2019版高考数学复习第9章平面解析几何11第11讲定点、定值、探索性问题教案理.docx

第11讲定点、定值、探索性问题圆锥曲线中的定值问题 典例引领 (2018昆明市教学质量检测)在直角坐标系xOy中，已知定圆M：(x1)2y236，动圆N过点F(1，0)且与圆M相切，记动圆圆心N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设A，P是曲线C上两点，点A关于x轴的对称点为B(异于点P)，若直线AP，BP分别交x轴于点S，T，证明：|OS|OT|为定值【解】(1)因为点F(1，0)在圆M：(x1)2y236内，所以圆N内切于圆M，则|NM|NF|6|FM|，由椭圆定义知，圆心N的轨迹为椭圆，且2a6，c1，则a29，b28，所以动圆圆心N的轨迹方程为1.(2)证明：设P(x0，y0)，A(x1，y1)，S(xS，0)，T(xT，0)，则B(x1，y1)，由题意知x0x1，则kAP，直线AP的方程为yy1kAP(xx1)，令y0，得xS，同理xT，于是|OS|OT|xSxT|，又P(x0，y0)和A(x1，y1)在椭圆1上，故y8，y8，则yy(xx)，xyxy8x8x8(xx)所以|OS|OT|9.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得 (2018张掖市第一次诊断考试)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，右焦点为F，右顶点为E，P为直线xa上的任意一点，且()2.(1)求椭圆C的方程；(2)过F且垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A，B两点(点A在第一象限)，动直线l与椭圆C交于M，N两点，且M，N位于直线AB的两侧，若始终保持MABNAB，求证：直线MN的斜率为定值解：(1)设P，F(c，0)，E(a，0)，则，(ca，0)，所以(2c3a)(ca)4，又e，所以a2，c1，b，从而椭圆C的方程为1.(2)证明：由(1)知A，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设MN的方程：ykxm，代入椭圆方程1，得(4k23)x28kmx4m2120.则又M，N是椭圆上位于直线AB两侧的动点，若始终保持MABNAB，则kAMkAN0，即0，(kx1m)(x21)(x11)0，即(2k1)(2m2k3)0，得k.故直线MN的斜率为定值.圆锥曲线中的定点问题 典例引领 (2017高考全国卷)已知椭圆C：1(ab0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3(1，)，P4(1，)中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点【解】(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上因此解得故C的方程为y21.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0.解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1)圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关 (2018兰州市高考实战模拟)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1(2，0)，点B(2，)在椭圆C上，直线ykx(k0)与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)求以MN为直径的圆经过的定点坐标解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，因为椭圆的左焦点为F1(2，0)，所以a2b24.因为点B(2，)在椭圆C上，所以1.解得a28，b24，所以椭圆C的方程为1.(2)依题意点A的坐标为(2，0)，设P(x0，y0)(不妨设x00)，则Q(x0，y0)，由得x0，y0，所以直线AP的方程为y(x2)，直线AQ的方程为y(x2)，所以M，N，所以|MN|，设MN的中点为E，则点E的坐标为，则以MN为直径的圆的方程为x2，即x2y2y4.令y0得x2或x2，即以MN为直径的圆经过两定点P1(2，0)，P2(2，0)圆锥曲线中的探索性问题 典例引领 已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1，0)，右顶点为A，且|AF|1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x4交于点Q，是否存在点M(t，0)使0成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由【解】(1)由c1，ac1，得a2，所以b，故椭圆C的标准方程为1.(2)由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，所以64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.设P(xP，yP)，则xP，yPkxPmm，即P.因为M(t，0)，Q(4，4km)，所以，(4t，4km)，所以(4t)(4km)t24t3(t1)0恒成立，故即t1.所以存在点M(1，0)符合题意存在性问题的求解策略解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意 (2018陕西省高三教学质量检测试题(一)已知F1，F2为椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆E上，且|PF1|PF2|4.(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1l2，问是否存在常数，使得，成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由解：(1)因为|PF1|PF2|4，所以2a4，a2，所以椭圆E：1.将P代入可得b23，所以椭圆E的方程为1.(2)当AC的斜率为零或斜率不存在时，；当AC的斜率k存在且k0时，AC的方程为yk(x1)，代入椭圆方程1，并化简得(34k2)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AC|x1x2|.因为直线BD的斜率为，所以|BD|.所以.综上，2，所以.故存在常数，使得，成等差数列 求解定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把参数当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)g(x，y)0的形式(这里把参数k当作未知数)(2)既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于0，这样就得到一个关于x，y的方程组，即(3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，即满足的点(x0，y0)为直线或曲线所过的定点 求解定值问题的基本思路(1)先求出这个几何量或代数表达式；(2)对表达式进行化简，整理成yf(m，n，k)的最简形式；(3)根据已知条件列出必要的方程(或不等式)，消去参数，最后求出定值，一般是根据已知条件列出方程kg(m，n)代入yf(m，n，k)，得到yh(m，n)c(c为常数)的形式 探索性问题的求解策略(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法 1(2018郑州质量预测(一)已知直线l与双曲线y21相切于点P，l与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，则的值为()A3B4C5D与P的位置有关解析：选A.依题意，设点P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中x4y4，则直线l的方程是y0y1，题中双曲线的两条渐近线方程为yx.当y00时，直线l的方程是x2或x2.由，得，此时(2，1)(2，1)413，同理可得当直线l的方程是x2时，3.当y00时，直线l的方程是y(x0x4)由，得(4yx)x28x0x160(*)，又x4y4，因此(*)即是4x28x0x160，x22x0x40，x1x24，x1x2y1y2x1x2x1x2x1x23.综上所述，3，选A.2(2018湖南湘中名校联考)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，ABC的顶点都在抛物线上，且满足0，则_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，由，得y1y2y30.因为kAB，所以kAC，kBC，所以0.答案：03已知圆M：x2(y2)21，直线l：y1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且16，求证：直线AB恒过定点解：(1)设P(x，y)，则(y1)1x28y.所以E的方程为x28y.(2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)将直线AB的方程代入x28y中，得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b.x1x2y1y2x1x28bb216b4，所以直线AB恒过定点(0，4)4椭圆C：1(ab0)的离心率为，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A，B两点当m0时，.(1)求椭圆C的方程；(2)证明：|PA|2|PB|2为定值解：(1)因为离心率为，所以.当m0时，l的方程为yx，代入1并整理得x2.设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，xyx.又因为，所以a225，b216，椭圆C的方程为1.(2)证明：l的方程为xym，代入1，并整理得25y220my8(m225)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)则|PA|2(x1m)2yy，同理|PB|2y.则|PA|2|PB|2(yy)(y1y2)22y1y241.所以|PA|2|PB|2为定值1(2018太原市模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，直线l：ykxm与椭圆C相交于A，P两点，与x轴，y轴分别相交于点N和M，且|PM|MN|，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆C于点B，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由解：(1)由题意得解得，所以椭圆C的方程为1.(2)存在这样的直线l.因为ykxm，所以M(0，m)，N，因为|PM|MN|，所以P，则Q，所以直线QM的方程为y3kxm.设A(x1，y1)，由，得(34k2)x28kmx4(m23)0，所以x1，所以x1，设B(x2，y2)，由，得(336k2)x224kmx4(m23)0.所以x2，所以x2，因为点N平分线段A1B1，所以x1x2，所以，所以k，所以P(2m，2m)，所以1，解得m，因为|m|b，所以直线l的方程为yx.2(2018福州市综合质量检测)已知圆O：x2y24，点A(，0)，B(，0)，以线段AP为直径的圆C1内切于圆O.记点P的轨迹为C2.(1)证明：|AP|BP|为定值，并求C2的方程；(2)过点O的一条直线交圆O于M，N两点，点D(2，0)，直线DM，DN与C2的另一个交点分别为S，T.记DMN，DST的面积分别为S1，S2，求的取值范围解：(1)如图，因为圆C1内切于圆O，所以|OC1|2|AP|.依题意，O，C1分别为AB，A