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文档简介

,第四节,定积分在几何上的应用,一、什么问题可以用定积分解决 ?,二 、如何应用定积分解决问题 ?,第六章,表示为,一、什么问题可以用定积分解决 ?,1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的,2) U 对区间 a , b 具有可加性 ,即可通过,“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”,定积分定义,一个整体量 ;,二 、如何应用定积分解决问题 ?,第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的,微分表达式,第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的,积分表达式,这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 ),近似值,精确值,第二节,三、已知平行截面面积函数的 立体体积,一、 平面图形的面积,二、 平面曲线的弧长,第六章,一、平面图形的面积,1. 直角坐标情形,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为,例1. 计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积 .,解: 由,得交点,例2. 计算抛物线,与直线,的面积 .,解: 由,得交点,所围图形,为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有,例3. 求椭圆,解: 利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a = b 时得圆面积公式,例4. 求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .,解:,2. 极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积 .,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,对应 从 0 变,例5. 计算阿基米德螺线,解:,到 2 所围图形面积 .,心形线,例6. 计算心形线,所围图形的,面积 .,解:,(利用对称性),心形线,二、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.,(证明略),则称,(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分)
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