | K HKH KH . 22. 设,M N是群G的正规子群, 证明: (1) MNNM. (2) MN是G的正规子群. (3) 如果 MNe, 那么/MNN与M同构. 证明证明: (1) 由 1 MNMN 得MNNM. 同理, NMMN. (2) 由(1)和第 20 题, MN确实是子群. 对任意gG有 111 ()()()g MN ggMggNgMN . 所以MN是G的正规 子群. (3) 如果mnmn 则 11 () mmnnMNe , 从而 ,mm nn. 即: MN中的元素可以唯一地写为 ,mn mM nN的形式. 于是可以定义映射: : MNM为mnm. 由于,M N都是正规子群, 对任 意,mM nN有 111 ()() mn nmmnm nMNe , 所 以mnnm: 即此时, M中的元素与N中的元素可交 换. 由此可以验证是群同态. 显然是满的, 而且 kerN. 23. 设G是一个群, S是G的一个非空子集. 令 ( )|,C SxG xaaxaS ; 1 ( )|N SxG x SxS . 证明: (1) ( ),( )C S N S都是G的子群. (2) ( )C S是( )N S的正规子群. 证明证明: 直接用定义验证. 以(2)为例. 对任意( ),( ),cC S nN S sS, 111111 ()( )()()ncns ncnnc n sn c n . 设 1 n snsS , 即: 1 snsn. 所以, 1111111 ()( )()()ncns ncnnc n sn c nnsns . 此即表明: 1 ( )ncnC S . 24. 证明: 任意 2 阶群都与乘法群1, 1同构. 证明证明: 设 , Ge a. 作:1, 1G为1e , 1a. 25. 试定出所有的互不同构的 4 阶群. 解解: 设群G的阶为 4. 如果G有 4 阶元, 则 4 G . 如果G没有 4 阶元, 则G的非单位元的阶都为 2. 设 , , , Ge a b c. 考虑第 11 题中的 4 S的子群(Klein 四元群): (1),(12),(34),(12)(34)K . 作映射: :GK为: (1),(12),(34),(12)(34)ebac. 则为群同构. 综上, 在同构意义下, 4 阶群只能是 4 或 Klein 四元群. 26. 设p是素数. 证明任意两个p阶群都同构. 证明证明: 只需证明任意p阶群G都同构于 p . 由 Lagrange 定理, G 的任意非单位元a的阶都为p, 从而 21 , , p Ge a aa , 从 而有良定的映射: p G为: 1a . 此即为一个群同构. 27. 在集合S 上定义 ( , )( , ): (,); ( , )( , ): (,)a bc dac bda b c dacbd adbc. 证明: S在这两个运算下是一个有单位元的环. 证明证明: 直接验证. 零元素为(0,0), 单位元为(1,0). 28. 在上重新定义加法和为: :,:abab abab. 问关于 这两个运算是否是一个环. 解解: 不是. 关于不是一个 abel 群. 29. 设L是一个有单位元的交换环. 在L中定义: :1abab, :ababab. 证明: 在这两个新的运算下, L仍然是一个环, 且与原来的环同构. 证明证明: 直接验证满足环的定义中的条件. 作:( , , )( ,)LL为: 1aa. 验证是环同构. 30. 给出满足如下条件的环L和子环S的例子: (1) L有单位元, 而S没有单位元. (2) L没有单位元, 而S有单位元. (3) , L S都有单位元, 但不相同. (4) L不交换, 但S可交换. 解解: (1) ;2LS. (2) 0 |,2 0 a Lab b , 0 | 00 a Sa . (3) 0 |, 0 a Lab b , 0 | 00 a Sa . (4) |, , , a La b b cd c d , 0 | 0 a S a a . 31. 环R中的一个元 L e为一个左单位元, 如果对任意rR有 L e rr. 类似地可定义右单位元. 证明: (1) 如果环R既有左单位元, 又有右单位元, 则R有单位元. (2) 如果环R有左单位元, 没有零因子, 则R有单位元. (3) 如果环R有左单位元但没有右单位元, 则R至少有两个左单 位元. 证明证明: (1) 设, LR ee分别为R的左, 右单位元. 则 LL RR ee ee为R 的单位元. (2) 设 L e为R的一个左单位元. 对任意0xR, 由 22 ()0 L xex xxx得: L xex, 即 L e为R的一个右单 位元. 由(1)即得. (3) 设 L e为R的一个左单位元, 由于R没有右单位元, 所 以存在0zR 使得 L zez . 令: : LLL fezze. 则 LL fe 且, 对任意rR有0 LLL f re rzrze rrr, 即: L f为R的另一个单位元. 32. 设F为一个域. 证明: F没有非平凡的双边理想. 证明证明: 设0IF 为F的一个理想. 取0xI, 有 1 1x xF , 从 而IF. 33. 设R是一个交换环, aR. (1) 证明|Rara rR是R的一个理想. (2) 举例说明, 如果R不是交换环, 那么Ra不一定是一个(双边) 理想. 证明证明: (1) 直接验证. (2) 设| , , , ab Ra b c d cd , 10 10 a . 则 0 | , 0r s Rar s . 显然, Ra不是一个理想, 比如: 0101 0101 aRa . 34. 设I为交换环R的一个理想, 令: rad|, n IrI rI n . 证明: radI为R的理想, 称为I的根. 证明证明: 对任意,rada bI. 则存在正整数,m n使得, mn abI. 由于 ()m nabI , 从而radabI . 对任意radaI和rR, 存在正整数m使得 m aI. 从而 ()m mm rar aI, 即: radraI. 35. 设F为一个有单位元的交换环. 证明: 如果F没有非平凡理想, 则F是一个域. 证明证明: 对任意0aF , 由第33题(1)知, Fa是F的一个非零理想. 由于F没有非平凡理想, 所以FaF. 特别1Fa, 即: 存在 bF使得1ba . 36. 设是有理数域, ( ) n 是全体n阶上的矩阵组成的环. 证明: ( ) n 没有非平凡的理想(没有非平凡理想的环称为单环单环). 证明证明: 设0 I 为( ) n 的一个理想. 取0AI. 则A至少有一个 非零元素, 设为 ij a. 由于I是一个理想, 所以 1 ijijij ij EAEEI a , 其中 ij E表示( , )i j 元为1而其余元为0 的基本矩阵. 由基本矩阵的乘法性质, ijjkik E EEI, 从 而 kiikkk E EEI, 1,2,kn. 于是单位阵 1 n nkk k EEI , 从 而 ( ) n I . 37. 设R是一个环, 0aR . 证明: 如果存在0bR使得0aba , 那 么a是一个左零因子或右零因子. 证明证明: 由于0aba , 所以, 如果0 ba 则a是一个左零因子; 如果 0ba , 则a是一个右零因子. 38. 环的一个元素a成为幂零幂零的, 如果存在正整数n使得0 n a . 证明: 对于有单位元环R的任意幂零元a, 1a是可逆的. 证明证明: 21 (1)(1)11 nn aaaaa . 39. 证明: 在交换环中, 全部幂零元素组成一个理想. 证明证明: 用定义直接验证: 在交换环中, 幂零元的差、积仍然幂零. 40. 设R是有单位元的有限环. 如果, x yR满足1xy , 证明: 1yx . 证明证明: 作映射: :fRRzyz. 则f是单射: 事实上, 如果 12 yzyz, 则 12 xyzxyz, 即 12 zz. 由于R是有限集, 所以f 是满射, 从而存在 0 zR使得 00 1()f zyz. 只需证明: 0 zx. 事实上, 0000 1()()1zzxy zx yzxx. 41. 设R是一个有单位元的环. 证明: 如果存在, a bR满足1ab 但 1 ba , 那么有无穷多xR使得1ax . 证明证明: 注意到 111 ()1 nnnn a bbaaababaaab , n. 所以 只需证明 1nn baa (n)互不相同. 注意到 1 mm a baaabbb , 对任意m都成立. 如果 11nnkk baabaa , (nk). 则 11111 ()0 nnkkkkk baa bbaba bbb , 即 0 n kn k baab . 如果1nk则1baab, 矛盾. 所以1nk. 从而 1 0 n kn k baa ; 11 )(10 n kn kn k baabba , 也得到矛盾. 42. 设R是满足如下条件的环: R至少有两个元素而且对任意 0aR都存在唯一的元素bR使得abaa. 证明: (1) R没有零因子. (2) babb. (3) R有单位元. (4) R是一个体. 证明证明: (1) 设0aR 使得0ax . 由已知, 对于a有唯一的bR使 得abaa. 于是()a bx aaba. 由唯一性, bxb, 即: 0x ; 从而a不是左零因子. 即: R中的任意非零元都不 是左零因子; 从而R也没有右零因子. (2) 由于()()a bab aab abaaba, 再由唯一性即得babb. (3) 任取0aR , 取那个唯一的b R使得abaa. 往证ab 就是一个单位元. 对任意0xR , 取那个唯一的y R 使得xyxx. 由(2)有: ()0b abxy xbabxbxyxbxbx. 由(1), 0abxy. 从而abxxyxx, 此即证明了ab是左 单位元. 保持记号. 类似地有: ()0a baxy xabaxaxyxaxax, 从而baxy, 于是 xabxyxx, 此即证明了ab是右单位元. (4) 由(3)可知, R的每个非零元都有逆. 43. 设0,1C是0,1上的连续函数组成的环. 证明: (1) 对于0,1C的任意非平凡理想I, 都存在一个0,1使得对任 意( )f xI都有( )0f. (2) ( )0,1f xC是一个零因子当且仅当零点集0,1| ( )0xf x 包含一个开区间. 证明证明: (1) 若不然, 对任意0,1都存在( )0,1gxC 使得( )0g . 由连续性, 存在一个包含的开区间0,1J使得( )gx 在 J上恒为正或恒为负（ 0 J实际上是左闭右开的; 1 J实际上 是左开右闭的）. 另一方面, 由开覆盖定理, 存在有限多个 i J , 使得0,1 i iJ . 定义 2 ( ):( ) i i g xgx . 则 ( )g xI, 而且( )0g x . 于是 1 1( ) ( ) g xI g x , 与I是非平凡理 想矛盾. (2) “”: 设( )f x是0,1C中的一个零因子: 存在 0( )0,1g xC使得( ) ( )0,0,1g x f xx. 由于( )0 g x , 所以 存在0,1上的开区间J使得( )g x在J上恒为正或恒为负; 从 而, ( )f x在J上恒为 0. “”: 设存在0,1上的开区间J使得( )f x在J上恒为 0. 作连 续函数( )g x使得: ( )g x在J上恒不为 0, 而在J上恒为 0, 从 而( ) ( )0f x g x : 即( )f x是0,1C中的一个零因子. 44. 设 p 为素域. (1) 求环( ) n 的元素个数. (2) 求群( ) n GL 的元素个数. (1) 解解: 由于 2 dim( ) n n , 所以( ) n 的元素个数为 2 n p . (2) 解解: 取定向量空间 n 的一个基, 则( ) n GL 中的元与 n 上 的可逆线性变换一一对应, 而可逆线性变换把基映为基. 所以, 只需求 n 的基的个数. 注意到 n 的元素个数为 n p. 任取 n 的一 个非零向量 1 , 这样的取法有1 n p 种. 取 2 n 使得 12 , 线性 无关. 这样的 2 能且只能从 1 n 中选取. 所以 2 的选取方法 有 n pp种. 类似地, 取 3 n 使得 312, , 线性无关. 这样的 3 能且只能从 12 , n 中选取. 所以 3 的选取方法有 2n pp种 (因为 12 , 的维数是 2). 继续这个过程, 我们得到 n 的基的个 数为 21 ()()() nnnn pppppp , 此即为所求. 45. 设K是一个体, 0, a bK 且1 ab . 证明如下的华罗庚恒等式华罗庚恒等式: 1111 () )aabaaba . 证明证明: 由提示, 先证明引理引理: 对任意0,1xK , 1111 (1)(1(1) )1(1)(1) )xxxxxx 1 1(1)(1)11xxxxxx , 所以, 111 (1)(1)1xx 成立. 注意到: 原恒等式等价于 1111 (1)() )abaaba , 等价于 11111 (1)()baaaba . 由引理, 111111111111111 (1)(1)1)(1)( (1)baaa baaa baaa a b 111 ()aba 即为所要的等式. 第二章第二章 1. 设G为有限群, NG, (|,|/|)1NG N. 证明: 如果元素aG的阶 整除|N, 那么aN. 证明证明: 考虑自然满态: :/GG N. 记( )aa. 由于 ( ) / o a aeG N, 所以( )| ( )o a o a. 如果( )1 o a , 则 ( ( ),|/|)1o aG N , 矛盾. 2. 设c为群G的阶为rs的元素, 其中( , )1r s . 证明: c可以表示成 cab, 其中( )o ar, ( )o bs, 且, a b都是c的幂. 证明证明: 由( , )1r s 知, 存在整数, u v使得1urvs. 于是 1urvs ccc c. 令 vs ac和 ur bc. 则 ( ) ( ) ( ( ),)(,) o crsrs o ar o c vsrs vss . 同理, ( )o bs. 3. 证明: 如果群G中的元素a的阶与正整数k互素, 那么方程 k xa在 a 内恰有一解. 证明证明: 设( )o an. 于是存在整数, r s使得1rnks. (法一) 作映射: k faaxx . 只需证明f是双射. 由于 |an , 所以只需证明f是单射. 若 kk xy, , x ya , 则 1 ()1 k xy. 从而 11 11 ()() rnkss xyxyxyee , 即xy. (法二) 首先 1 () skrn aaa , 即方程 k xa在a 中有解. 若 t aa 也是 k xa的一个解, 那么() t sk ae , 从而 1 ()() t s kst srnt s aeaa , 即 ts aa. 4. 设G是一个群. 证明: 对任意, a bG有()()o abo ba. 证明证明: 注意到, 对任意正整数m, 1 ()() mm aba bab , 所以 1 ()() mm aba babe 当且仅当