2019版高考数学第2章函数概念与基本初等函数3第3讲函数的奇偶性及周期性教案理.docx

第3讲函数的奇偶性及周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.判断函数奇偶性的步骤(1)求函数的定义域(2)判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步(3)判断f(x)与f(x)的关系，若f(x)f(x)，则函数f(x)为偶函数，若f(x)f(x)，则函数f(x)为奇函数，若f(x)f(x)，则f(x)为非奇非偶函数(4)得出结论特别地，设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(g(x)偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数3.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期4函数周期性的意义函数周期性的创新主要以函数图象的对称性为条件以函数值的求解为目的，解决此类问题的关键是把自变量的取值利用周期性和对称性转化到指定区间内，代入相应的函数解析式求值 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(3)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()答案：(1)(2)(3)(4) 下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x|Dy2x解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数；C选项定义域为(0，)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数 (教材习题改编)已知函数f(x)是奇函数，在(0，)上是减函数，且在区间a，b(ab0)上的值域为3，4，则在区间b，a上()A有最大值4B有最小值4C有最大值3D有最小值3解析：选B.法一：根据题意作出yf(x)的简图，由图知选B.法二：当xb，a时，xa，b，由题意得f(b)f(x)f(a)，即3f(x)4，所以4f(x)3，即在区间b，a上f(x)min4，f(x)max3，故选B. (教材习题改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则x0时，f(x)_解析：当x0时，则x0，所以f(x)(x)(1x)又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)(x)(1x)，所以f(x)x(1x)答案：x(1x) (2016高考四川卷)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x0，且a1)；(3)f(x)解：(1)因为函数f(x)的定义域为，不关于坐标原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)因为f(x)的定义域为x|xR，且x0，其定义域关于原点对称，并且有f(x)1f(x)即f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数(3)易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当x0时，f(x)x2x，则当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，f(x)x2x，则当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数函数的周期性 典例引领 (1)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0，4上与x轴的交点的个数为()A2B3C4D5(2)(2017高考山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3，0时，f(x)6x，则f(919)_【解析】(1)当0x2时，令f(x)x3xx(x21)0，所以yf(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x10，x21.当2x4时，0x22，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x2)f(x)，所以f(x)(x2)(x1)(x3)，所以当2x4时，yf(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x32，x43.综上可知，共有4个交点(2)由f(x4)f(x2)得f(x6)f(x)，故f(x)是周期为6的函数所以f(919)f(61531)f(1)因为f(x)为R上的偶函数，所以f(1)f(1)又x3，0时，f(x)6x，所以f(1)6(1)6.从而f(1)6，故f(919)6.【答案】(1)C(2)6 若本例(1)的条件不变，求f(x)(x2，0)的解析式解：当x2，0)，则0x22.所以f(x2)(x2)3(x2)，所以f(x)x36x211x6.函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期 通关练习1已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)，则f(8)的值为()A1B0C1D2解析：选B.因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)0，又因为f(x2)，所以其周期为4，故f(8)f(240)f(0)0.2若f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且在0，2上的解析式为f(x)则f_解析：因为f(x)的周期为4，则fffcos cos，所以ff.答案：函数性质的综合应用(高频考点)函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，以选择题或填空题的形式考查，难度为中高档题高考对函数性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)函数的奇偶性与单调性相结合；(2)函数的奇偶性与周期性相结合；(3)函数的奇偶性与对称性相结合典例引领角度一函数的奇偶性与单调性相结合 (2017高考全国卷)函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A2，2B1，1C0，4D1，3【解析】因为函数f(x)在(，)单调递减，且f(1)1，所以f(1)f(1)1，由1f(x2)1，得1x21，所以1x3，故选D.【答案】D角度二函数的奇偶性与周期性相结合 设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间2，0)(0，2上，f(x)则f(2 019)_【解析】设0x2，则2x0，f(x)axb.f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，所以f(x)f(x)ax1axb，所以b1.而f(2)f(2)，所以2a12a1，解得a，所以f(2 019)f(1)11.【答案】角度三函数的奇偶性与对称性相结合 已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x4)f(x)，若函数f(x1)的图象关于直线x1对称，f(2)2，则f(2 018)_【解析】由函数yf(x1)的图象关于直线x1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数由f(x4)f(x)，得f(x44)f(x4)f(x)，所以f(x)是周期T8的偶函数，所以f(2 018)f(22528)f(2)2.【答案】2函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)奇偶性与对称性结合此类问题的求解常用对称性判断函数的奇偶性，再结合单调性、周期性求解 通关练习1(2018成都市第一次诊断性检测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x3)f(x)，且当x0，)时，f(x)x3，则f()()AB.C D.解析：选B.由f(x3)f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以f()f()f()()3.2定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0，1上是增函数，则有()AfffBfffCfffDfff解析：选B.由题设知f(x)f(x2)f(2x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称又函数f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f(x)在0，1上是增函数，故f(x)在1，0上也是增函数，综上，函数f(x)在1，1上是增函数，在1，3上是减函数，又fff，所以ff2时，f(x)f(x4)，故其周期为4，f(2 019)f(2 019)f(2 0181)f(1)e.4函数f(x)是周期为4的偶函数，当x0，2时，f(x)x1，则不等式xf(x)0在1，3上的解集为()A(1，3)B(1，1)C(1，0)(1，3)D(1，0)(0，1)解析：选C.f(x)的图象如图当x(1，0)时，由xf(x)0得x(1，0)；当x(0，1)时，由xf(x)0得x.当x(1，3)时，由xf(x)0得x(1，3)故x(1，0)(1，3)5已知偶函数f(x)对于任意xR都有f(x1)f(x)，且f(x)在区间0，2上是递增的，则f(6.5)，f(1)，f(0)的大小关系是()Af(0)f(6.5)f(1)Bf(6.5)f(0)f(1)Cf(1)f(6.5)f(0)Df(1)f(0)f(6.5)解析：选A.由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)f(x)，所以函数f(x)的周期是2.因为函数f(x)为偶函数，所以f(6.5)f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1)因为f(x)在区间0，2上是单调递增的，所以f(0)f(0.5)f(1)，即f(0)f(6.5)0，则x0，又因为当x0时，f(x)ex1x，所以f(x)ex1x，因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)ex1x，综上可知，f(x)答案：8设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1上，f(x)其中a，bR.若ff，则a3b的值为_解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f(1)f(1)，即a1.又因为ffa1，ff，所以a1.联立，解得a2，b4，所以a3b10.答案： 109设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，f(1x)f(1x)，当1x0时，f(x)x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间1，2上的表达式解：(1)因为f(1x)f(1x)，所以f(x)f(2x)又f(x2)f(x)，所以f(x)f(x)又f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数(2)当x0，1时，x1，0，则f(x)f(x)x；进而当1x2时，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故f(x)10设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积解：(1)由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)2)f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得f(x1)2)f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)从而可知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示设当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.1(2018平江一中期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且x时，f(x)log2(3x1)，则f(2 017)()A4B2C2Dlog27解析：选C.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，所以f(2 017)f(45041)f(1)f(1)，因为1，且x时，f(x)log2(3x1)，所以f(1)log23(1)12，所以f(2 017)f(1)2.2(2018安徽池州模拟)奇函数f(x)满足f(1)0，且f(x)在(0，)上单调递减，则0的解集为()A(1，1)B(，1)(1，)C(，1)D(1，)解析：选B.由于函数f(x)是奇函数，所以0等价于0；当x(1，0)(1，)时，f(x)0，又因为在(，0)上2x10，综上所述，不等式的解集为(，1)(1，)3若关于x的函数f(x)(t0)的最大值为M，最小值为N，且MN4，则实数t的值为_解析：由题意，f(x)t，设g(x)，可知g(x)是奇函数，又函数f(x)最大值为M，最小值为N，且MN4，所以Mt(Nt)，即2tMN4，所以t2.答案：24已知函数f(x)函数h(x)(x0)为偶函数，且当x0时，h(x)f(x)若h(t)h(2)，则实数t的取值范围为_解析：因为当x0时，h(x)f(x)，所以当x0时，h(x)易知函数h(x)在(0，)上单调递减，又函数h(x)(x0)为偶函数，且h(t)h(2)，所以h(|