§10.2对坐标的曲线积分.ppt

实例: 变力沿曲线所作的功,第二节 对坐标的曲线积分,一、问题的提出,设一质点受如下变力作用,在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移,动过程中变力所作的功W.,常力沿直线所作的功,1) “分割”.,2) “近似”,把L分成 n 个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,3) “求和”,4) “取极限”,(其中 为 n 个小弧段的 最大长度),二、对坐标的曲线积分的概念,1.定义,类似地定义,2.存在条件：,3.推广,4.组合形式,若 为空间曲线弧 , 记,类似地,5.性质,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !,三、对坐标的曲线积分的计算,定理,一代、二换、三定限,代,将积分曲线L 的参数方程代入被积函数,换,定限,下限起点参数值,上限终点参数值,对坐标的曲线积分的计算步骤,特殊情形,解: (1) 化为对x的定积分,(2) 化为对y的定积分, x=y2, y从-1到1.,解: (1),参数从0变到 ,(2) 因曲线L的方程为 y=0 , x从a 移动到a. 则,问题: 被积函数相同, 起点和终点也相同, 但路径不同, 积分结果不同.,(1) 抛物线 y=x2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧; (2) 抛物线 x=y2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧;,(3) 有向折线OAB, 点O, A, B三点依次为(0, 0), (1, 0), (1, 1).,解: (1) 化为对x的积分:,L: y=x2, x从0变到1, 所以,(2) 化为对y的积分:,L: x=y2, y从0变到1, 所以,问题: 同样有被积函数相同, 起点和终点也相同,但路径不同而积分结果相同.,在OA上, y=0, x从0变到1,在AB上, x=1, y从0变到1,所以,(3) 将积分曲线L分为两段:,四、两类曲线积分的联系,设平面上光滑的有向曲线L: x=(t), y=(t). 设曲线L的起点为A, 终点为B, 对应参数分别为a, b. 不妨设 ab, 可令如下讨论的s = t , A, B 对应的值为s = a, s = b). 由于曲线L是光滑的, 则(t), (t)在闭区间a, b上连续, 且2(t)+2(t) 0. 又假设P(x, y), Q(x, y)在L上连续,是曲线L在点M(t),(t)处的一个切向量, 其方向与参数 t 增大时点M移动的方向一致, 当ab时, 这个方向就是曲线L的方向. 这种方向与有向曲线方向一致的切向量我们称为有向曲线的切向量.,由于向量,有向曲线的切向量的方向余弦为:,由对弧长的曲线积分的计算公式知:,其中,而(x, y)和(x, y)为有向曲线L上点(x, y)处的切线向量的方向角.,因此有, 两类曲线积分的联系公式:,类似地有, 空间曲线上点(x, y, z)处的切线向量的方向角为, , , 则空间曲线 上的两类曲线积分的联系公式:,其中,又称为有向曲线元.,两类曲线积分的联系用向量形式表达, 其有明显的物理意义.,用空间曲线 上曲线积分表达:, 上点(x, y, z)处的单位切向量,为有向曲线,At为 在向量 上的投影.,四、小结,1、对坐标曲线积分的概念; 2、对坐标曲线积分的计算; 3、两类曲线积分之间的联系.,思考题,当曲线L的参数方程与参数的变化范围给定后(例如L: x=acost, y=asint, t0, 2, a是正常数), 试问如何表示L的方向(如L表示为顺时针方向, 逆时针方向)?,思考题解答,曲线方向