浙江2020版高考数学复习平面向量数系的扩充与复数的引入考点规范练24平面向量的数量积.docx

考点规范练24平面向量的数量积基础巩固组1.已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案B解析a(2a-b)=2a2-ab=2|a|2-(-1)=2+1=3,故选B.2.已知向量BA=12,32,BC=32,12,则ABC=()A.30B.45C.60D.120答案A解析由题意得cosABC=BABC|BA|BC|=1232+321211=32,所以ABC=30,故选A.3.设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“ab”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析|a-3b|=|3a+b|a-3b|2=|3a+b|2a2-6ab+9b2=9a2+6ab+b2,因为a,b均为单位向量,所以a2-6ab+9b2=9a2+6ab+b2ab=0ab,即“|a-3b|=|3a+b|”是“ab”的充分必要条件.故选C.4.若|a|=1,|b|=2,且(a+b)a,则a与b的夹角是()A.6B.3C.56D.23答案D解析(a+b)a(a+b)a=0a2+ab=0,即|a|2+|a|b|cos=0(其中为a与b的夹角),即12+12cos=0cos=-12,由于0,解得=23,故选D.5.(2017浙江绍兴二模)已知点A(0,1),B(-2,3),C(-1,2),D(1,5),则向量AC在BD方向上的投影为()A.21313B.-21313C.1313D.-1313答案D解析AC=(-1,1),BD=(3,2),AC在BD方向上的投影为|AC|cos=ACBD|BD|=-13+1232+22=-113=-1313.故选D.6.(2017浙江温州瑞安检测)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2),|b|=1,且a+b与a-2b垂直,则向量ab=;a与b的夹角的余弦值为.答案3355解析(a+b)(a-2b),(a+b)(a-2b)=0,即|a|2-ab-2|b|2=0,5-ab-2=0,ab=3,cos=ab|a|b|=355.7.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=13.若n(tm+n),则实数t的值为.答案-4解析由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k0),又n(tm+n),所以n(tm+n)=ntm+nn=t|m|n|cos+|n|2=t3k4k13+(4k)2=4tk2+16k2=0,所以t=-4.8.在ABC中,已知ABAC=4,|BC|=3,M,N分别是BC边上的三等分点,则AMAN的值是.答案6解析记BC中点为D,则由ABAC=14(AB+AC)2-(AB-AC)2=14(2AD)2-CB2=AD2-94=4,得AD2=254.所以AMAN=14(AM+AN)2-(AM-AN)2=14(2AD)2-14MN2=AD2-14=254-14=6.能力提升组9.设a,b,c均为非零向量,若|(a+b)c|=|(a-b)c|,则()A.abB.abC.ac或bcD.ac或bc答案D解析因为a,b,c均为非零向量,若|(a+b)c|=|(a-b)c|,所以(a+b)c=(a-b)c,或者(a+b)c=-(a-b)c,展开整理得到bc=0,或者ac=0,所以bc或ac.故选D.10.如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AEBE的最小值为()A.2116B.32C.2516D.3答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系,则A0,-12,B32,0,C0,32,D-32,0,点E在CD上,则DE=DC(01),设E(x,y),则x+32,y=32,32,即x+32=32,y=32,由此可得E32-32,32,且AE=32-32,32+12,BE=32-3,32,由数量积的坐标运算法则可得,AEBE=32-3232-3+3232+12,整理可得AEBE=34(42-2+2)(01),结合二次函数的性质可知,当=14时,AEBE取得最小值2116.故选A.11.在梯形ABCD中,ABDC,ABAD,AD=DC=1,AB=2,若AP=16AD+56AB,则|BC+tPB|(tR)的取值范围是()A.55,+B.2,+)C.55,1D.1,+)答案A解析AP=16AD+56AB,点P的位置在线段BD的六等分点(最靠近点B的分点).而|BC+tPB|(tR)=|BC-tBP|(tR),即为点C与直线BD上的动点Q所连线段的长度.当点Q在直线BD上,且CQBD时,长度最小为|CQ|=55.又点Q在直线BD上运动,故长度可无限增大,没有上界.故选A.12.已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为3,向量b满足b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是()A.3-1B.3+1C.2D.2-3答案A解析设a=(x,y),e=(1,0),b=(m,n),则由=3得ae=|a|e|cos3,x=12x2+y2,y=3x,由b2-4eb+3=0得m2+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,因此|a-b|的最小值为圆心(2,0)到直线y=3x的距离232=3减去半径1,为3-1,故选A.13.记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a,b,c满足|a|=|b|=ab=c(a+2b-2c)=2,则()A.|a-c|max=3+72B.|a+c|max=3-72C.|a-c|min=3+72D.|a+c|min=3-72答案A解析由已知可得,ab=|a|b|cos=2,则cos=12,=3.建立平面直角坐标系,a=OA=(2,0),b=OB=(1,3),c=OC=(x,y),由c(a+2b-2c)=2,可得(x,y)(4-2x,23-2y)=2,即4x-2x2+23y-2y2=2,化简得点C轨迹,(x-1)2+y-322=34.则|a-c|=(x-2)2+y2,转化为圆上点(x,y)与(2,0)的距离|a-c|max=12+322+32=3+72.故选A.14.已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),若ABC为锐角,实数m的取值范围是;若ABC为钝角时,实数m的取值范围是.答案-34,1212,+-,-34解析由已知得AB=OB-OA=(3,1),AC=OC-OA=(2-m,1-m).若ABAC,则有3(1-m)=2-m,解得m=12.由题设知,BA=(-3,-1),BC=(-1-m,-m).若ABC为锐角,则由BABC=3+3m+m0,可得m-34;若ABC为钝角,则m0时,1x=42-8+5=2-22+1,故当=1时,1x取最小值为1,即1x1,则0x1,当0时,1x=-42-8+5=-2-22+1-4+1=-5,所以-55x0.综上可得x-55,1,即OA在OP上的投影的取值范围是-55,1.16.如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,BACA=4,BFCF=-1,则BECE的值是.答案78解析因为在ABC中,D是BC的中点,所以BA+CA=2DA.又因为BA-CA=BC,所以BA=2DA+BC2,CA=2DA-BC2.所以BACA=4DA2-BC24=36DF2-BC24=4,同理,BFCF=4DF2-BC24=-1,因此DF2=58,BC2=132,BECE=4DE2-BC24=16DF2-BC24=78.17.已知向量a=(1,2),b=(-3,4).(1)求a+b与a-b的夹角;(2)若a(a+b),求实数的值.解(1)因为a=(1,2),b=(-3,4),所以a+b=(-2,6),a-b=(4,-2).所以cos=(-2,6)(4,-2)4020=-204020=-22.因为0,所以=34,即a+b与a-b的夹角为34.(2)因为a(a+b),所以a(a+b)=0.又a+b=(1-3,2+4),所以1-3+4+8=0,解得=-1.18.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B),n=(cos B,-sin B),且mn=-35.(1)求sin A的值;(2)若a=42,b=5