数学思想与方法课程考核说明.doc

561d1eb54b7dc516b63400d5ec30a186.pdf 第 44 页 共 44 页数学思想与方法课程考核说明考核说明 数学思想方法是广播电视大学专升本开放教育小学教育专业学生的一门重要的必修课，其全国统一的结业考试(期末考试)是一种目标参照性考试，考试合格者应达到普通高等学校小学教育专业的专升本水平。因此，考试应具有较高的信度、效度和一定的区分度。试题应符合课程教学大纲的要求，体现广播电视大学培养应用型人才的特点。考试旨在测试对数学思想方法的认识，对数学思想方法教学的特点的掌握，以及将所学数学思想方法初步应用于小学数学教学的能力。期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点。考核方式包括形成性考核和课程终结考试。第一部分 课程考核基本说明 一、考核对象中央广播电视大学本科开放教育小学教育专业学生。二、考核方式本课程的考核采取两种形式：形成性考核和课程终结性考试。课程总成绩按百分制计算，形成性考核占30%，课程终结性考试70%。1形成性考核：包括课堂讨论、教案设计、学习心得与练习做题。2课程终结考试：形式为期末闭卷考试。三、考核依据本课程终结考试的命题依据是根据中央广播电视大学本科开放教育小学教育专业教学计划、数学思想与方法课程教学大纲、以及数学思想与方法课程文字教材（顾泠沅主编，朱成杰副主编 中央广播电视大学出版社出版）。考核说明中的考核知识与考核要求不得超出课程教学大纲与教材的范围与要求。四、形考形式和要求1形考形式：形考形式有四种课堂讨论、教案设计、学习心得、练习做题。2形考要求：（1）课堂讨论：讨论人数最少不得低于5人，最多不得高于20人，人数多的班级可以分组进行讨论。安排的4次讨论活动，可以视当地具体情况，由教学点任意选择其中的两次。（2）教案设计：自拟题目进行教学案例设计。可针对不同的年级选择教学内容，要充分注意教材中所提到的各种数学方法运用。可以参考教材的第13章。教案设计完成后要进行小组交流。小组交流为5人一组，相互评论。（3）学习心得：学生可以根据实际的教学进度，选择自己感兴趣的内容撰写学习心得。（4）练习做题：计算题要求解答过程；简答题只要答出要点即可；论述题要求有所展开，并有自己的见解。五、终考要求和形式1终考要求本课程终结考试为期末闭卷考试，考生不得携带任何形式的参考资料和电子读物或工具。2组卷原则期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点。根据教材所涵盖的有关知识内容，涉及教材内容不少于75%。3试题类型及试卷结构题 型分值时间填空题30%40分钟判断题20%简答题30%50分钟解答题20% 4考核方式：考核方式为期末闭卷考试。笔答，满分为100分，由中央电大统一命题，在同一时间全国统考。考试时间总共为90分钟。试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例大致为4:4:2。试题类型分为：填空题、简述题、计算题和论述题。填空题只要求直接填写结论，不必对结论进行解释；简述题要求给出简要的答案；计算题要求写出运算过程与答案；论述题要求写出具有论点与论据的详细论述等。四种题型分数的百分比大致为：填空题30%，判断题10%，简答题30%，解答题30%。（课程终结性考试成绩=期末闭卷考试成绩70%。）5答题时限：90分钟。六、课程综合成绩记分方法课程综合成绩=形成性考核总成绩+期末闭卷考试成绩70%。1形成性考核总成绩：形成性考核总成绩满分为30分。其中四种形式所占比例分别为：课堂讨论占5分，教案设计占5分，学习心得占10分，记分作业占10分。两次课堂讨论、一次教案设计、二次学习心得、四次作业练习，每次均按百分制计算。各次获得的成绩按所占比例叠加，合并为形成性考核总成绩。即：形成性考核总成绩 =两次课堂讨论平均成绩5%+教案设计成绩5%+两次学习心得平均成绩10%+四次练习做题平均成绩10%2终结性考试成绩：终结性考试成绩=期末闭卷考试成绩70%。七、样题 （见所附样题）第二部分 考核内容和考核要求第一章 数学思想与方法的两个源头（一）考核知识点：几何原本的形成、内容、特点和意义；九章算术的形成、内容、特点和意义。（二）考核要求：熟练掌握几何原本和九章算术形成的原因和基本内容。掌握几何原本和九章算术数学思想的意义。了解几何原本和九章算术的特点。第二章 数学思想与方法的几次重要突破（一）考核知识点：算术的局限性与代数产生的必然性；常量数学的局限性，变量数学的产生及其意义；欧氏几何的局限性，非欧几何、解析几何的产生及其意义；确定数学的局限性，随机数学的产生、发展及其意义。（二）考核要求:了解算术的局限性、常量数学的局限性、欧氏几何的局限性、确定数学的局限性；了解变量数学、非欧几何、解析几何产生的过程、随机数学的发展；了解确定数学与随机数学的区别；掌握变量数学产生的意义、随机数学产生的意义；熟练掌握变量数学产生的过程、解析几何与欧氏几何的区别；第三章 数学的真理性*（本章不考）第四章 现代数学的发展趋势（一）考核知识点：数学的统一性；自然科学的数学化、社会科学的数学化；数学机械化、计算数学的发展、新学科的发展。（二）考核要求：了解数学的统一性；了解数学在自然科学和社会科学中的广泛应用；理解数学机械化产生与发展及其意义、计算机促进计算数学的发展；掌握科学的数学化、数学机械化的发展；了解计算机促进数学中新学科的发展。第五章 概括与抽象（一）考核知识点：抽象、抽象过程、数学抽象的特征、常用的数学抽象方式；概括、概括过程、概括与抽象的关系。（二）考核要求：了解抽象、概括的含义以及概括与抽象的关系；熟练掌握抽象过程、概括过程和常用的数学抽象方式；理解抽象与概括的区别。第六章 猜想与反驳（一）考核知识点：归纳、归纳推理的形式、猜想、归纳猜想；类比、类比推理的形式、类比的种类、类比猜想；反例反驳、反例在教学中的应用、猜想能力的培养。（二）考核要求：理解归纳、类比的含义及其推理形式。熟练掌握归纳猜想、类比猜想以及举反例在教学中应用；掌握类比猜想、反例反驳、猜想能力培养第七章 演绎与化归（一）考核知识点：公理方法、公理体系、形式化、公理方法的作用和意义；化归方法、化归方法的基本原则、实现化归的常用途径、化归方法在教学中的应用。（二）考核要求：了解公理方法、化归方法的含义；理解公理方法的作用和意义；掌握化归方法的基本原则和实现化归的常用途径；熟练掌握化归方法及其应用；第八章 计算与算法（一）考核知识点：计算、计算工具的发展、计算的意义；算法、算法的特点、算法的意义。（二） 考核要求：了解计算、算法；了解计算工具的发展；理解计算的意义、算法的意义；掌握算法的特点。第九章 应用与建模（一）考核知识点：数学模型、数学模型方法、数学建模举例、数学建模的基本步骤；数学模型在数学教学中的作用、几个重要的数学模型、数学模型方法的现代应用。（二）考核要求：了解数学模型、数学模型方法的含义；熟练掌握数学模型方法、建模的基本步骤及其在数学教学中的作用；掌握几个重要的数学模型。第十章 其他方法（一）考核知识点：分类方法、分类的标准、现象分类和本质分类、分类方法的应用；数形结合方法、数形结合方法的应用；特殊化方法、特殊化方法的应用、特殊化与一般化的辩证关系。（二）考核要求：了解分类方法、数形结合方法、特殊化方法的含义；理解现象分类、本质分类以及特殊化与一般化的辩证关系；掌握特殊化方法的应用；熟练掌握分类方法、数形结合方法。第十一章 数学思想与方法与素质教育（一）考核知识点：我国数学教育的现状、数学教育效益的思考、国际国内数学教育改革情况；数学知识与数学思想与方法的关系、数学思想与方法与素质教育的关系；数学思想与方法教学的现状及其思考、加强数学思想与方法教学。（二）考核要求：了解我国数学教育取得的成就及存在的问题、国内外数学教育的改革情况；熟练掌握理解数学知识与数学思想与方法的关系；熟练掌握数学思想与方法与素质教育的关系；理解加强数学思想与方法教学的重要性。第十二章 数学思想与方法教学（一）考核知识点：数学思想与方法频数分布、数学思想与方法频数分布的启示；学生理解数学思想与方法的主要阶段；数学思想与方法教学的特点、数学思想与方法教学的注意事项。（二）考核要求：了解数学思想与方法的频数分布；理解数学思想与方法频数分布的启示；掌握学生理解数学思想与方法的主要阶段；掌握数学思想与方法教学的特点及注意事项；第十三章 数学思想与方法教学案例（一）考核知识点：化归方法、数学模型方法、归纳猜想、综合方法在教学中应用。（二）考核要求：熟练掌握化归方法、数学模型方法、归纳猜想的教学案例中体现的数学思想与方法教学特点；掌握数学思想与方法综合应用的特点。第三部分 试题类型及规范解答举例一、填空题(每题3分)1几何原本思想方法的特点是封闭的演绎体系、抽象化的内容、公理化的方法。(容易题)2设A是解决问题D的一种算法，若以表示用计算A求规模为n的问题D所需要的运算次数，则刻划了计算A的复杂程度。(中等题)二、判断题(每题4分)1在特定的条件下，特殊情况能与一般情况等价。(是)(容易题)2完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。(是)(容易题)三、简答题(每题10分)1叙述强抽象的含义，并举一例。(容易题)答：强抽象就是指通过把一些新的特征加入到某一概念中而形成新概念的抽象过程。从逻辑上讲，这种抽象主要表现为“种加类差”的形式，抽象得到的结论类属于原概念。例如将“一元”、“一次”两个特征加入“方程”概念中，就可由强抽象得到一元一次方程的概念。2为什么数形结合方法在数学中有非常广泛的应用？(中等题)答：因为数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的。既不存在有数无形的客观对象，也不存在有形无数的客观对象。因此，在数学发展进程中，数与形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。充分运用数形结合方法解决数学问题，对于沟通代数、三角、几何各学科之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力具有重要作用。四、解答题(20分)(较难题)1根据下列材料设计一个教学片断。材料：观察每行的前四个数，想一想接下去应该填什么数。(1)2，10，18，26，；(2)95，90，85，80，。(要求：教学过程要比较具体，并且有一定的层次；要有数学思想方法教学内容)解：将教学过程设计成如下三个层次：做第一行时，教师引导学生观察相邻两数之间的关系：第二个数减第一个数的差是8，第三个数减第二个数的差是8，第四个数减第三个数的差也是8。由此经过归纳可以猜想出规律：后一个数减前一个数的差都是8。然后再按这个规律填写出后面的数为34，42。做第二行时，教师可先回顾上题的解题步骤：观察前四个数中相邻两数之间的关系，然后通过归纳猜想找出规律，最后再根据规律在空格处填上相应的数。让学生自己独立解题，对有困难的学生适当进行指导。学生做完此题，教师再和学生共同概括出解答这类问题的基本步骤：观察相邻两数关系 归纳猜想规律 根据规律填数引导学生领悟归纳猜想思想方法。（以下为以往内容仅供参考）考核内容和考试要求第一章 数学思想方法的两个源头(一)考核知识点几何原本的形成 几何原本的基本内容 几何原本思想方法的特点 几何原本思想方法的意义九章算术的形成 九章算术的基本内容九章算术思想方法的特点 九章算术思想方法的影响(二)考核要求1了解几何原本、九章算术形成的原因和基本内容。2理解几何原本、九章算术数学思想方法的特点和意义第二章 数学思想方法的几次突破(一)考核知识点算术的局限性 代数的产生代数体系结构的形成 常量数学的局限性解析几何的产生 函数概念的出现微积分的产生 变量数学的意义确定数学的局限性 随机数学的产生与发展随机数学的意义(二)考核要求1了解算术的局限性、常量数学的局限性、确定数学的局限性2了解变量数学产生的过程和随机数学的发展。3理解变量数学产生的意义、随机数学产生的意义。4掌握确定数学与随机数学的区别。第三章 数学的真理性本章为选学内容，不列入考核范围。第四章 现代数学的发展趋势(一)考核知识点数学的统一性 自然科学的数学化社会科学的数学化 数学机械化计算数学的发展(二)考核要求1了解数学的统一性。2了解数学在自然科学和社会科学中的应用。3了解数学机械化的产生、发展及其意义。4了解计算机对数学发展的促进。第五章 抽象与概括(一)考核知识点抽象 抽象过程 数学抽象的特征常用的数学抽象方式 概括 概括过程概括与抽象的关系(二)考核要求 1了解抽象、概括的含义。2掌握抽象过程、概括过程和常用的数学抽象方式。3了解抽象与概括的关系。第六章 猜想与反驳(一)考核知识点归纳法 不完全归纳法 完全归纳法数学猜想 归纳猜想 类比法类比的类型 类比猜想 反例反驳反例在教学中的应用猜想能力培养(二)考核要求1理解归纳法、类比法的含义2掌握不完全归纳法、完全归纳法以及类比法的推理形式。3理解不完全归纳法与完全归纳法的区别。4了解类比的类型及类比误区。5掌握归纳猜想、类比猜想及猜想能力的培养。6熟练掌握反例在教学中的应用。第七章 演绎与化归(一)考核知识点演绎推理 公理方法 具体公理体系抽象公理体系 形式公理体系 公理方法的作用 化归方法 化归方法的基本原则化归方法的应用(二)考核要求1掌握演绎推理及其主要形式。2了解公理方法、化归方法的含义。3了解具体公理体系、抽象公理体系和形式公理体系的区别。4理解公理方法的作用。5熟练掌握化归方法的基本原则及化归方法在教学中的应用第八章 计算与算法(一)考核知识点计算 计算工具 计算的意义 算法的特点计算复杂性 算法的意义 (二)考核要求1了解计算、算法的含义。2了解计算工具发展的几个主要阶段。3了解算法的特点，会用程序框图表述问题的算法。4理解计算的意义、算法的意义。 5理解计算复杂性，并了解多项式算法、指数型算法。第九章 应用与建模(一)考核知识点数学模型 数学模型方法(MM方法)数学建模 数学模型在教学中的作用交轨模型 方程模型鸽笼原理 数学模型方法的现代应用(二)考核要求1，了解数学模型的含义、分类及其特性。2了解数学模型方法的含义及其解题步骤。3理解数学建模，并掌握数学建模的基本步骤。4理解数学模型在教学中的作用。5掌握交轨模型、方程模型、鸽笼原理并能加以应用6了解数学模型方法的历史及其现代应用。第十章 其他方法(一)考核知识点分类及其要素 现象分类、本质分类分类的原则 分类方法的应用数形结合方法 数形结合方法的应用 “数形结合”的局限性 特殊化特殊化解决问题的过程 特殊化方法的应用 特殊化与一般化的辩证关系(二)考核要求1了解分类方法、特殊化方法的含义。2了解数形结合方法的含义及其局限性。3理解现象分类、本质分类以及特殊化与一般化的辩证关4掌握特殊化方法解决问题的框图表示及其应用。5熟练掌握分类方法、数形结合方法的应用。第十一章 数学思想方法与素质教育(一)考核知识点数学教育效益数学知识数学思想方法数学思想方法与素质教育国际国内数学教育改革概述数学思想方法教学现状加强数学思想方法教学(二)考核要求1了解我国数学教育的现状及国内外数学教育改革的情况2理解数学知识、数学思想方法以及两者之间的关系。3理解数学思想方法与素质教育的关系。4了解数学思想方法教学的现状，理解加强数学思想方法教学的重要性。第十二章 数学思想方法教学(一)考核知识点数学思想方法频数分布数学思想方法教学的主要阶段数学思想方法教学的原则数学思想方法教学的注意事项(二)考核要求1了解数学思想方法频数分布。2理解数学思想方法教学的主要阶段。3熟练掌握数学思想方法教学的原则及注意事项第十三章 数学思想方法教学案例(一)考核知识点化归方法教学案例归纳猜想教学案例数学模型方法教学案例(二)考核要求1了解化归方法教学案例、归纳猜想教学案例、数学模型方法教学案例的内容。2熟练掌握三个教学案例中体现的小学数学思想方法教学特点.试题类型及规范解答举例一、填空题(每题3分)1几何原本思想方法的特点封闭的演绎体系,抽象化的内容,公理化的方法. (容易题)2设A是解决问题D的一种算法，若以fA(D，n)表示用计算A求规模为n的问题D所需要的运算次数,则fA(D，n)刻划了计算A的复杂程度.(中等题)二、判断题(每题2分)1在特定的条件下，特殊情况能与一般情况等价。(是)(容易题)2完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。(是)(容易题)三、简答题(每题6分)1叙述强抽象的含义，并举一例。(容易题) 答：强抽象就是指通过把一些新的特征加入到某一概念中而形成新概念的抽象过程。从逻辑上讲，这种抽象主要表现为种加类差”的形式，抽象得到的结论类属于原概念。例如将“一元”、“一次两个特征加入“方程”概念中，就可由强抽象得到一元一次方程的概念.2. 为什么数形结合方法在数学中有非常广泛的应用?(中等题) 答：因为数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的。既不存在有数无形的客观对象，也不存在有形无数的客观对象。因此，在数学发展进程中，数与形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。充分运用数形结合方法解决数学问题，对于沟通代数、三角、几何各学科之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力具有重要作用。四、解答题(15分)(较难题)1根据下列材料设计一个教学片断。材料：观察每行的前四个数，想一想接下去应该填什么数。 (1)2，10，18，26， ， (2)95，90，85，80， ， (要求：教学过程要比较具体,并有一定的层次要有数学思想方法教学内容) 解：将教学过程设计成如下三个层次： 做第一行时，教师引导学生观察相邻两数之间的关系：第二个数减第一个数的差是8，第三个数减第二个数的差是8，第四个数减第三个数的差也是8。由此经过归纳可以猜想出规律：后一个数减前一个数的差都是8。然后再按这个规律填写出后面的数为34，42。 做第二行时，教师可先回顾上题的解题步骤：观察前四个数中相邻两数之间的关系，然后通过归纳猜想找出规律，最后再根据规律在空格处填上相应的数。让学生自己独立解题，对有困难的学生适当进行指导。 学生做完此题，教师再和学生共同概括出解答这类问题的基本步骤： 观察相邻两数关系一归纳猜想规律一根据规律填数引导学生领悟归纳猜想思想方法。 样 卷一，填空题(本题共30分)1. 九章算术思想方法的特点是 2. 抽象的含义：抽象是对同类事物 3. 在反例反驳中，构造一个反例必须满足条件 4. 化归方法的三个要素是 5. 算法可分为 两大类.6. 任何分类都必须遵循下列原则: 7. 数学的研究对象大致可以分成如下两类 8. 所谓特殊化是指在研究问题时， 的思想方法。9. 小学数学思想方法教学的主要阶段是： .10三段论是演绎推理的主要形式，三段论由 组成。二、判断题(本题10分)1中国古代数学中使用的数学方法是演绎的方法。2几何原本是人类历史上最早的演绎的公理化体系。3微积分的建立标志着变量数学的诞生。4完全归纳法的一般推理形式是： 设S= A1, A2,-, An,-由于A1具有属性p，A2具有属性p，An具有属性p，因此推断集合S中的每一个对象都具有属性p。 5如果某一问题存在算法，并且进一步构造出这个算法，就一定能够求出该问题的解。三、简答题(本题30分)1简述确定性现象、随机现象的特点以及确定数学的局限2. 什么是数学的统一性?法国的布尔巴基学派是如何实现数学的统一3简述数学建模的基本步骤。4什么是类比猜想?并举一个例子。5简述化归方法的和谐化原则。四、解答题(本题30分)1 运用方程模型解应用题时，其中最重要的是“设想问题已经解出”、“用两种不同方式表示同一个量”、“方程个数和未知量个数相等”这三个要点。这是为什么?请阐述你的理解。2以“认识长方形的对边相等”为内容，设计一个教学片断.(要求: 教学过程要比较具体,有一定的定的层次；要有数学思想方法教学内容)数学思想与方法期末复习指导第一章 数学思想与方法的两个源头学习要求1知道几何原本和九章算术形成的原因和基本内容；2理解几何原本和(九章算术数学思想的特点和意义。主要内容指导一、几何原本思想方法的体例及特点 几何原本共有十三篇，第一篇到第四篇是关于平面几何直线形和圆的理论，第五篇是比例论，第六篇讲平面相似形，第七、八、九篇则阐述算术(数论)，第十篇是关于“不可通约量”的理论，第十一、十二、十三篇是关于立体几何的理论和“穷竭法”。从内容上来看，可以说，包括了当时希腊数学各个方面的成就。几何原本思想方法上的特点，可以表述如下。 (1)封闭的演绎体系 几何原本就是一个最早的标准的演绎体系：由少数不定义的概念，如点、线、平面等等，和不证明的命题公理与公设出发，在需要的地方，定义出相应的概念，按着一定的逻辑规则，演绎出所有其他命题来。在几何原本的演绎体系中，公理是最一般的命题，它们是一系列演绎推理的前提，这个体系的所有其他命题，都是从公理(通过适当的定义)推导出来的。除了推导所需要的逻辑规则外，几何原本的由一系列公理、定义、定理等构成的数学理论体系，原则上不必依赖于其他东西。当然；在实际上，几何原本在某些地方背离了这个原则：证明某些命题时运用了公理和逻辑规则之外的“直观”。但是，那只是个别的地方，并不影响体系的大局；而且，正是作为几何原本的“缺陷”而受到了人们的指责的，后来的人们按欧几里得的原意，不断地在体系中排除直观，得到更严格的数学理论体系，其指导思想正是由几何原本开始的。由于几何原本的这种思想原则和结构方式，从实质上说，几何原本是一个比较完整的、相对封闭的数学理论体系。 (2)抽象化的内容 几何原本以及以它为代表的古希腊数学著述，都是论述一般的、抽象的数学概念和命题的，它们探讨的只是概念和命题的各种逻辑关系，由一些给定了的概念和命题推演出另一些概念和命题。它不考虑产生这些概念和命题的社会背景，也不研究这些数学“模型”所由之产生的那些现实原型。比如在几何原本中研究了“所有的”矩形(即抽象的“矩形”概念)的性质，但却不研究任何一个具体的矩形的实物的大小。又如在几何原本中，研究数的若干性质，但却一点也不涉及具体的数的计算和应用。它用线段表示数，即一般的、抽象的数，用演绎推理研究其性质。它排斥各种理论的实际应用，重视抽象理论、鄙视具体运用是几何原本的基本倾向。 (3)公理化的方法 作为现代数学的一种基本的表述方法和发展方式的公理法就是以欧几里得的几何原本开其端的。它采用了前面我们说的比较严格的演绎体系通常称为公理体系，而建立公理体系的方法就称为公理方法。欧几里得的公理法对后世影响极大，几何原本作为公理法的典范对数学以及科学的发展起了很大的作用。现代数学和各门科学中的公理法正是由几何原本的公理法发展出来的。 二、九章算术思想方法的体例及特点 九章算术共分九章，每一章都包括若干道问题，共计有246道题。每道问题后给以答案，一些问题后给出“术”，即解题的方法。通过这种形式，对我国古代数学作了总结和发展，代表了中国古代数学的基本思想方法它具有如下的特点。 (1)开放的归纳体系 九章算术是按着当时社会实践所需要解决的问题来分类的，每一类(一章)中设置若于个实际问题，每个问题都给出答案，并提供有关的算法。由于实际问题是从具体的东西开始研究，所以是一个归纳的体系从个别的问题到一般的算法。又由于是按当时社会实践所需要解决的问题来分类的，那么社会实践的发展必然向数学提出新的问题来，那也就必然会直接促进数学的发展，数学的发展直接来自社会实践中的问题，所以是一个开放的体系。整个中国古代数学思想都具有这个特点，九章算术是它的一个典型代表。 九章算术的每一章都是同一类型的应用问题或者是通过同类数学模型采解决的多种应用问题。通过九章的内容，可以看出它是一个与社会实践密切相联系的“开放”体系，通过这些章中给出的算法，解决了当时社会生产和生活所提出来的各种计算问题。 九章算术是一个按应用问题性质归纳分类的开放性的理论体系。九章算术之后的中国封建社会的各种数学著述，基本上都以它为范本，而且大都采取了它的体例，即结合一类应用问题的解法，改善和提高有关的算法，发明创造新的数学理论，在中国古代封建社会里，取得了辉煌的成就，在世界上长期处于领先地位。不仅如此，九章算术的开放性、应用性的数学思想也是近代数学思想发展的一大源泉。考察现代应用数学体系，也正是按应用方向或主要采用的数学模型分类的。 (2)算法化的内容 前面我们已谈过九章算术的结构特点：按应用方向或主要应用的数学模型把全书划分为若干章，在每一章内举出若干个实际问题，对每个问题都给出答案，然后给出这一类问题的算法。九章算术中称这种算法为“术”，按“术”给出的程序去做就一定能求出问题的答案来。历来数学家对九章算术的注、校基本上都是在“术”上作文章，即不断改进算法。 算法化的内容是完全适合于开放性的归纳体系的。这种体系首先就是要解决实际问题。要迅速地解决问题，最好的方法莫过于给出一个算法。对于一类问题，只要能够给出数据就能用给出的算法很快地得出结果，这就能更好地满足社会生产和生活对数学提出的要求。 还应该特别指出，九章算术的算法化内容是与算筹的发明和应用分不开的。据专家估计，至迟在公元前5世纪，算筹就已开始使用了。 (3)模型化的方法从方法论的角度来看，九章算术广泛地采用了模型化方法。它在每一章中所设置的问题，都是在大量的实际问题中选择具有典型性的现实原型，然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。其中有些章就是探讨某种数学模型的应用的其章的标题也就是。这种数学模型的名称，如“勾股”、“方程”等章。“衰分”、“少广”等章也是由数学模型开始的。从春秋战国到秦汉之际，中国社会的生产和生活都发生了很大的变化。铁犁牛耕促进了农业生产的高涨，改变了我国古代社会的生产方式。九章算术中体现了这一生产发展过程对数学的需要和数学在这种需要下的发展。生产方式的变革对田亩测量、粮食交换、水利工程、税收等等提出新的需要，要求当时的数学解决这些问题。九章算术各章都由相应的社会实践中提出现实的原型，用问题表述它们，然后由原型中抽象出数学模型来，当然有的章先给出模型，然后再举出可以应用的原型，表示出模型化方法的另一个侧面由模型到原型的过程。由对数学模型的研究得出算法来，算法适于用这种数学模型表述出来的一类问题，按原型中的处理方法为范例，人们就可以应用算法解决实际问题。模型化的方法与开放性的归纳体系及算法化的内容是相适应的。模型法的各个模型之间当然也有一定的联系，但它们有较大的独立性，一个模型的建立并不太严格地依赖于其他模型，因此随时都可以由实践中提炼出新的模型。在这种体系里，算法是适合一定的模型的，因此，算法化的内容与模型化的方法是分不开的，只有采用了数学模型方法才能得到有关的一类问题的算法，这在现代计算理论中也是一个确定不移的原则。反过来，采用模型化的方法也促进了中国古代数学体系和内容的发展，由于采用模型化的方法研究数学，模型从哪里来?只有寻找现实的原型，着眼于现实的问题，这就不可能产生封闭式的演绎体系。解决实际问题的要求对模型化的方法来说，还有一种检验得出来的结果是否正确的意义，因此必须得出实际的可以应用的结果，算法化的内容就随之产生了。在模型化的方法中，各个数学模型之间的联系是什么呢?当然有实际原型之间的联系的反映，但就数学中表述出来的模型以及针对模型所给出的算法之间也是有联系的，那就是通过计算工具算筹所产生的联系。算筹的实际可应用性和布列算筹的规则九章算术中没有谈及就是各种模型以及各种算法之间的联系且还是九章算术所隐含的数学上的前提，这一点是一个要进深入研究的课题。思考题： 几何原本和九章算术的思想方法特点是什么?它们的重要历史意义是什么?第二章 数学思想与方法的几次重要突破学习要求1知道算术的局限性、常量数学的局限性、欧氏几何的局限性、确定数学的局限性；2了解变量数学、非欧几何、解析几何产生的过程、随机数学的发展3理解变量数学产生的意义、确定数学与随机数学的区别、随机数学产生的意义。主要内容指导一、代数学的发展文艺复兴运动是一场伟大的思想解放运动，也是科学的复兴和发展的运动。科学的发展既是这场运动的结果，又是它的一个极大的推动力。1543年，哥白尼发表了著名的天体运行论，提出了宇宙的日心说。这一发现当然是由于航海和贸易活动对天文观测的需要，因为原来的托勒密的地心说已越来越与观测事实不符，而且计算复杂，不能满足人们的需要了。这一发现对人的思想的解放也是一个十分重要的因素，因为它证明了宗教迷信的荒谬。1609年开普勒提出了行星运动三大定律，使天文计算更加准确。文艺复兴也是数学科学的复兴。人们继承了从“大翻译运动”所重新得到的古希腊数学，作了大量的创造性工作，使数学思想有了重要的新发展。12世纪初,欧几里得的几何原本由布思的阿德尔哈德(英国,.Adelhard of Bath,1120年)从阿拉伯文译成拉丁文,后来成为欧洲中世纪大学的标准教科书。但是，在文艺复兴中首先得到发展的却是由阿拉伯人传来的代数学的思想方法，整个16世纪以至于17世纪的数学都表现出这种倾向。这一时期代数学的发展有如下几个重要的成果。 (1)采用印度一阿拉伯数字 印度一阿拉伯数字就是我们现代通用的数字，它用10个数码1，2，3，4，5，6，7，8，9，0就可以表示任何数。当然，现在采用的形式是经过漫长的历史发展的结果。这种数字最初产生于印度，印度人对数学的一大贡献是认识了零并发明了“0”号。8世纪左右，这种数字传人阿拉伯世界，经阿拉伯人的改造，于12世纪传人欧洲。欧洲人当时认为是从阿拉伯人传来的，称为“阿拉伯数字”，至今仍有这种称呼。但由于封建社会的保守性和宗教势力的抵制，长时期没有推行开，直到13世纪末(1299年)意大利佛罗伦萨的法令中仍禁止银行使用印度一阿拉伯数字，有的国家直到16世纪还在抵制它。不过，到文艺复兴时期，大多数国家都采用了这种数字。印度一阿拉伯数字的采用为数学思想方法带来了重大的变革。首先是使记数和算术运算得以简化；其次，印度一阿拉伯数字的采用又在数学中引人了笔算法。这对数学的发展也具有重要的意义。罗马数字太复杂，也不适合笔算，罗马人用算盘来计算。运用计算工具进行计算最著称的还是中国人，算筹和算盘在计算工具史中占有重要的地位，但正是由于计算工具先进，中国古代并没有发展起笔算来，只是用笔把计算结果记在纸上。笔算固然不如算器算得快，但却能保留计算过程，使人们得以深入研究计算的过程和计算的实质。方面，为创造更有效的计算工具打下基础；另一方面，关于计算的理论也是在采用笔算后才取得较好的发展的。计算方法在数学中的广泛应用，与笔算的引人也有重要的关系。 (2)系统采用数学符号 我们现在通用的数学符号体系，就是在这个时期奠定了基础的。许多数学符号，是在这一时期发明或开始采用的。例如+号和“”号最早见于1484年德累斯顿手稿中，1489年捷克人维德曼(Widman)首先在印刷书籍中采用了这种记号。其他符号也纷纷出现了，这对发展数学符号体系具有特殊意义。符号表示一个完全抽象的东西，如a+b=b+a，这里的符号(字母)是表示某一指定了的运算对象，而这种对象具有上式所表示的更一般的性质。另一方面，一个符号一个意思，因而保证我们能正确无误地指明我们想指明的那一类对象，这无疑提高了我们的统摄一类对象的抽象能力。例如我们说“形如a+的数”，不用符号大概很难表达出来，表达不出也就是实际上没有“掌握”它们。所以数学符号所代表的抽象能力是数学发展中不可缺少的。其次，数学符号便于进行变换操作，而这种变换操作是对符号所表示的数学概念进行深入认识的基本方式。例如现代数学中对某一集合的认识实际上在于按其性质进行分类，即根据变换操作找出它在这一性质之下的所有等价的形式(等价类)等等。这是数学中认识数学概念的基本方式。(3)数学基础的新起点 这一时期的数学逐渐脱离了古希腊数学的逻辑基础，离开了严格的公理法。这一方面是因为古希腊人在数学中虽然不承认直观并力图排除直观，但实际上他们的公理法是依赖于感性直观及对这种直观的信念的。文艺复兴时，数学进一步向抽象发展了多就无法依赖这些由感性直观及对直观的信念得来的东西了。这时人们“所关注的新东西是属于现在所谓代数和分析这些数学部门，他们思想里的基本概念是函数依赖的概念，尽管他们一开始不能用抽象的一般性来表达这种概念，他们完全是被一种要求解决力学问题的欲望所鼓舞例如他们遗留给我们的变元，这个术语就表明了这一点。”这样一来，代数学倒被人认为是依据人们的感性直观得来的一种按某种规则操作符号的技巧。但是代数学的依据究竟是什么呢?这是从代数学产生就令人感到兴趣又感到困惑的问题，这就产生了新的基础问题。当然，这时的数学还无法解决这个问题，它是在19世纪解决的。但问题的提出仍有重大的意义：人们得到了本质上不同于古希腊数学基础的新数学，实际上是进入了新的抽象层次。二、解析几何的产生人们认为，解析几何的产生是数学史上划时代的重大事件。而解析几何的产生，通常以笛卡儿几何学一文(发表于1637年的方法论的附录)为标志。解析几何的产生当然有时代背景，例如开普勒用椭圆描述行星绕日运动的轨道，推动人们去研究圆锥曲线；伽里略利用望远镜来进行天文观测，望远镜中透镜的研制涉及到对曲面母线的研究；力学中对抛射体轨迹的研究也涉及曲线。这些科学的发展都提出研究各种曲线的要求，最起码的是画出这些曲线。笛卡儿使用了代数方法去研究曲线的问题，解析几何就这样开始了。实际上，笛卡儿在方法论的另两个附录论折光和流星论中分别探讨了透镜曲线和气象的一些问题。(1)解析几何的基本思想 解析几何得以建立的基本思想有两个：实数和平面上的一条直线上的点作成一一对应；有序实数对与平面上的点作成一一对应。很早以前人们就有了初步的坐标观念，例如古埃及人和罗马人用于测量的、希腊人用于绘制地图的坐标思想；奥雷姆(法国人，约1320一1382)在14世纪曾试图用图线来表示变量之间的关系。但是在明确提出上述两个原则之前，无法用代数方法来研究几何学。笛卡儿解决了贯彻这两个原则的方法问题，那就是建立坐标系。 (2)解析几何的意义 解析几何的产生在数学史上具有划时代的意义。在数学中弓I入了变量概念 建立坐标系，把几何曲线和代数方程对应起来实际上就已用到了变量概念：方程无非是两个变量的关系，几何曲线上的点的坐标就是变量在变化过程中所取的值。提供了一种解决一般问题的方法 古希腊几何中的许多问题都是个别地解决的，而引入解析几何后就可以用解析方法(代数方法)作一般性的处理。例如几何作图问题就是在有限次使用没有刻度的直尺和圆规的条件下作出所要求的图形的问题，即所谓“尺规作图”。如果能够按条件作出所求图形，则称这个问题为作图可能问题，这时图形叫做可作的；如果作不出所求图形，那么可分为两种情况：一是所求的图形实际不存在，这时，就可说这个问题是不成立的；一是所求的图形是存在的，但只用尺规无法作出，这时，就可说这个问题是作图不可能的。为数学思想的发展开辟了新的天地欧几里得几何原本建立了第一个数学理论体系，在数学思想发展中占有重要的地位。解析几何的建立则把数学理论推向一个新的高度，为新数学思想的发展开辟了新天地。首先是数学概念得到进一步概括。例如“曲线”概念，古希腊人只限于能用一些简单工具(直尺、圆规及少数其他机械)作出来的图形。而解析几何则把“曲线”概括为任意的几何图形，只要它们对应的代数方程是由变量x，y的有限次代数运算所构成的。这样，开辟了用代数方法研究几何问题的新思路。其次，再一次突破直观的限制，打开了数学发展的新思路。笛卡儿和费马首先建立起来的是二维平面上的点和有序实数对(x，y)之间的对应，按同样的思想，不难得出通过三个坐标轴得出三维空间的点和实数的有序三数组(x，y，z)之间的对应关系。现实的空间仅限于三维，由于解析几何中采用了代数方法，平面上的点对应于有序实数对，空间的点对应着三元有序实数组，那么代数中的四元有序实数组当然可以与此类比，构成一个四维空间，由此类推，提出了高维空间的理论。这是现代数学极重要的思想，开拓了数学的新领域。揭示了数学内在的统一性虽然在欧几里得那里几何和算术(代数)是不加区分的，但他主要是应用后来称之为几何学的方法来处理各种数学问题。16世纪代数学有了较大的发展，但人们把代数和几何严格地区分开来。例如塔尔塔利亚坚持要区别数的运算和几何图形的运算，韦达也认为数的利学和几何量的科学是平行的，但是有区别的，连牛顿也反对把几何和代数混淆起来。这种情况反映了数学的分化和各学科深入发展的需要。 解析几何把几何和代数结合起来，几何概念可用代数方式表示，几何的目标，可通过代数达到；反过来，给代数语言以几何的解释，使代数语言变得直观，易于理解。解析几何是近代统一数学的第一次尝试，它符合数学发展的规律，所以它有力地促进了数学理论的发展和数学在科学及实践中的应用。三、微积分产生的影响文艺复兴之后，资本主义生产方式兴起，生产力有了较大的发展,到17世纪已达到相当程度，生产的发展提出了许多技术上的新要求，而要实现技术要求就必须有相应的科学知识，例如流体力学(与矿井的通风和排水有关)，机械力学等都有了突飞猛进的发展，资本主义社会的商品生产、贸易活动占有重要的地位，与此相关的是海运事业的发展，而向外扩张的军事需要，也促进了航海的发展。航海需要精确而方便地确定位置(经纬度)、预报气象，天文学因而发展起来，对经纬度测量的需要使人们进行了这样一些研究：(1)对月亮与太阳及某一恒星距离的计算；(2)对木星卫星蚀的观察；(3)对月球穿越子午圈的观测；(4)摆钟及其他航海时计在海上的应用等等。由于这些研究，产生了近代力学、天文学等的系统理论。所有这些发展