2016_2017学年高中数学第3章导数及其应用2导数的运算学案苏教版.docx

3.2.1常见函数的导数1.能根据导数的定义，求函数yc，yx，yx2，y的导数.2.能利用导数公式，求简单函数的导数.(重点、难点)基础初探教材整理基本函数的导数公式阅读教材P80P81，完成下列问题.(kxb)kC0(C为常数)(x)ax1(为常数)(ax)axlna(a0，且a1)(logax)logae(a0，且a1)(ex)ex(ln x)(sin x)cosx(cos x)sinx1.判断正误：(1)(log3).()(2)若f(x)，则f(x)ln x.()(3)因为(sin x)cos x，所以(sin )cos 1.()(4)f(x)a3(a为常数)，f(x)3a2.()【解析】(1).(log3)0.(2).若f(x)，则f(x).(3).(sin )0.(4).a是常数，f(x)a3是常数，故f(x)0.【答案】(1)(2)(3)(4)2.函数yln x在x2处的切线的斜率为_. 【导学号：24830071】【解析】ky|x2(ln x)|x2|x2.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型利用导数公式求函数的导数求下列函数的导数：(1)yx2；(2)y2cos21；(3)ylog3x；(4)y；(5)yx；(6)y.【精彩点拨】(3)可直接利用公式求导；(1)(2)(4)(5)(6)需变形之后利用公式求导.【自主解答】(1)yx2x，y(x)x1x.(2)y2cos21cos x，y(cos x)sin x.(3)y(log2x).(4)yx1x.(5)yx2x，y(2x)2xln 2.(6)yx，yx1x.利用求导公式求函数的导数的两个关注点(1)直接用公式：若所求函数符合基本初等函数导数公式，则直接利用公式求解.(2)变形用公式：对于不能直接利用公式的类型，关键是利用代数恒等变换对函数解析式进行化简或变形，合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如根式化成分数指数幂的形式等.再练一题1.求下列函数的导数.(1)y； (2)ylog2x2log2x.【解】(1)y(x4)4x414x5.(2)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x).利用导数求切线方程(1)(2016无锡高二检测)曲线yx3在点(1,1)处的切线方程为_.(2)若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为_.【导学号：24830072】【精彩点拨】(1)可直接利用kf(x0)求切线的斜率.(2)由l与直线x4y80垂直求出斜率，利用导数公式求切点，即得切线方程.【自主解答】(1)y3x2，k3123，故切线方程为y13(x1)，即3xy20.(2)设切点为(x0，y0)，y4x3，所以切线的斜率为4x，又l与直线x4y80垂直.4x1，x1，x01，切点为(1,1).切线方程为y14(x1)，即4xy30.【答案】(1)3xy20(2)4xy301.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.2.求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤再练一题2.设P(x0，y0)是曲线ycos x上的点，在点P处的切线与直线x2y10平行，则P点的坐标为_.【解析】点P处的切线与x2y10平行，切线斜率k，ysin x0，sin x0.又x0，x0，y0cos ，P点为.【答案】探究共研型导数的综合应用探究1函数yf(x)的导数为f(x)，f(x0)的几何意义是什么？【提示】f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率.探究2在涉及曲线的切线问题时，若切点坐标没有作为条件给出，应如何处理？【提示】应设出切点坐标，利用kf(x0)，y0f(x0)等条件构建方程组求解.探究3设某物体运动的位移为yf(t)，那么f(t0)的实际意义是什么？【提示】f(t0)是物体在tt0时刻的瞬时速度.(1)曲线yx3上一点B处的切线l交x轴于点A，OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为_.(2)某质点运动的方程为y2x，则在x3时的瞬时速度为_.【精彩点拨】(1)设出切点的坐标，由已知条件求出切点坐标，并求出斜率从而得出l的倾斜角.(2)求x3时的导数.【自主解答】(1)设切点为B(x0，y0)，倾斜角为，则ky|xx03x，切线方程为yy03x(xx0)，即yx3xx3x，令y0得xx0，依题意得|x0|，x，x，k3，tan ，60.(2)y2xln 2，当x3时瞬时速度为23ln 28ln 2.【答案】(1)60(2)8ln 2导数综合应用的解题策略(1)导数在实际问题中的应用非常广泛，如运动物体在某一时刻的瞬时速度等，解决此类问题的关键是正确理解导数的实际意义，准确求出导数.(2)利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题，解题的关键是正确确定切线的斜率，进而求出切点坐标.再练一题3.求曲线y和yx2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积.【解】由解得交点为(1,1).y，k11，曲线y在(1,1)处的切线方程为y1x1，即yx2.y(x2)2x，k22，曲线yx2在(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.yx2与y2x1和x轴的交点分别为(2,0)，.所求面积S1.构建体系1.f(x)，f(x)_.【解析】f(x)x.f(x)x1x.【答案】2.函数f(x)cos x，则f()f()_.【解析】f(x)(cos x)sin x，ffsin cos 1.【答案】3.曲线f(x)ln x在(2，ln 2)处切线的斜率是_.【解析】f(x)，kf(2).【答案】4.若某点运动的速度为v(t)t，则该质点在t2秒这一时刻的瞬时加速度为_.【解析】v(t)t，v(2).【答案】5.求下列函数的导数： 【导学号：24830073】(1)ycos；(2)ylog22x1.【解】(1)ycossin x，ycos x.(2)ylog22x1log2x，y.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十五)常见函数的导数(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.若f(x)，则f(1)_.【解析】f(1).【答案】2.下列命题中，正确命题的个数为_.若f(x)，则f(0)0；(logax)xln a；加速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数；曲线yx2在(0,0)处没有切线.【解析】因为f(x)，当x趋向于0时不存在极限，所以f(x)在0处不存在导数，故错误；(logax)，故错误；瞬时速度是位移S(t)对时间t的导数，故错误；yx2在(0,0)处的切线为y0，故错误.【答案】03.曲线ysin x在点处切线的斜率为_. 【导学号：24830074】【解析】ycos x，曲线ysin x在点处切线的斜率为cos.【答案】4.设f(x)x4，若f(x0)4，则x0_.【解析】f(x)4x3，f(x0)4x4，x1，则x01.【答案】15.已知函数f(x)log2x，则f(log2e)_.【解析】f(x)，f(log2e)1.【答案】16.曲线f(x)在处切线的方程为_.【解析】f(x)，kf(2)，则切线方程为y(x2)，即x4y40.【答案】x4y407.若曲线yx在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a_.【答案】648.设直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b的值为_.【解析】设切点为(x0，y0)，则y，x02，y0ln 2，切点为(2，ln 2)，切点在切线上，ln 22b，bln 21.【答案】ln 21二、解答题9.求下列函数的导数：(1)yx8；(2)y4x；(3)ysin；(4)ye2. 【导学号：24830074】【解】(1)y(x8)8x818x7.(2)y(4x)4xln 4.(3)ysincos x，y(cos x)sin x.(4)y(e2)0.10.求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离.【解】方法一：依题意知与直线xy20平行的抛物线yx2切线的切点到直线xy20的距离最小，设切点为(x0，x)，y(x2)2x，2x01，x0，切点坐标为，所求的最短距离d.方法二：设点(x，x2)是抛物线yx2上任意一点，则该点到直线xy20的距离d|x2x2|2，当x时，d有最小值，即所求的最短距离为.能力提升1.设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则xn等于_.【解析】y(n1)xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1).令y0得xn.【答案】2.函数yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak1，k为正整数，a116，则a1a3a5_.【解析】y2x，切线斜率k2ak，切线方程为ya2ak(xak)，令y0，a2akx2a，ak1ak，若a116，a34，a51，a1a3a5164121.【答案】213.抛物线yx2上到直线x2y40距离最短的点的坐标为_.【解析】当切线平行于直线x2y40时，切点为所求，令y2x，得x，所以距离最短的点的坐标为.【答案】4.已知两条曲线ysin x，ycos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.【解】不存在.理由如下：设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，所以两条曲线在P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1cos x0，k2sin x0.若使两条切线互相垂直，必须有cos x0(sin x0)1，即cos x0sin x01，也就是sin 2x02，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直.3.2.2函数的和、差、积、商的导数1.掌握导数的和、差、积、商的四则运算法则.(重点)2.会利用导数的四则运算法则求简单函数的导数.(难点)基础初探教材整理函数和、差、积、商的求导法则阅读教材P82P83例2以上部分，完成下列问题.公式语言叙述f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数和的导数等于这两个函数导数的和f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数差的导数等于这两个函数导数的差C(f(x)Cf(x)(C为常数)常数与函数的积的导数等于常数与函数的导数的积f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数(g(x)0)两个函数商的导数等于分母上的函数乘上分子的导数，减去分子乘以分母的导数所得的差除以分母的平方1.判断正误：(1)若f(x)a22axx2，则f(a)2a2x.()(2)运用法则求导时，不用考虑f(x)，g(x)是否存在.()(3)f(x)g(x)f(x)g(x).()【解析】(1).f(x)2a2x，f(a)2a2a4a.(2).运用法则求导时，要首先保证f(x)、g(x)存在.(3).f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x).【答案】(1)(2)(3)2.若f(x)，则f(x)_.【解析】f(x).【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型导数运算法则的应用求下列函数的导数：(1)yx43x25x6；(2)yxtan x；(3)y(x1)(x2)(x3); (4)y. 【导学号：24830075】【精彩点拨】仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣导数公式，不具备求导条件的可进行适当的恒等变形，再结合基本初等函数的导数公式，小心计算.【自主解答】(1) y(x43x25x6)(x4)(3x2)(5x)64x36x5.(2) y(xtan x).(3)(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3)x36x211x6，y(x1)(x2)(x3)(x36x211x6)3x212x11.(4)y. 深刻理解和掌握导数的四则运算法则是解决求函数的和、差、积、商的导数问题的前提.在具体求导时，可结合给定函数本身的特点，先分清函数结构，再将各部分的导数求出，具体的求解策略主要有以下几种.(1)直接求导：利用导数运算法则直接求导数，此法适用于一些比较简单的函数的求导问题.(2)先化简后求导：在求导中，有些函数形式上很复杂，可以先进行化简再求导，以减少运算量.(3)先分离常数后求导：对于分式形式的函数，往往可利用分离常数的方法使分式的分子不含变量，从而达到简化求导过程的目的.再练一题1.求下列函数的导数：(1)y2x3x；(2)y2xtan x; (3)f(x).【解】(1)y(2x3)x6x21.(2) y(2xtan x)(2x)tan x2x(tan x)2xln 2tan x2x2xln 2tan x2x2xln 2tan x2x2xtan2x2x(1ln 2tan xtan2x).(3)f(x).复杂曲线的切线问题(1)(2016聊城高二检测)曲线yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为_.(2)(2016南京高二检测)曲线y在点(1,1)处的切线方程为_.【精彩点拨】利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标，代入直线的点斜式方程得切线方程.【自主解答】(1)y3ln x4，k3ln 144，故切线方程为y14(x1)，即4xy30.(2)由y，所以k1，得切线方程为y1(x1)，即xy20.【答案】(1)4xy30(2)xy20利用常见函数的导数与导数运算公式来简化曲线切线的求法.(1)在点P(x0，y0)处的切线方程：yy0f(x0)(xx0)；(2)过点P(x1，y1)的切线方程：设切点坐标为(x0，y0)，则切线方程为yy0f(x0)(xx0)，代入点P(x1，y1)求出x0，即可得出切线方程(求出的x0的个数就是过这点的切线的条数).再练一题2.曲线yx32x1在点(1,0)处的切线方程为_. 【导学号：24830076】【解析】由导数的定义得y3x22，k1，切线方程为yx1.【答案】yx1探究共研型导数的综合应用探究1在曲线yf(x)上有一点(x0，f(x0)，那么曲线在这一点处切线的斜率是什么？【提示】 kf(x0).探究2在探究1中，若还已知切线上另外一点(x1，f(x1)，那么该切线的斜率还可以如何表示？和探究1中得到的结论有什么关系？【提示】k，f(x0).探究3若已知曲线yax2在点P处的切线方程为y2x1，能否求出切点P的坐标？能否求出曲线的方程？【提示】设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y2ax，所以切线的斜率为2ax02，又因为切点(x0，y0)在曲线yax2和切线y2x1上，所以有y0ax，且y02x01，即解之得，所以切点P的坐标为(1,1)，曲线的方程为yx2.探究4通过以上讨论，你认为如何解决有关曲线切线的问题？【提示】解决曲线的切线问题应充分利用切点满足的三个关系式：一是切线的斜率是函数在此切点处的导数；二是切点的坐标满足切线的方程；三是切点的坐标满足切线的方程.可根据上述三个方面的条件建立相关的方程(组)求解未知数.设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.【精彩点拨】(1)利用已知切线的斜率、切点的坐标满足曲线的方程和切线的方程构建方程组可求出a，b的值，可得函数f(x)的解析式；(2)根据已知条件求出曲线yf(x)上任一点处的切线方程，得到所求面积的表达式即知其为定值.【自主解答】(1)由7x4y120，得yx3.当x2时，y，f(2)，又f(x)a，f(2).由得解得故f(x)x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0).令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为：|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.利用导数来处理与切线斜率有关的问题是一种非常有效的方法，它适用于任何导数存在的函数，一般可以根据条件建立相关的方程(组)求解未知量.再练一题3.已知函数f(x)2x3ax与g(x)bx2cx的图象都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线.求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线的方程.【解】由题意，得f(2)g(2)，f(2)g(2)0.f(x)6x2a，g(x)2bxc，解得f(x)2x38x，g(x)8x216x，即f(x)6x28，f(2)16，在点P处的公切线方程为y16(x2).构建体系1.(2016潍坊高二检测)函数yx3cos x的导数是_.【解析】y3x2cos xx3(sin x)3x2cos xx3sin x.【答案】3x2cos xx3sin x2.函数y的导数为 _.【解析】y.【答案】3.已知函数f(x)ax2c，且f(1)2，则a的值为_.【解析】f(x)2ax，f(1)2a2，a1.【答案】14.曲线f(x)x3x25在x1处的切线的倾斜角为_.【解析】f(x)x22x，kf(1)1，故切线的倾斜角为.【答案】5.求下列函数的导数：(1)yx2sin x；(2)yln x；(3)y；【解】(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(ln x).(3)y.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十六)函数的和、差、积、商的导数(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.设f(x)ln a2x(a0且a1)，则f(1)_.【解析】f(x)ln a2x2xln a，f(x)(2xln a)(2x)ln a2x(ln a)2ln a，故f(1)2ln a.【答案】2ln a2.函数y(2x3)2的导数为_.【导学号：24830077】【解析】y(2x3)244x3x6，y6x512x2.【答案】6x512x2 3.(2016宿迁高二检测)函数y的导数是_.【解析】y.【答案】4.设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0的值为_.【解析】f(x)ln xxln x1，因为f(x0)2，所以ln x012，ln x01，x0e.【答案】e5.函数f(x)(x1)2(x1)在x1处的导数等于_.【解析】f(x)(x1)2(x1)x3x2x1，f(x)3x22x1，f(1)3214.【答案】46.已知f(x)x22xf(1)，则f(0)的值为_.【解析】f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2，f(0)2f(1)4.【答案】47.(2016扬州高二检测)若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_.【解析】设点P的坐标为(x0，y0)，yex.又切线平行于直线2xy10，所以ex02，可得x0ln 2，此时y02，所以点P的坐标为(ln 2,2).【答案】(ln 2,2)8.设f(x)ax2bsin x，且f(0)1，f，则a_，b_.【解析】f(x)2axbcos x，f(0)b1得b1，fa，得a0.【答案】01二、解答题9.求下列函数的导数：(1)yexln x; (2)yx. (3)f(x).【解】(1)y(exln x)exln xexex.(2)yx31，y3x2.(3)f(x)ex10.已知函数f(x)x34x25x4.(1)求