2020版高考数学一轮复习第七章立体几何第四节直线、平面垂直的判定与性质讲义（含解析）.docx

第四节 直线、平面垂直的判定与性质突破点一直线与平面垂直的判定与性质1直线和平面垂直的定义直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直2直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab3直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角(2)线面角的范围：.一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()(3)直线a，b，则ab.()答案：(1)(2)(3)二、填空题1过一点有_条直线与已知平面垂直答案：一2在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，若PAPBPC，则点O是ABC的_心若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心答案：外垂3如图，已知BAC90，PC平面ABC，则在ABC， PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_；与AP垂直的直线有_解析：因为PC平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为ABAC，ABPC，ACPCC，所以AB平面PAC，又因为AP平面PAC，所以ABAP，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，ACAB典例(2019郑州一测)如图，在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，AB6，BC2，AC2，D为线段AB上的点，且AD2DB，PDAC.(1)求证：PD平面ABC；(2)若PAB，求点B到平面PAC的距离解(1)证明：连接CD，据题知AD4，BD2，AC2BC2AB2，ACB90，cosABC，CD222(2)2222cosABC8，CD2，CD2AD2AC2，则CDAB.平面PAB平面ABC，CD平面PAB，CDPD，PDAC，ACCDC，PD平面ABC.(2)由(1)得PDAB，PAB，PDAD4，PA4，在RtPCD中，PC2，PAC是等腰三角形，可求得SPAC8.设点B到平面PAC的距离为d，由VBPACVPABC，得SPACdSABCPD，d3.故点B到平面PAC的距离为3.方法技巧证明直线与平面垂直的方法(1)定义法：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面(不常用)；(2)判定定理(常用方法)；(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(客观题常用)；(4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面(客观题常用)；(5)若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法); (6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用)针对训练(2019贵州模拟)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，且ABAD1，AA1，ABC60.(1)求证：ACBD1；(2)求四面体D1AB1C的体积解：(1)证明：连接BD，与AC交于点O，因为四边形ABCD为平行四边形，且ABAD，所以四边形ABCD为菱形，所以ACBD.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1平面ABCD，可知BB1AC，则AC平面BB1D1D，又BD1平面BB1D1D，则ACBD1.(2)VD1AB1CVABCDA1B1C1D1VB1ABCVD1ACDVAA1B1D1VCC1B1D1VABCDA1B1C1D14VB1ABC4.突破点二平面与平面垂直的判定与性质1平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l2二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角(3)二面角的范围：.一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)若，aa.()(2)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()(3)如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面.()答案：(1)(2)(3)二、填空题1m，n为直线，为平面，若m，mn，n，则与的位置关系为_答案：垂直2设，为两个不同的平面，直线l，则“l”是“”成立的_条件答案：充分不必要3已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有_对解析：由于PD平面ABCD，故平面PAD平面ABCD，平面PDB平面ABCD，平面PDC平面ABCD，平面PDA平面PDC，平面PAC平面PDB，平面PAB平面PAD, 平面PBC平面PDC，共7对答案：7典例(2019开封定位考试)如图，在三棱锥DABC中，AB2AC2，BAC60，AD，CD3，平面ADC平面ABC.(1)证明：平面BDC平面ADC；(2)求三棱锥DABC的体积解(1)证明：在ABC中，由余弦定理可得，BC ，BC2AC2AB2，BCAC，平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC平面ADC，又BC平面BDC，平面BDC平面ADC.(2)由余弦定理可得cosACD，sinACD，SACDACCDsinACD，则VDABCVBADCBCSACD.方法技巧面面垂直判定的两种方法与一个转化两种方法(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a，a)一个转化在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直针对训练(2019洛阳一模)如图，在四棱锥EABCD中，EAD为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满足ABCD，ADDCAB，且AEBD.(1)证明：平面EBD平面EAD；(2)若EAD的面积为，求点C到平面EBD的距离解：(1)证明：如图，取AB的中点M，连接DM，则由题意可知四边形BCDM为平行四边形，DMCBADAB，即点D在以线段AB为直径的圆上，BDAD，又AEBD，且AEADA，BD平面EAD.BD平面EBD，平面EBD平面EAD.(2)BD平面EAD，且BD平面ABCD，平面ABCD平面EAD.等边EAD的面积为，ADAEED2，取AD的中点O，连接EO，则EOAD，EO，平面EAD平面ABCD，平面EAD平面ABCDAD，EO平面ABCD.由(1)知ABD，EBD都是直角三角形，BD2，SEBDEDBD2，设点C到平面EBD的距离为h，由VCEBDVEBCD，得SEBDhSBCDEO，又SBCDBCCDsin 120，h.点C到平面EBD的距离为.突破点三平行与垂直的综合问题1平行关系之间的转化在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”2垂直关系之间的转化在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决典例(2018北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.证明(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD，所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD，因为PD平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，ABPAA，所以PD平面PAB.因为PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FGBC，FGBC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.方法技巧平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决注意遵循“空间到平面”“低维”到“高维”的转化关系 针对训练(2019北京西城区期末)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF3，G，H分别是CE，CF的中点(1)求证：AC平面BDEF；(2)求证：平面BDGH平面AEF.证明：(1)因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD.又平面BDEF平面ABCD，平面B