《柯西公式》PPT课件.ppt

第二章 复变函数的积分,陈尚达 材料与光电物理学院,第二章 复变函数的积分,复变函数的积分 柯西定理 不定积分 柯西公式,2.4 柯西公式,在上节课我们计算了积分,2.4 柯西公式,2.4.1 柯西公式：若函数 在闭单通区域 上解析， 为境界线， 为 内任意一点，则有,（1）,上式称为柯西积分公式，简称柯西公式。但一定要注意其与柯西定理称谓上的区别。,证明思路： 1、利用复通区域柯西定理，改变积分路径。 2、利用极限性质证明。,由复积分性质知道根据 在 连续，则对任意小的 对应于R足够小，有 又显见该积分的值与R无关这就证明了 ，即为柯西积分公式,柯西公式将解析函数在任意一点的值用沿境界线的回路积分表示了出来。为什么？ 因为解析函数在各点的值通过柯西黎曼方程互相联系。从物理上说，解析函数紧密联系于平面标量场，而平面场的边界条件决定着区域内的场。 因为 是任意的，通常将它改写为 ，积分变数用 表示，则柯西公式改写为：,解：（1）注意到 在复平面内解析，而 在积分环路C内，由柯西积分公式得 （2）注意到函数 在 内解析，而 在 内，由柯西积分公式得,解：根据柯西积分公式，得到,故得到,2.4.2有界区域的复连通柯西积分公式,上面对柯西积分公式讨论了（1）单连通区域;(2)复连通区域。但所涉及的积分区域都是有限的区域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何求解？我们可以证明如下的无界区域柯西积分公式仍然成立,2.4.3 无界区域中的柯西积分公式,设函数 在闭合回路L的外部解析，则有在区域内任意一点 ，满足,特别是当 时,1、解析函数的无限次可微性（高阶导数公式） 作为柯西积分公式的推广，我们可以证明一个解析函数的导函数仍为解析函数，从而可以证明解析函数具有任意阶导数请特别注意：这一点和实函数完全不一样，一个实函数有一阶导数，不一定有二阶或更高阶导数存在。,2.4.4柯西积分公式的几个重要推论,由上柯西公式，Z为区域内任意一点， 为边界上的点，故 积分函数 处处可导，因此可在积分号下对Z求导。,定理 解析函数 的导数仍为解析函数，它的n阶导数为 其中 为 的解析区域 内并包含 的任一简单正向闭曲线，而且它的内部全属于 。 上式称为柯西导数公式。,2、模数原理 设函数 在某个闭区域上解析，则 只能在境界线上取极大值。 证明：,对函数 应用柯西公式，得,如果 ， ，边界长 ，则由上式可估计,即,令 则 （函数为常数时才取等号）,3、柯西不等式 若函数 在圆C: 内部及其边界上解析，且 ，则,证明：由柯西高阶导数公式 所以,柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式，表明解析函数在解析点的各阶导数的模与它的解析区域大小密切相关。,4、刘维尔定理 设函数 在全平面上解析，并且是有界的，即 则 必为常数。,*柯西积分定理的物理意义*,而且有对应关系 则,故复变函数的环路积分为 由场论知识可知：闭合环路积分 的物理意义为, 实部 表示向量场 沿 曲线的环量。虚部 表示向量场沿曲线 的通量。,解 柯西公式得,例2.4.5计算积分,例2.4.6计算积分,解 柯西公式得,例2.4.7计算积分,解：在积分路径包围区域内只有1和2两个奇点，由复通区域柯西定理,对两个积分分别用柯西定理有,例2.4.8计算积分 ，其中 为圆周,解 高阶导数公式得,1了解复变函数积分的概念; 2了解复变函数积分的性质; 3掌握积分与路经无关的相关知识