2020版高考数学一轮复习第六章数列第一节数列的概念与简单表示讲义（含解析）.docx

第一节数列的概念与简单表示突破点一数列的通项公式1数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)2数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式3数列的递推公式如果已知数列an的第1项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即anf(an1)(或anf(an1，an2)等)，那么这个式子叫做数列an的递推公式4Sn与an的关系已知数列an的前n项和为Sn，则an这个关系式对任意数列均成立一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(3)若已知数列an的递推公式为an1，且a21，则可以写出数列an的任何一项()(4)如果数列an的前n项和为Sn，则对nN*，都有an1Sn1Sn.()答案：(1)(2)(3)(4)二、填空题1数列an中，a12，且an1an1，则a5的值为_解析：由a12，an1an1，得a2a11110，a3a21011，a4a311，a5a411.答案：2数列an定义如下：a11，当n2时，an若an，则n的值为_解析：困为a11，所以a21a12，a3，a41a23，a5，a61a3，a7，a81a44，a9，所以n9.答案：93数列an的通项公式an，则3是此数列的第_项解析：an，3，3是该数列的第9项答案：94已知Sn是数列an的前n项和，且Snn21，则数列an的通项公式是_答案：an考法一利用an与Sn的关系求通项数列an的前n项和Sn与通项an的关系为an通过纽带：anSnSn1(n2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解例1(1)(2019化州模拟)已知Sn为数列an的前n项和，且log2(Sn1)n1，则数列an的通项公式为_(2)(2019广州测试)已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意nN*，均有an，Sn，a成等差数列，则an_.解析(1)由log2(Sn1)n1，得Sn12n1，当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn12n，所以数列an的通项公式为an(2)an，Sn，a成等差数列，2Snana.当n1时，2S12a1a1a.又a10，a11.当n2时，2an2(SnSn1)anaan1a，(aa)(anan1)0.(anan1)(anan1)(anan1)0，(anan1)(anan11)0，anan10，anan11，an是以1为首项，1为公差的等差数列，ann(nN*)答案(1)an(2)n方法技巧已知Sn求an的3个步骤(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写考法二利用递推关系求通项例2(1)在数列an中，a12，an1an3n2，求数列an的通项公式(2)在数列an中，a11，anan1(n2)，求数列an的通项公式(3)在数列an中a11，an13an2，求数列an的通项公式(4)已知数列an中，a11，an1，求数列an的通项公式解(1)因为an1an3n2，所以anan13n1(n2)，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)当n1时，a12(311)，符合上式，所以ann2.(2)因为anan1(n2)，所以an1an2，a2a1.由累乘法可得ana1(n2)又a11符合上式，an.(3)因为an13an2，所以an113(an1)，所以3，所以数列an1为等比数列，公比q3，又a112，所以an123n1，所以an23n11.(4)an1，a11，an0，即，又a11，则1，是以1为首项，为公差的等差数列(n1)，an(nN*)方法技巧典型的递推数列及处理方法递推式方法示例an1anf(n)叠加法a11，an1an2nan1anf(n)叠乘法a11，2nan1AanB (A0,1，B0)化为等比数列a11，an12an1an1 (A，B，C为常数)化为等差数列a11，an11.已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Sn，则a2 019()A2 018B2 019C4 036 D4 038解析：选B由题意知n2时，anSnSn1，化为，1，ann.则a2 0192 019.故选B.2.已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn()A2n1 Bn1C.n1 Dn1解析：选BSn2an12Sn12Sn3Sn2Sn1，故数列Sn为等比数列，公比是，又S11，所以Sn1n1n1.故选B.3.已知在数列an中，an1an(nN*)，且a14，则数列an的通项公式an_.解析：由an1an，得，故，(n2)，以上式子累乘得，.因为a14，所以an(n2)因为a14满足上式，所以an.答案：4.已知数列an满足a12，anan1n(n2，nN*)，则an_.解析：由题意可知，a2a12，a3a23，anan1n(n2)，以上式子累加得，ana123n.因为a12，所以an2(23n)2(n2)因为a12满足上式，所以an.答案：突破点二数列的性质数列的分类分类标准类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项1已知数列an的通项公式是an，那么这个数列是_(填递增或递减)答案：递增2设an3n215n18，则数列an中的最大项的值是_答案：03已知数列an的通项公式为an(n2)n，则当an取得最大值时，n等于_答案：5或6考法一数列的单调性例1已知数列an的通项公式为annn，则数列an中的最大项为()A.BC. D解析法一：(作差比较法)an1an(n1)n1nnn，当n0，即an1an；当n2时，an1an0，即an1an；当n2时，an1an0，即an1an.所以a1a4a5an，所以数列an中的最大项为a2或a3，且a2a322.故选A.法二：(作商比较法)，令1，解得n2；令1，解得n2；令2.又an0，故a1a4a5an，所以数列an中的最大项为a2或a3，且a2a322.故选A.答案A方法技巧求数列最大项或最小项的方法(1)将数列视为函数f(x)当xN*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用(n2)确定最大项，利用(n2)确定最小项(3)比较法：若有an1anf(n1)f(n)0或an0时，1，则an1an，即数列an是递增数列，所以数列an的最小项为a1f(1)；若有an1anf(n1)f(n)0时，1，则an1an，即数列an是递减数列，所以数列an的最大项为a1f(1)考法二数列的周期性数列的周期性与函数的周期性相类似求解数列的周期问题时，通常是求出数列的前几项观察规律确定出数列的一个周期，然后再解决相应的问题例2(2019广西南宁二中、柳州高中联考)已知数列2 008,2 009,1，2 008，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 018项之和S2 018_.解析由题意可知an1anan2，a12 008，a22 009，a31，a42 008，a52 009，a61，a72 008，a82 009，an6an，即数列an是以6为周期的数列，又a1a2a3a4a5a60，S2 018336(a1a2a3a4a5a6)(a1a2) 4 017.答案4 017方法技巧周期数列的常见形式与解题方法(1)周期数列的常见形式利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列(2)解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和1.若数列an中，a12，a23，an1anan1(n2)，则a2 019()A1 B2C3 D3解析：选A因为anan1an