数学行程问题公式大全及经典习题——答案.doc

思维调查卷ACB1. 解：设甲原来的速度是1个单位，则乙原来的速度是2.5个单位，甲后来的速度是1.25个单位，乙后来的速度是2个单位。设第一次甲跑了x圈时被乙追上，则此时乙跑了(x+1)圈；被追上后甲又跑了y圈再次被乙追上，则乙又跑了(y+1)圈。利用两次甲乙跑的时间相等列方程：解得：如图，若两人从A出发逆时针跑，则第一次乙在B点追上甲，第二次在C点追上甲（A、B、C是圆周的三等分点）。因为B、C相距100米，所以环形跑道的周长为米。2. 答案：5：223. 解：首先判断出开始是顺流。在第1小时和第2小时这两个相等的时间内，速差是4，路程差也是4，那么得到第1小时正好是走一个顺流的长度。由于第1个小时在顺水时走的才是一个全长，那么第4小时肯定是逆水。具体行驶情况如图。再者，第2小时和第3小时逆行的路程都是4，那么它们顺行的路程也必须相等，故第3小时的最终时刻到全长的中点。44最后，比较第3小时和第3小时行驶的情况：设全长为2a千米，船在静水中的速度为每小时x千米。，解得a10千米。4. 解：小明走，与小明的爸爸走的时间相同，所以他们的速度比是：7：2，接下来如果小明步行，爸爸骑车都走的路程，那么小明就多用5分钟，设速度的一份为x，则，所以小明的速度是，从家到学校的路程是1，所用时间是分钟。行程问题下一、环行运动：1. 解：因为第一圈时男运动员的速度是女运动员的倍，所以男运动员跑完第一圈后，女运动员刚刚跑到全长的位置。这时男运动员调头和女运动员以相同的速度相向而行，所以第一次相遇点在距A点全长处。下面讨论第二次相遇点的位置，在第二次相遇前，男运动员已经跑完第二圈，男运动员跑第二圈的速度与女运动员第一圈的速度相同，所以在男运动员跑完第二圈时，女运动员跑第二圈的时间恰好等于男运动员跑第一圈的时间，而女运动员跑第二圈的速度是男运动员跑第一圈速度的，所以女运动员刚好跑到距A点的位置，此时男女运动员相向运动，男运动员的速度为3m/s，女运动员的速度为2m/s。这样第二次相遇点距A点。两次相遇点间的距离为总全长的。所以两点在跑道上的最短距离为全长的。而这段距离又为88米。所以88200米。2. 分析：我们注意到，3人跑到一起的意思是快者比慢者跑的路程差应是300的整数倍；如果都同时回到出发点，那么每人跑的路程都是300的整数倍。同时注意到本题的单位不统一，首先换算单位，然后利用求两个分数的最小公倍数的方法可以解决问题。解：（1）先换算单位：甲的速度是米/分钟；乙的速度是米/分钟；丙的速度是米/分钟。（2）设t分钟3人第一次跑到一起，那么3人跑的路程分别是米、米、米。路程差都是300的整数倍。而 ，所以第一次3人跑到一起的时间是分钟。（3）设k分钟3人同时回到起点，那么3人跑的路程分别是米、米、米。每个路程都是300的整数倍。而，所以3人同时回到起点的时间是105分钟。评注：求几个分数的最小公倍数的方法是：所有分子的最小公倍数作分子，所有分母的最大公约数作分母得到的分数。ACBBA3. 分析：本题如果按原来的图形思考，会是非常麻烦的事，需要分段计算，然后找到周期，这样没有细心的计算是很难解决问题的。现在我们注意到在小圆上是顺时针，在大圆上是逆时针，如果这两个圆能“拧开”就是一个在周长400米的大圆上的不同起点同时的追及问题，题目一下子变得非常简单了。解：根据分析，甲在A处，乙在B处，相距200米同时同向而行，乙速较快，第一次追上甲要多跑200米，以后每追上一次乙都要比甲多跑400米，那么第五次乙追上甲时，比甲多跑4004+2001800米，需要的时间是1800（54）1800秒。ABCDNPM86129评注：当一个问题按试题指引的方向比较复杂时，有时可以换一个角度得以使试题简化，而题目本身并没有实质上的变化，这是解决数学问题经常用到的“转化”的数学思想。4. 分析：对于正方形的路线，每边长是相同的，由于反向开出的两辆车，不管走什么样的路况，到相遇的时候走的时间相同，故可以把每边设成速度的倍数，转化成时间来解题。解：设正方形的边长为720千米，那么AB上行驶的时间是72090=8小时，BC上行驶的时间是720120=6小时，CD上行驶的时间是72060=12小时，DA上行驶的时间是72080=9小时。那么行驶一周的总时间是8+6+12+9=35小时。 从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇，相当于从AB中点同时反向各发出一辆汽车，它们在CD上一点P相遇，每辆车都行驶35217.5小时，DP上的时间为17.5-4-9=4.5小时，PM上的时间为（12-4.5）2=3.75小时。同样得到AN上的时间为17.5-3.75-4.5-9=0.25小时，NB上的时间为80.257.75小时。AN、NB上的速度相同，故路程比就等于时间比。即。评注：本题要把握住从起点到终点的时间和从终点到起点的时间相同，很容易求得DP上的时间。同时注意到把边长设成速度的最小公倍数解题可以简化计算。二、时钟问题：5. 分析：8点多上课，下课是9点多，两次的时针应是在89与910之间，这样可以初步判断出上课时间是8：点45分到8：50，下课时间是9：40到9：45之间。再利用分针与时针速度的关系即可转化成环形上的行程问题。解：有分析可以知道，分针和时针走的总路程是整个圆周，设分针速度为1，那么时针速度为，分针每小时走60个小格，设8与时针的夹角为x格，9与分针的夹角为y格，根据时间相同列方程组：。所以上课的时间为40+=分钟。6. 分析：我们标准钟每65标准分钟时针、分针重合一次。旧钟每65分钟重合一次。显然旧钟快。本题的难点在于从旧钟两针的重合所耗用的65标准分钟推算出旧钟时针或分针的旋转速度(每标准分钟旋转多少格)进而推算出旧钟的针24标准小时旋转多少格，它与标准钟的针用24标准小时所走的格数的差就是旧钟钟面上显示的比标准钟快的时间读数。解：设旧钟分针每标准分钟走x格。那么，每走1格用标准分钟。如用复合单位表示：旧钟分针速度为x (格/标准分)。旧钟分针走60格时针走5格，时针速度总是分针的，所以旧钟时针速度为x (格/标准分)。每次重合耗用65标准分钟，而且两次重合之间分针赶超了时针60格，列方程：.标准时间一天有60241440标准分，一天内旧钟分针走的格数为：6024。但是我们只须求出旧钟分针比标准钟分针多走了多少格，即减去1440个(标准钟的)格，所以有60246024(1)6024602410(旧钟格)这里一定要明白，这10只是旧钟上显示的多走的格数，也是旧钟的非标准分钟数，并非标准的分钟数。答：这只旧钟在标准时间一天内快10分钟。(按旧钟上的时间)7. 解：对于满足条件的a，即存在1个自然数n，使得a+(a+1)+(a+2)+(a+n-1)=180，即(2a+n-1)n=360。显然a越小时，2a+n-1与n的差越小。又2a+n-1与n的奇偶性不同，于是可推出n=15，a=5。故a最小可以被设成5。在这种情况下指针第一次恰好回到出发点时，即5+6+7+n=360k（k是整数，n5），所以(n+5)(n-4)能被720整除。注意到n-4n+5(mod3)，所以n-4和n+5是3的倍数。又n+5与n-4的奇偶性不同，故有一个是16的倍数。且n+5与n-4中有1个是5的倍数。于是得出满足条件的最小的n是100。时间为96秒。三、流水行船问题：8. 分析：对于直线上汽车与行人的迎面相遇和背后追及这个类型的问题是多见的，这里要注意顺水与逆水的不同。解：设货车在静水中的速度为6，那么水速为1，游船的速度为x，时间间隔为t，那么在追及的情况下的间隔为30(6+1)-(x+1)=(6+1)t，迎面相遇情况下的间隔为20(6-1)+(x+1)=(6-1)t，解得t720/29分钟。评注：这里要注意与路面上的情况不同的是发车的时间间隔相同时候，在顺水与逆水的间隔路程就不同了，就是这样出错的。9. 解：设BC为1份，AB为x份，则AB占总体的，BC占总体的，根据特殊情况下，从A到B、从B到C水速一样，他从A到B，再到C用2.5小时，速度相同，时间的比等于路程的比，得到关于时间的等式.这样得到其它两个条件的等式：而要求的算式是这样知道在BC上逆水时的时间为，静水时所用时间为，顺水时所用时间为，所以在BC上逆水、静水、顺水时的速度比为：，由于三者是公差为水速的等差数列，所以得到等式：=+，.所以.答：在特殊情况下，从C到B再到A用7.5小时。评注：本题的关系十分复杂，把四个条件都用时间表示出来，然后寻找在BC上的三种速度是一个等差数列。10. 分析：对于流水行船问题，注意水速的影响，水中相遇时，速度的和不变；解：设开始甲船在静水中中速度为V甲，乙船在静水中速度为V乙，水速为V水，相遇时间为t。（1）开始时相遇时间为t，而速度均增加1.5倍时，行驶路程不变，故时间缩小1.5倍时间即为t1.5=，根据两次相遇点相距1千米，甲两次的路程差为1千米，列方程，tV水=3，从而（千米）；评注：从题目结论可以看出，路程的变化与甲、乙速度无关，只与水速的变化有关；四、综合行程：11. 分析：本题给的是时间的关系。要知道，相同的路程下，路程比等于时间的反比。解：司机晚出发4分钟，又早到8分钟，那么相当于少用4+8=12分钟时间接厂长到厂，又知道司机来回的时间是相等的，故司机去的时候少用1226分钟。而司机这6分钟走的路程是厂长步行的路程，厂长走这段路的时间应该是早出发的1小时加上司机遇到厂长时少用的6分钟，共66分钟。根据分析，相同的路程情况下，司机的速度与厂长步行的速度比是66：611：1。评注：不要认为司机6分钟的路程是厂长1小时的路程，而是要加上司机去的时候少用的6分钟，想一想，为什么？12. 解：摩托车与总站相距2400米的时候，第一辆车开始发车，它与摩托车超过9次，第二辆超过8次，第三辆超过2次，共计19次；13. 分析：本题的关键是三次相遇的地点相同，然后考虑各自的时间和速度的变化。解：假设甲乙4小时相遇在C处，当甲每小时多行1.5千米时，要走相同的路程，则时间就少用小时，实际所用时间是40.43.6小时，那么甲原来的速度是千米/小时；当乙每小时少走2.5千米，则走相同的路程要多用小时，实际所用的时间是4+0.84.8小时，那么乙原来的速度是千米/小时。所以A、B两地的距离是（13.5+15）4114千米。解法二：设甲的速度是x千米/小时，乙的速度是y千米/小时，则甲乙的路程分别是4x千米、4y千米。那么所以A、B两地的距离是（13.5+15）4114千米。评注：这里注意到乙多走的24分钟，相当于甲少走了24分钟，速度增加，时间减少，路程不变的情况。14. 解：如图设轿车、货车、公共汽车的速度分别为轿车和货车的距离为a，那么轿车追上货车时，各自行驶了10分钟，轿车追上公共汽车时，轿车行驶了30分钟，而公共汽车只行驶了22分钟（30742，45222），当货车追上公共汽车时，货车行驶了50分钟，公共汽车行驶了36分钟（50771，55136），可以得到方程组：轿车货车公共汽车a2a（3）（1）2得： （1）3（2）得：从而得到评注：本题涉及到三个对象的运动，要弄清各自的运动情况是理清解题思路的关键，同时注意到公共汽车是有间歇的行驶，虽然时间有那么多，而实际行驶的需要换算。15. 思路：三人有时间相同的路程，使用比例，路程比等于速度比；ABC18b丙丙CBAABC丙32a甲乙解：如图设a、b；（1）V乙：V丙=18：b；（2）V甲：V丙=（32+a）：（18+b）；（3）V甲：V乙：V丙=（50+a+b）：（18+b）：（50+b）；由、可知V甲：V乙：V丙=（32+a）b:18(18+b):b(18+b),从而V甲：V乙：V丙=18（50+a+b）：18(18+b)：18（50+b），所以AC间距离为40+32+18+30=120（千米）行程问题上 练习题甲乙1. 解：第一次相遇时两人共走了半个圆周，从开始到第二次相遇两人共走了三倍的半圆周，那么乙走了1003300米，它恰好是半圆周的多60米，这样圆周长是（30060）2480米。乙走100米时，甲走了240100140米，这相当于两人的速度，两人同向出发时，甲要比乙多走半个圆周就追上乙，需要的时间是240（140100）6个半圆周，这时甲走了6140840米，4802840120米，因此甲第一次追上乙时距离他的出发点有120米。2. 分析：首先要把这个慢表的1小时转换成标准时间的1小时。解：在慢表中，70分钟分针和时针重合一次，而标准时间是分钟分针和时针重合一次。那么慢表中的8小时在标准时间中是708，超出的时间是7088，由于超出的每小时的工资是3（1+3.5）13.5元，那么超时工资就是（7088）13.57.5元。评注：设分针的速度是1，那么时针的速度是，再设x分时针和分针重合，分针比时针多走60个格，故有（分钟）。3. 解：（1）货船比游船每小时快1553千米，当相遇后1小时，游船与货船的距离是133千米，当货船返回到物品时的时间还是6分钟，那么游船船走6212分钟时，那么游船12分钟的顺水路程加上货船逆水6分钟的路程恰好是货船6分钟顺水路程加上3千米的路程，即(V乙+V水)+(V甲-V水)=(V甲+V水)+3，解得V乙=15千米/小时。 评注：注意到当一个物体从一个船上掉入水中，那么船是顺水速度，物体是水速，相当于船在静水中的速度；而返回寻找物体时，船是逆水速度，物体还是水速，两者速度和还是船在静水中速度。即船来回的时间是相同4. 解：汽车走单程需要60/2=30分钟，实际走了40/2=20分钟的路程，说明相遇时间是2：20，2点20分相遇时，劳模走了60+20=80分钟，这段距离汽车要走30-20=10分钟，所以车速/劳模速度=80/10=8答：汽车速度是劳模步行速度的8倍。ABECD5. 解：甲晚出发7分钟，相当于乙先走7分钟，这7分钟，乙走了607420米，如果是甲乙和走这段路程，那么需要420（8060）3分钟，那么第二次比第一次相遇的时间差是734分钟，4分钟乙走了CD，那么CD460240米，第一次两人的路程差是240米，速度差是806020米/分钟，那么第一次相遇的时间是2402012分钟，所以A、B两地的距离是12（8060）1680米。6. 解：摩托车与总站相距2400米的时候，遇见10次。7. 解：客车与面包车速度比为32：40=4：5，设AB为1，则AC=，CB=，当面包车到达A，客车距B点，当客车到达B点时，面包车已经返回，DB=，CD=，面包车从D点返回需要的时间是小时，客车从D点返回需要（504210）407.35。那么面包车比客车早返回出发地7.3