高等数学8习题.ppt

,习题课,一、内容回顾,二、问题举例,空间解析几何,第八章,一、内容回顾,空间平面,一般式,点法式,截距式,三点式,1. 空间直线与平面的方程,（主要是空间直线与平面）,为直线的方向向量.,空间直线,一般式,对称式,参数式,为直线上一点;,两点式,面与面的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,2.线面之间的相互关系,直线,线与线的关系,直线,垂直:,平行:,夹角公式:,平面:,垂直：,平行：,夹角公式：,线与面间的关系,直线:,3. 相关的几个问题,(1)有轴平面束,的平面束,方程,过直线,也可表示为:,(但不能表示第二个平面),点,的距离为,到平面 ：A x+B y+C z+D = 0,(2)点到平面的距离公式,到直线,的距离,为,(3) 点,此公式 不可能 记住! 但思路 要会!,P50 14 13,思考：直线与直线间的距离。,求两直线,间的距离.,与两直线同时垂直的向量,任取两直线的点M1,M2,设,加减:,数乘:,点积:,叉积:,=,模:,按右手 法则 从a转向b.,方向:,向量的运算,两向量的夹角余弦,三角形的面积公式,混合积:,. 向量关系,绕 z 轴旋转,yoz 面上曲线 C:,绕 y 轴旋转,总之,绕谁谁不变,另外一个正负根号换, 换完就得旋转面,(根号下为另两个的平方和),. 旋转面,求空间曲线 C: ，绕x轴旋转一周的旋转面的方程。,. 二次曲面,步骤如下：,C的参数方程：,则旋转面的方程：,曲线上的任意点,绕,旋转至曲面上的任意点,(1). 椭球面,椭球面的草图为:,当 ab 时或为旋转椭球面;,当abc 时为球面.,(2). 椭圆锥面,草图为:,当 ab 时为圆锥面,(3).单叶双曲面,草图为,当 ab 时为旋转单叶双曲面,(4). 双叶双曲面,草图为:,当 ab 时为旋转双叶双曲面,(5). 椭圆抛物面,草图为:,a=b时为旋转抛物面,(6). 双曲抛物面,（鞍形曲面）,草图为,由xoz面上抛物线,沿yoz面的抛物线,平行移动而成,(7). 椭圆柱面,(8). 双曲柱面,(9). 抛物柱面,8. 母线平行于坐标轴的柱面,10、空间曲线在坐标面上的投影,9、空间曲线的参数方程,(第11章 曲线积分的计算时用),(第10章、第11章 要用到),二、问题举例,例1. 求与两平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交线,提示: 所求直线的方向向量可取为,利用点向式可得方程,平行,且 过点 (3 , 2 , 5) 的直线方程.,例2. 求直线,与平面,的交点 .,提示: 化直线方程为参数方程！,代入平面方程得,从而确定交点为（1，2，2）.,例3. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线,垂直相交的直线方程.,提示: 先求二直线交点 P.,化已知直线方程为参数方程, 代入 式, 可得交点,最后利用两点式得所求直线方程,的平面的法向量为,故其方程为,过已知点且垂直于已知直线,例4. 设一平面平行于已知直线,且垂直于已知平面,求该平面与三,坐标面夹角的余弦.,提示:,已知平面的法向量,求出已知直线的方向向量,取所求平面的法向量,平面与yoz、xoz、xoy面得夹角的余弦分别为：,例5. 求过直线L:,且与平面,夹成,角的平面方程.,提示:,过直线 L 的平面束方程,其法向量为,已知平面的法向量为,选择,使,从而得所求平面方程,例6. 求过点,且与两直线,都相交的直线 L.,解:,的方程化为参数方程,设 L 与它们的交点分别为,的方程为,将(1,1,1)代入可求得t1=0, t2=2.,(过M0),则L的方程为,例7. 求与两直线,垂直相交的直线 L的方程.,解:,的方程化为参数方程,设 垂足坐标分别为,的方向向量为,据题意,例8.直线,绕 z 轴旋转一周, 求此旋转,转曲面的方程.,提示:,在 L 上任取一点,旋转轨迹上任一点,则有,此即为旋转曲面方程,(选为参数!),(0,0,z),思考与练习,P51 题21 画出下列各曲面所围图形:,P51 题21(1),解答:,P51 21 (2),P51 21(4),作业 P49 11; 15 P51 15; 16; 17; 19,求曲线,绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程,绕 z 轴,最初的 点,旋转至(x,y,z)点,此过程到(0,0,z)的距离相等.,（选z为参数）,即,P37 题 7,但直接削去y得,在yoz面上的投影为:,(较复杂),在xoy面上的投影为:,在xoz面上的投影为:,交线在xoy面上的投影,交线在xoz 面上的投影,求直线,在平面,上的投影直线,的方程； 并求,（98数一 5分）,绕y轴旋转一周所成,曲面的方程,解:,过L的平面方程为,即,法线,已知平面的法线