高中数学第2讲直线与圆的位置关系5与圆有关的比例线段学案新人教A版.docx

五与圆有关的比例线段1会论证相交弦、割线、切割线、切线长定理(重点)2能运用相交弦、割线、切割线、切线长定理进行计算与证明(重点、难点)基础初探教材整理1相交弦定理阅读教材P34P35“定理”及以上部分，完成下列问题1文字语言圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等2图形语言如图251，弦AB与CD相交于P点，则PAPBPCPD.图251AB是O的直径，弦CDAB，垂足为M，AM4，BM9，则弦CD的长为_【解析】根据相交弦定理，AMBM2，所以6，CD12.【答案】12教材整理2割线定理阅读教材P35P36“割线定理”及以上部分，完成下列问题1文字语言从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等2图形语言如图252，O的割线PAB与PCD，则有PAPBPCPD.图252如图253，O的弦ED，CB的延长线交于点A.若BDAE，AB4，BC2，AD3，则DE_.图253【解析】由割线定理知，ABACADAE，即463(3DE)，解得DE5.【答案】5教材整理3切割线定理阅读教材P36“切割线定理”及以上部分，完成下列问题1文字语言从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项2图形语言如图254，O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2PBPC.图254如图255，P是O外一点，PA与O相切于点A，过点P的直线l交O于B，C，且PB4，PC9，则PA等于()图255A4B6C9D36【解析】由切割线定理知，PA2PBPC4936，PA6.【答案】B教材整理4切线长定理阅读教材P36P40，完成下列问题1文字语言从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角2图形表示如图256，O的切线PA，PB，则PAPB，OPAOPB.图256质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型切割线定理如图257所示，已知AD为O的直径，AB为O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BMMNNC，若AB2.求：图257(1)BC的长；(2)O的半径r.【精彩点拨】【自主解答】(1)不妨设BMMNNCx.根据切割线定理，得AB2BMBN，即22x(xx)，解得x，BC3x3.(2)在RtABC中，AC，由割线定理，得CDACCNCM，由(1)可知，CN，BC3，CMBCBM32，AC，CD，r(ACCD).1解答本题的关键是先根据切割线定理求BC.2切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等再练一题1(2016唐山期末)如图258，ABC内接于O上，ABAC，ADAB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AFAE，求证：(1)BF是O的切线；(2)BE2AEDF. 【导学号：07370045】图258【证明】(1)连接BD.因为ADAB，所以BD是O的直径因为AEAF，所以FBAEBA.又因为ABAC，所以EBAC.又因为CD，DABD90，所以FBAABD90，即FBD90，所以BF是O的切线(2)由切割线定理，得BF2AFDF.因为AFAE，BEBF，所以BE2AEDF.切线长定理如图259，AB是O的直径，C是O上一点，过点C的切线与过A，B两点的切线分别交于点E，F，AF与BE交于点P.图259求证：EPCEBF.【精彩点拨】【自主解答】EA，EF，FB是O的切线，EAEC，FCFB.EA，FB切O于A，B，AB是直径，EAAB，FBAB，EAFB，CPFB，EPCEBF.1解答本题的关键是利用对应线段成比例得到CPFB.2运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即(1)切线长相等，(2)圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明 再练一题2.如图2510所示，已知O的外切等腰梯形ABCD，ADBC，ABDC，梯形中位线为EF.图2510(1)求证：EFAB；(2)若EF5，ADBC14，求此梯形ABCD的面积【解】(1)证明：O为等腰梯形ABCD的内切圆，ADBCABCD.EF为梯形的中位线，ADBC2EF.又ABDC，2EF2AB，EFAB.(2)EF5，AB5，ADBC10.ADBC14，AD2，BC8.作AHBC于H，则BH(BCAD)(82)3.在RtABH中，AH4，S梯形ABCDEFAH5420.探究共研型相交弦定理探究1能否用三角形相似证明相交弦定理？【提示】能如图，O的弦AB，CD相交于P点，连接AD，BC，则APDCPB.故有，即PAPBPCPD.探究2垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间有何关系？【提示】如图，PA，PB为O的两条切线，A，B为切点，PCD为过圆心O的割线，连接AB，交PD于点E，则有下列结论：(1)PA2PB2PCPDPEPO；(2)AE2BE2DECEOEPE；(3)若AC平分BAP，则C为PAB的内心；(4)OA2OC2OEOPOD2；(5) ，PDAB；(6)AOPBOP，APDBPD.(2016南京、盐城模拟)如图2511，AB，CD是半径为1的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，若PC，OP，则PD_.图2511【精彩点拨】由垂径定理知OPAB，由勾股定理知PB，由相交弦定理得PD.【自主解答】P为AB中点，OPAB，PB，又PCPDPAPBPB2，由PC，得PD.【答案】1解答本题的关键是先用勾股定理求PB，再用相交弦定理求PD.2相交弦定理的运用往往与相似形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明 再练一题3如图2512，PC切O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CDAB于点E，PC4，PB8，则CD_.图2512【解析】由于PC切O于点C，由切割线定理得PC2PAPB，所以PA2，ABPBPA826，由于CDAB，且AB为圆O的直径，由垂径定理知CEDE.设AEx，由相交弦定理得CEDEAEBEx(6x)，即CE2x(6x)，由勾股定理得CE2PC2PE242(x2)2，故有x(6x)42(x2)2，解得x，CE2，CE，CD2CE.【答案】构建体系1点C在O的弦AB上，P为O上一点，且OCCP，则()AOC2CACBBOC2PAPBCPC2PAPBDPC2CACB【解析】根据OCCP，可知C为弦PC的中点，再由相交弦定理即有PC2CACB.【答案】D2如图2513，ACB90，CDAB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()ACECBADDBBCECBADABCADABCD2DCEEBCD2图2513【解析】在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2ADDB，再根据切割线定理可得CD2CECB，所以CECBADDB.【答案】A3.如图2514，AB是圆O的直径，过A，B的两条弦AD和BE相交于点C，若圆O的半径是3，那么ACADBCBE的值等于_【导学号：07370046】图2514【解析】由相交弦定理得ACCDBCCE，ACADAC(ACCD)AC2ACCDAC2BCCEAE2CE2BCCEAE2CE(CEBC)AE2BECE，ACADBCBEAE2BECEBCBEAE2BE(CEBC)AE2BE2AB236.【答案】364如图2515，在ABC中，ACB90，A60，AB20，过C作ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为_图2515【解析】在RtACB中，ACB90，A60，ABC30.AB20，AC10，BC10.CD为切线，BCDA60.BDC90，BD15，CD5.由切割线定理得CD2DEBD，即(5)215DE，DE5.【答案】57如图2516所示，已知PA与O相切，A为切点，PBC为割线，D为O上的点，且ADAC，AD，BC相交于点E.图2516(1)求证：APCD；(2)设F为CE上的一点，且EDFP，求证：CEEBFEEP.【证明】(1)ADAC，ACDADC.又PA与O相切于点A，ACDPAD.PADADC，APCD.(2)EDFP，且FEDAEP，FEDAEP，FEEPAEED.又A，B，D，C四点均在O上，CEEBAEED，CEEBFEEP.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1如图2517，O的两条弦AB与CD相交于点E，EC1，DE4，AE2，则BE()图2517A1B2C3D4【解析】由相交弦定理得AEEBDEEC，即2EB41，BE2.【答案】B2PT切O于T，割线PAB经过点O交O于A，B，若PT4，PA2，则cosBPT()A.B.C.D.【解析】如图所示，连接OT，根据切割线定理，可得PT2PAPB，即422PB，PB8，ABPBPA6，OTr3，POPAr5，cosBPT.【答案】A3如图2518，O的直径CD与弦AB交于P点，若AP4，BP6，CP3，则O的半径为()图2518A5.5 B5C6D6.5【解析】由相交弦定理知APBPCPPD，AP4，BP6，CP3，PD8，CD3811，O的半径为5.5.【答案】A4如图2519，在RtABC中，C90，AC4，BC3.以BC上一点O为圆心作O与AC，AB都相切，又O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为() 【导学号：07370047】图2519A1B.C.D.【解析】观察图形，AC与O切于点C，AB与O切于点E，则AB5.如图，连接OE，由切线长定理得AEAC4，故BEABAE541.根据切割线定理得BDBCBE2，即3BD1，故BD.【答案】C5.如图2520，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：图2520ADAEABBCAC；AFAGADAE；AFBADG.其中正确结论的序号是()A B CD【解析】项，BDBF，CECF，ADAEACCEABBDACABCFBFACABBC，故正确；项，ADAE，AD2AFAG，AFAGADAE，故正确；项，延长AD于M，连接FD，AD与圆O切于点D，则GDMGFD，ADGAFDAFB，则AFB与ADG不相似，故错误，故选A.【答案】A二、填空题6如图2521，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线交于D，过点C作BD的平行线与圆交于点E，与AB交于点F，AF3，FB1，EF，则CD_.图2521【解析】因为AFBFEFCF，解得CF2，由CEBD，得，所以，即BD.设CDx，AD4x，所以4x2，所以x.【答案】7如图2522，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA3，PDDB916，则PD_，AB_.图2522【解析】由于PDDB916，设PD9a，则DB16a.根据切割线定理有PA2PDPB.又PA3，PB25a，99a25a，a，PD，PB5.在RtPAB中，AB2PB2AP225916，故AB4.【答案】48如图2523所示，过点P的直线与O相交于A，B两点若PA1，AB2，PO3，则O的半径等于_图2523【解析】设O的半径为r(r0)，PA1，AB2，PBPAAB3.延长PO交O于点C，则PCPOr3r.设PO交O于点D，则PD3r.由圆的割线定理知，PAPBPDPC，13(3r)(3r)，9r23，r.【答案】三、解答题9(2016山西四校联考)如图2524所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA10，PB5，BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.图2524(1)求证：；(2)求ADAE的值【解】(1)证明：PA为圆O的切线，PABACP.又P为公共角，PABPCA，.(2)PA为圆O的切线，PC是过点O的割线，PA2PBPC，PC20，BC15.又CAB90，AC2AB2BC2225.又由(1)知，AC6，AB3，连接EC，则CAEEAB，AECABD.ACEADB，.ADAEABAC3690.10如图2525，已知PA，PB切O于A，B两点，PO4cm，APB60，求阴影部分的周长图2525【解】如图所示，连接OA，OB.PA，PB是O的切线，A，B为切点，PAPB，PAOPBO，APOAPB，在RtPAO中，APPOcos42 (cm)，OAPO2 (cm)，PB2 (cm)APO，PAOPBO，AOB，lAOBR2(cm)，阴影部分的周长为PAPBl22(cm)能力提升1如图2526，已知PT切O于点T，TC是O的直径，割线PBA交TC于点D，交O于B，A(B在PD上)，DA3，DB4，DC2，则PB等于()【导学号：07370048】图2526A20B10C5D8【解析】DA3，DB4，DC2，由相交弦定理得DBDADCDT，即DT6.因为TC为O的直径，所以PTDT.设PBx，则在RtPDT中，PT2PD2DT2(4x)236.由切割线定理得PT2PBPAx(x7)，所以(4x