《中值定理》PPT课件-2.ppt

3.1 中值定理,1. 中值定理的条件和结论,2. 中值定理的几何意义,3. 罗尔定理及中值定理之间的关系,4. 中值定理的应用,常用于其他定理的证明；,用于证明恒等式、不等式、,中值的存在性，,应逐步熟悉,构造辅助函数证题的方法 .,方程的根的,中存在性、,5. 中值定理的推论,(1) 若,(2) 若,费马引理,的某邻域,内有定义，,如果对任意的,有,证,则对,有,从而,则,由极限的保号性，,所以，,一、罗尔(Rolle)定理,续，,且在区间端点的函数值,相等，,即,使,证,在,连续，,必存在最大值,和最小,值,若,则,故,都有,若,最值不可能同时在端点取得.,不妨设,使,有,故由费马引理知,证毕.,至少存在一点,例如，,且,取,则有,注：,一般情况下，,定理结论中导函数的零点,不易找到的.,罗尔定理的三个条件,缺一不可，,举,举例说明,是,罗尔定理的条件与结论,罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不,满足,定理的结论就可能不成立.,下面分别举例说,明之:,易见函数,断,不满足闭区间连续的条件,1.,且,切线.,但显然没有水平,如图 所示.,2.,我们在第二章第一节中已证明过,处是不可导的,因此不满足在开区间可导的条件,且有,但是没有水平切线.,如图 所示.,3.,在开区,间(0,1)内可导的条件,但,显然也没有水平切线.,如图 所示.,不求导数，,的导数有几个零点及这些零点所在的范围.,解,因为,从而，,使,使,判断函数,最多只能有两个零点，,内.,对函数,罗尔定理的正确性.,验证,解,且,导,完,证,1的正实根.,设,连续,且,由介值定理,存在,使,即为方程的小于1的正实根.,设另有,使,使得,但,导致矛盾,且,证明:,存在,证,从结论倒推分析知,可引进辅助函数,由于,罗尔定理条件,且,因此,使,且,证明:,存在,证,因此,使,即,因,所以,证,导,且,若存在常数,使得,试证至少存在一点,使得,因,不妨设,又因为,所以,连续,证,在,和,上,连续,设,异号,所以,至少存在一点,使,至少存在一点,使,显然满足,罗尔定理的三个条件,所以至少存,在一点,使,完,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,拉格朗日(Lagrange)中值定理,内至少有一点,使得,分析：,条件中与罗尔定理相差,几何图中,函数值相等.,则在,拉格朗日(Lagrange)中值定理,于是,若作辅助函数,存在一点,使,即,拉格朗日(Lagrange)中值定理,内至少有一点,使得,则在,拉格朗日(Lagrange)中值定理,存在一点,使,即,或,由此可证得定理.,拉格朗日中值公式,注:,拉格朗日公式,的增量,精确地表达了函数在一个区间上,与函数在该区间内某点处的导数之间的关系.,拉格朗日(Lagrange)中值定理,或,由此可证得定理.,拉格朗日中值公式,拉格朗日(Lagrange)中值定理,或,由此可证得定理.,拉格朗日中值公式,则有,即,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,推论1,如果函数,那么,证,在区间,上,得,由假设,于是,的函数值都相等，,应用拉格朗日中值定理，,任意点处,完,拉格朗日(Lagrange)中值定理,推论1,推论1表明:,导数为零的函数就是常数函数.,这一,结论以后在积分学中将会用到.,由推论1立即可得：,推论2,证,完,证明,设,即,又,解,验证函数,格朗日中值定理,故满足拉格朗日中值定理的条件.,则,即,故,证,设,足拉格朗日中值定理的条件.,故,从而,又由,证,即,证,且,单调减少,试证:,对于,恒有,有,故不等式成立.,使,证,在,上应用拉氏定理知,使,所以,证毕.,单调减少,三、柯西(Cauchy)中值定理,柯西(Cauchy)中值定理,且,有一点,使得,柯西(Cauchy)中值定理,证,作辅助函数,满足罗尔定理的条件,一点,使得,即,证毕.,显然,柯西中值定理化为拉格朗日中值定理.,内容小结,1. 中值定理的条件和结论,名称,条件,结论,罗尔 定理,拉格 朗日 定理,柯西 定理,(3),使得,使得,使得,2. 中值定理的几何意义,3. 罗尔定理及中值定理之间的关系,4. 中值定理的应用,(1) 常