《紫色飘逸艺术风格》PPT课件.ppt

1,Company Logo,2009.06,Homepage,Copyright by ARTCOM PT All rights reserved.,PowerPoint Template,2,Click here to add header Click to add text to your presentation Click to add text to your presentation Click to add text to your presentation,PowerPoint Template_Sub,高等数学总复习,2009年6月7日,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,高等数学复习简介,向量的运算及方向余弦，平面与直线（包括坐标轴）的位置关系； 平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程； 二元函数的极限; 二元函数的连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间的关系； 多元隐函数求导，曲面的切平面方程； 复合函数求导（特别是抽象函数的求导问题）； 方向导数，多元函数的条件极值问题； 二重积分的计算，对称性的应用，及积分次序的交换； 利用三重积分计算空间立体的体积，三重积分的“先二后一”计算方法； 曲线积分与曲面积分，格林公式和高斯公式的应用； 常数项级数的收敛与绝对收敛，傅立叶级数的收敛性定理，幂级数的收敛域与和函数。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,向量的方向余弦,机动 目录 上页 下页 返回 结束,与三坐标轴的夹角 , , ,为其方向角.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向角的余弦称为其方向余弦.,6,向量的运算,设,1. 向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,2. 向量关系:,8,平面与直线（包括坐标轴）的位置关系,主要通过向量间的关系来衡量线线关系，线面关系，面面关系； 问题根源仍然是对向量关系的正确理解；,9,面与面的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,1、线面之间的相互关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,直线,2、线与线的关系,直线,垂直:,平行:,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11,平面:,垂直：,平行：,夹角公式：,3.面与线间的关系,直线:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,12,实例分析,例1. 求与两平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交线,提示: 所求直线的方向向量可取为,利用点向式可得方程,平行,且 过点 (3 , 2 , 5) 的直线方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13,例2. 求直线,在平面,上的投影直线方程.,提示：过已知直线的平面束方程,从中选择,得,这是投影平面,即,使其与已知平面垂直：,从而得投影直线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14,例3. 设一平面平行于已知直线,且垂直于已知平面,求该平面法线的,的方向余弦.,提示:,已知平面的法向量,求出已知直线的方向向量,取所求平面的法向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所求为,15,例1,求曲线,绕 z 轴旋转的曲面与平面,的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为,此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16,例2.直线,绕 z 轴旋转一周, 求此旋转,转曲面的方程.,提示:,在 L 上任取一点,旋转轨迹上任一点,则有,得旋转曲面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17,二元函数的极限,方法: 主要根据定义求极限、讨论极限； 利用定义求导数；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,例1. 设,求证：,证：,故,总有,要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19,例2 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,20,确定极限不存在的方法：,21,二元函数的连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间的关系,多元函数连续、可导、可微的关系,根据定义,必要条件,充分条件,反例,22,思考题,23,提示: 利用,故f 在 (0,0) 连续;,知,在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 .,1. 证明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,24,而,所以 f 在点(0,0)不可微 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,25,多元隐函数的求导（二阶混合偏导）、多元函数的微分,隐函数的一阶求导方法： 公式法; 推导法; 注意两者的区别; 隐函数求二阶导数时,只能利用推导法;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,26,平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程,主要利用书中结论: 即绕着哪个轴旋转,这个轴对应的字母不变,变化的是另一个字母;,27,思考题,28,思考题解答,29,例1. 设,其中 f 与F分别具,解法1 方程两边对 x 求导, 得,有一阶导数或偏导数, 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,30,解法2,方程两边求微分, 得,化简,消去 即可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,31,例2.设,有二阶连续偏导数, 且,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,32,有连续的一阶偏导数 ,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案:,( 2001考研 ）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习3. 设,33,例3. 设,解法1 利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再对 x 求导,34,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,35,为简便起见 , 引入记号,例4. 设,f 具有二阶连续偏导数,求,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,36,曲面的切平面方程,求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量),机动 目录 上页 下页 返回 结束,设 有光滑曲面,在其上一定点,的切平面的法向量是?,37,曲面的切平面方程,求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量),机动 目录 上页 下页 返回 结束,设 有光滑曲面,在其上一定点,的切平面的法向量是?,38,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,特别, 当光滑曲面 的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,39,法向量,用,将,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向