《微分中值定理》PPT课件.ppt

2.6 微分中值定理,一、罗尔（Rolle）定理 二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 三、柯西（Cauchy）中值定理,微分中值定理是微分学的理论基础;是利用导数研究函数性质的理论依据.,微分中值定理的共同特点是： 在一定的条件下，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的函数在该点具有某种微分性质.,2.6 微分中值定理,一、罗尔（Rolle）定理,定理1 （费马引理）,有定义,如果对,有,那么,费马(1601 1665) 法国数学家,几何解释,如右图，,曲线过x0点有水平切线.,2.6 微分中值定理,证,设在x0 附近，,则当 时，,由极限的保号性，,2.6 微分中值定理,定理2 （罗尔定理）,(1),(2),(3),使得,几何解释,2.6 微分中值定理,证,则最值不可能同时在端点取得.,使,由费马引理,在闭区间a, b上连续，则,2.6 微分中值定理,定理条件不满足,结论不一定成立.,定理条件只是充分的.,2.6 微分中值定理,例1,求证方程 在 有唯一实根.,证,即为方程的实根.,根的存在性,设,则 在 连续，,由零点定理，,2.6 微分中值定理,满足罗尔定理的条件.,根的唯一性,假设另有,矛盾,故方程在 内有唯一实根.,2.6 微分中值定理,二、拉格朗日（Lagrange）中值定理,定理3 （拉格朗日中值定理）,(1),(2),使得,或写成,拉格朗日(1736 1813) 法国数学家,2.6 微分中值定理,几何解释:,思路分析,在该点处的切线,平行于弦,弦AB所在的直线方程为,曲线弧AB与弦AB在端点处值相同，,对应方程之差即可满足罗尔定理的条件，,2.6 微分中值定理,证,作辅助函数,所以,且,2.6 微分中值定理, 若拉格朗日中值定理中的条件变为,在a点右连续，在b点左连续；,(1),(2),则由拉格朗日中值公式,结论仍然成立.,2.6 微分中值定理,推论1,如果函数在某个区间内的导数恒为零， 则函数在该区间上是一个常数.,证,由条件,即在区间内任意两点的函数值都相等，,所以函数为常数.,则由拉格朗日中值定理，有,2.6 微分中值定理,推论2,（C是一个常数）,证,令,则,由推论1可知，在此区间内,故,2.6 微分中值定理,例2,证,设,由推论1，,又,故等式成立.,则,2.6 微分中值定理,例3,证,设,在x、y之间用拉格朗日中值定理，,存在 介于x、y之间，使得,又,故,得,2.6 微分中值定理,三、柯西（Cauchy）中值定理,定理4 （柯西中值定理）,(1),(2),使得,柯西(1789-1859) 法国数学家,若函数 及 满足：,2.6 微分中值定理,几何解释:,证,作辅助函数,则 满足罗尔定理的条件，,使,2.6 微分中值定理,即,故,特别地，,若,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况.,2.6 微分中值定理,例4,证,要证明的结论可变形为,即,满足柯西中值定理的条件,设,2.6 微分中值定理,内容小结,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,三大微分中值定理,注意定理成立的条件；条件只是充分的,罗 尔 定 理,费马 引 理,拉格朗日 中值定理,柯西