全国高考数学复习第十篇计数原理概率随机变量及其分布第5节古典概型与几何概型习题理.docx

第5节古典概型与几何概型【选题明细表】知识点、方法题号古典概型1,3,4,7,10,12,14,15几何概型2,5,6,8,9,11,13古典概型与几何概型的综合16基础对点练(时间:30分钟)1.若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标,则点P落在圆x2+y2=16内的概率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:基本事件的总数是36,点P落在圆内的基本事件是(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共8个,故所求的概率是=.2.如图,在圆心角为90的扇形中,以圆心O为起点作射线OC,则使得AOC与BOC都不小于15的概率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:在上取C1,C2两点使AOC1=15,BOC2=15,则满足条件的射线OC落在C1OC2内部,C1OC2=60,则所求概率为=.故选D.3.在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则构成的四边形是梯形的概率为(B)(A)(B)(C)(D)解析:如图,在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点,共有15种选法,其中构成的四边形是梯形的有ABEF,BCDE,ABCF,CDEF,ABCD,ADEF,共6种情况,故构成的四边形是梯形的概率P=.4.(2016湖南常德三月模拟)已知3件次品和2件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为(B)(A)(B)(C)(D)解析:基本事件总数可以看作,所取的随机事件含有的基本事件数为32,故其概率为=.5.甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面,并约定谁先到后必须等10分钟,若等待10分钟后另一人还没有来就离开.如果甲是8:30分到达的,假设乙在8点到9点内到达,且乙在8点到9点之间何时到达是等可能的,则他们见面的概率是(C)(A)(B)(C)(D)解析:只要乙在8:208:40内到达即可,由于乙在8:009:00到达是等可能的,故他们能够见面的概率是=.6.如图,大正方形的面积是34,四个全等直角三角形围成一个小正方形,直角三角形的较短边长为3,向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在小正方形内的概率为(B) (A)(B)(C)(D)解析:因为大正方形的面积是34,所以大正方形的边长是,由直角三角形的较短边长为3,得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3,则小正方形边长为2,面积为4.所以小花朵落在小正方形内的概率为P=.故选B.7.(2016广东省适应性考试)从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点,则这两点间的距离小于1的概率是(A)(A)(B)(C)(D)解析:两点间的距离小于1共有3种情况,分别为中心到三个中点的情况,故两点间的距离小于1的概率P=.8.在平面直角坐标系xOy中,不等式组所表示的平面区域是,不等式组所表示的平面区域是.从区域中随机取一点P(x,y),则P为区域内的点的概率是(C)(A)(B)(C)(D)解析:如图,总的基本事件占有的平面区域的面积为32,随机事件“P为区域内的点”占有的平面区域的面积是4=24,故所求的概率是=.9.导学号 18702582长方体ABCDA1B1C1D1中,有一动点在此长方体内随机运动,则此动点在三棱锥AA1BD内的概率为.解析:设事件M表示“动点在三棱锥AA1BD内”,P(M)=.答案:10.(2016湖南衡阳市高三二联)下面茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,则这两名同学的植树总棵数为20棵的概率是.解析:记甲组四名同学为A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为9,9,11,11:乙组四名同学为B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为9,8,9,10,分别从甲,乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有=16个.设选出的两名同学的植树总棵数为20为事件C,则C中的结果有4个,它们是(A3,B1),(A4,B1),(A3,B3),(A4,B3),故所求概率为P(C)=.答案:能力提升练(时间:15分钟)11.在区间0,2上随机取两个数x,y,则xy0,2的概率是(C)(A) (B)(C)(D)解析:显然在区间0,2上任取两数其积一定不小于零,故问题等价于在0,2上随机取数x,y,使xy2的概率.由xy2,即y,所求的概率是=.12.(2016江西九江三模)高中数学联赛期间,某宾馆随机安排A,B,C,D,E五名男生入住3个标间(每个标间至多住2人),则A,B入住同一标间的概率为(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为某宾馆随机安排A,B,C,D,E五名男生入住3个标间,共有=90种情形,A,B入住同一标间有=18种情形,所以A,B入住同一标间的概率为P=,故选B.13.导学号 18702583如图,在正方形OABC内,阴影部分是由两曲线y=,y=x2(0x1)围成,在正方形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是(B) (A)(B)(C)(D)解析:阴影部分面积S=(-x2)dx=(-x3)|=,所以所求概率为P=.故B正确.14.导学号 18702584将5本不同的书全发给4名同学,每名同学至少有一本书的概率是.解析:将5本不同的书全发给4名同学共有45种发法,其中每名同学至少有一本书的发法有,故每名同学至少有一本书的概率是P=.答案:15.导学号 18702585某普通高中组队参加中学生辩论赛,文科班推荐了3名男生、4名女生,理科班推荐了3名男生、2名女生,他们各有所长,总体水平相当,学校拟从这12名学生中随机抽取3名男生、3名女生组队集训.(1)求理科班至少有2名学生入选集训队的概率;(2)若先抽取女生,每次随机抽取1人,设X表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科班女生的人数,求X=0,1,2时的概率.解:(1)理科班没有学生入选集训队的概率为=,理科班有1名学生入选集训队的概率为=,理科班至少有2名学生入选集训队的概率为1-(+)=87100.(2)X=0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.16.导学号 18702586设O为坐标原点,点P的坐标为(x-2,x-y).(1)在一个盒子中,放有标号为1,2,3的三张卡片,现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x,y,求|OP|的最大值,并求事件“|OP|取到最大值”的概率;(2)若利用计算机随机在0,3上先后取两个数分别记为x,y,求P点在第一象限的概率.解:(1)记抽到的卡片标号为(x,y),所有的情况分别如下表:(x,y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)P(x-2,x-y)(-1,0)(-1,-1)(-1,-2)(0,1)(0,0)(0,-1)(1,2)(1,1)(1,0)|OP|11011其中基本事件的总数为9,随机事件A“|OP|取最大值”包含2个基本事件,故所求的概率为P(A)=.(2)设事件B为“P点在第一象限”.若则其所表示的区域面积为33=9.由题意可得事件B满足即如图所示的阴影部分,其区域面积为13-11=.所以P(B)=.好题天天练1.导学号 18702587在区间0,10内随机取出两个数,则这两个数的平方和在区间0,10内的概率为(A)(A) (B) (C) (D)解题关键:几何概型,构造平面区域,求基本事件所占区域的面积和所求的随机事件所占区域的面积,使用几何概型的计算公式.解析:所求概率为几何概型,测度为面积,设这两个数为x,y,则0x,y10,构成一个正方形,面积为102,这两个数的平方和x2+y20,10在正方形中阴影面积为,因此所求概率为=,故选A.2.(2016安徽百校二联)从自然数15中任取3个不