2019高中数学第二章直线、平面垂直的判定及其性质（第1课时）直线与平面垂直的判定讲义（含解析）.docx

第1课时直线与平面垂直的判定核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P64P67，回答下列问题(1)如图，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗？提示：垂直关系所成的角度不变，都为90.(2)旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线BC(如(1)的图)的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论？提示：垂直关系，依据是异面直线所成角的定义得到的结论是：如果一条直线与平面垂直，则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线2归纳总结，核心必记(1)直线与平面垂直的有关概念定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l.相关概念：若直线l与平面垂直，其中直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足图形语言：(画直线与平面垂直时，通常把直线画成与平面的平行四边形的一边垂直)如图所示符号语言：任意a，都有lal.(2)直线和平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言：如图所示符号语言：a，b，abA，la，lbl.(3)直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0的角综上，直线与平面所成的角的范围是0，90问题思考(1)直线与平面垂直的定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”，“无数条直线”？提示：定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直(2)线面垂直的判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗？提示：用线面垂直的判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的(3)若直线l与平面所成的角是0角，则必然有l吗？提示：不一定若直线l与平面所成的角是0角，则l或l.课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)直线与平面垂直的图形语言及符号语言各是什么？；(2)平面与平面垂直的判定定理是什么？怎样用？；(3)直线和平面所成的角是什么样的角？.观察下图中书脊所在直线与桌面的位置关系思考1书脊所在直线与桌面的位置关系是什么？提示：垂直思考2怎样理解直线与平面垂直的定义？名师指津：(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线这是判断两条直线垂直的一种重要方法思考3怎样理解直线与平面垂直的判定定理？名师指津：(1)引进判定定理的必要性用线面垂直的定义可以证明线面垂直，但是要说明直线与平面内所有直线都垂直，在实际运用时有困难，所以需要引进一种容易操作，应用广泛的证明方法(2)关键词“两条相交直线”的理解虽然平面内直线有无数多条，但它却可以由两条相交直线完全确定不能用“一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直”实际上，由公理4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直(3)所体现的数学思想直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想，即将线面垂直转化为线线垂直讲一讲1(1)下列说法中正确的个数是()如果直线l与平面内的两条相交直线都垂直，则l；如果直线l与平面内的任意一条直线垂直，则l；如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线；如果直线l不垂直于，则内也可以有无数条直线与l垂直A0 B1 C2 D3(2)如图所示，直角ABC所在的平面外一点S，SASBSC，点D为斜边AC的中点求证：直线SD平面ABC.尝试解答(1)由直线和平面垂直的判定定理知正确；由直线与平面垂直的定义知，正确；当l与不垂直时，l可能与内的无数条直线垂直，故错误；正确(2)SASC，点D为斜边AC的中点，SDAC.连接BD，在RtABC中，则ADDCBD，ADSBDS，SDBD.又ACBDD，SD平面ABC.答案(1)D1线线垂直和线面垂直的相互转化2证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面练一练1如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，ANPM，垂足为N.求证：AN平面PBM.证明：设圆O所在的平面为，PA，且BM，PABM.又AB为O的直径，点M为圆周上一点，AMBM.由于直线PAAMA，BM平面PAM，而AN平面PAM，BMAN.AN与PM、BM两条相交直线都垂直故AN平面PBM.斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成思考1上图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系，其倾斜程度相同吗？能用角来表示这种倾斜程度吗？提示：不同能.思考2直线与平面所成的角是空间角，能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗？提示：能思考3怎样理解直线与平面所成的角？名师指津：(1)把握定义应注意两点：斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段(2)其定义反映了求线面角的基本思想平面化思想，即把空间角等价转化为平面角，并放在三角形内求解讲一讲2在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角尝试解答(1)直线A1A平面ABCD，A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A1，则AC，tanA1CA.(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1B1D1，BB1平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，BB1A1C1，又BB1B1D1B1，A1C1平面BDD1B1，垂足为O.A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在RtA1BO中，A1OA1C1A1B，A1BO30.即A1B与平面BDD1B1所成的角为30.求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算练一练2已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱与底面所成角的余弦值解：如图，设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱长为2a.设O为底面中心，则SAO为SA与平面ABC所成的角在RtSOA中，AOaa，cosSAO，即侧棱与底面所成角的余弦值为.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性；掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题难点是了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法2本节课要重点掌握的规律方法(1)证明线面垂直的方法，见讲1.(2)求斜线与平面所成角的方法步骤，见讲2.3本节课的易错点是用线面垂直的判定定理时漏掉两条直线相交这一条件，如讲1；求线面角时不注意出现的线面垂直条件，如讲2.课下能力提升(十二)学业水平达标练题组1直线与平面垂直的定义及判定定理1若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A平面OAB B平面OACC平面OBC D平面ABC解析：选C由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.2一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A平行 B垂直C相交不垂直 D不确定解析：选B一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边3(2016大连高一检测)直线l平面，直线m，则l与m不可能()A平行 B相交 C异面 D垂直解析：选A直线l平面，l与相交，又m，l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知lm.故l与m不可能平行4若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面()A有且只有一个B可能存在，也可能不存在C有无数多个D一定不存在解析：选B当l1l2时，过l1且与l2垂直的平面有一个，当l1与l2不垂直时，过l1且与l2垂直的平面不存在5已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PCBD，则平行四边形是菱形吗？解：连接AC、BD，设AC与BD交于点O.PA平面ABCD，PABD.又PCBD，PAPCP，PA平面PAC，PC平面PAC，BD平面PAC，又AC平面PAC，BDAC，又ABCD为平行四边形，ABCD为菱形6如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点证明：PC平面BEF.证明：如图，连接PE，EC，在RtPAE和RtCDE中，PAABCD, AEDE，PECE，即PEC是等腰三角形又F是PC的中点，EFPC.又BP2BC，F是PC的中点，BFPC.又BFEFF，PC平面BEF.题组2直线与平面所成的角7如图所示，若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍，则AB与平面所成的角是()A60 B45C30 D120解析：选AABO即是斜线AB与平面所成的角，在RtAOB中，AB2BO，所以cosABO，即ABO60.8如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，则PD与平面ABCD所成的角为图中的()APAD BPDACPDB DPDC解析：选BPA平面ABCD，AD是PD在平面ABCD上的射影，故PDA是PD与平面ABCD所成的角9直线l与平面所成的角为70，直线lm，则m与所成的角等于()A20 B70 C90 D110解析：选Blm，直线l与平面所成的角等于m与所成的角，又直线l与平面所成的角为70，m与所成的角为70.10在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值；(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角解：(1)如图所示，连接DB，D1D平面ABCD，DB是D1B在平面ABCD内的射影则D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角DBAB，D1BAB，cosD1BD，即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为.(2)E是A1A的中点，A1A平面A1B1C1D1，EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角在RtEA1F中，F是A1D1的中点，EFA1为45.能力提升综合练1(2016济南高一检测)直线l与平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面的关系是()Al和平面相互平行 Bl和平面相互垂直Cl在平面内 D不能确定解析：选D如图所示，直线l和平面相互平行，或直线l和平面相互垂直或直线l在平面内都有可能2正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持APBD1，则动点P的轨迹是()A线段B1CB线段BC1CBB1中点与CC1中点连成的线段DBC中点与B1C1中点连成的线段解析：选A如图，由于BD1平面AB1C，故点P一定位于B1C上3(2016滁州高一评估检测)已知两条直线m、n，两个平面、，给出下列四个命题：mn，mn；，m，nmn；mn，mn；，mn，mn.其中正确命题的序号是()A B C D解析：选C正确；对于，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，因此是错误的；对于，直线n也可能位于平面内，因此是错误的；对于，由m且，得m，又mn，故n，因此是正确的4设l，m，n为三条不同的直线，为一个平面，给出下列命题：若l，则l与相交；若m，n，lm，ln，则l；若lm，mn，l，则n；若lm，m，n，则ln.其中正确命题的序号为_解析：显然正确；对，只有当m，n相交时，才有l，故错误；对，由lm，mnln，由l，得n，故正确；对，由lm，ml，再由nln，故正确答案：5长方体ABCDA1B1C1D1中，AB，BCAA11，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为_解析：如图所示，连接B1D1.则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，则BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角在RtBD1B1中，tanBD1B1，则BD1B1.答案：6(2016临沂高一检测)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA1，PD.(1)求证：PA平面ABCD；(2)求四棱锥PABCD的体积解：(1)证明：因为四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PA1，PD，所以PD2PA2AD2，所以PAAD，又PACD，ADCDD，所以PA平面ABCD.(2)四棱锥PABCD的底面积为1，因为PA平面ABCD，所以四棱锥PABCD的高为PA1，所以四棱锥PABCD的体积为.7如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD的中点(1)证明：PB平面ACM；(2)证明：AD平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值