小学数学问答手册40分数和百分数.doc

五、分数和百分数185.为什么在分数的教与学中，单位“1”是一个重要概念？单位“1”也称做整体“1”，在分数的教与学中，正确理解单位“1”是正确理解什么是分数的前提。教材中对分数的定义是这样阐述的：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。由此可见，不理解单位“1”，就不理解如何平均分份；更不理解几分之一或几分之几，因此，单位“1”是分数中最基本也是最重要的一个概念。单位“1”一般情况下，表示一个事物的整体。如：世界的人口数，一个国家的面积，一个县播种小麦的亩数，一段路程，一个果园果树的棵数，一个工厂产品的总产量，一堆煤的重量等，都可以作为单位“1”，也就是把整体看作“1”。但是，整体与部分是相对的，它们之间在一定条件下也是可以相互转化的。当部分转化为整体时，单位“1”也可以表示原来的这个部分。如世界人口是50亿，是个整体，中国人口是11亿，只是它的一部分，当说到北京市人口占全国人口的一百分之一时，中国人口数又成为整体，当说到某区人口是全市人口的十分之一时，全市人口又成了整体等。在这些不同情况下，部分转化为整体时，都可以用单位“1”来表示。例如：（1）我国土地面积约960万平方千米；（2）某县的土地面积约8万平方千米；（3）红星小学全校有学生900人；（4）五一班有学生42人；（5）第二学习小组有学生8人；（6）这条公路全长4800米；（7）一根电线全长8.5米；（8）一堆煤重3.2吨。 单位“1”包含的数量可以很大，也可以很小。大到有限数的任何事物，都可以看作单位“1”；小到可分事物的某一部分，也可以看作单位“1”。但是，无限多的事物不能看作单位“1”，因为无限多的事物是不可分的。在分数应用题中，单位“1”又是解题的关键。如：解这道题，要求没修的是多少米，必须知道全长多少米和修了多少米。题目中全长480米已知，未知条件是修了多少米。要求修了多少米，根据题目中如果换一种思路进行分析：要求没修的是多少米，必须先知道没修的米数是全长的几分之几，然后按求一个数的几分之几是多少的方法解答，关键的问综上所述，无论是在分数的基础知识中，还是在解答分数应用题的过程里，单位“1”都是处于前提和关键的位置。因此，单位“1”在分数的教与学中，是一个非常重要的概念。186.什么是分数的基本计数单位？任何计量都要有单位，长度单位有：毫米、厘米、分米、米、千米等；而重量单位有：毫克、克、千克、吨等。具体到“数”，同样也是有单位的。自然数的计数单位是1，任何一个自然数都是若干个1组成的。例如：8是由八个1组成的；73是由七十三个1组成的。分数也有分数的计数单位，或称分数单位。根据分数的定义，把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数（几分之一）就是原来这个分数的分数单位。一个分数，它的分数单位是有个数的。如图：分数单位是由单位“1”平均分成份数（分母）所决定的，所表示的份数（分子）是表示有几个的分数单位。由此可以说明，不同分母的分数，其分数单位也是不同的。如果分母用所以，自然数的计数单位与分数计数单位是不一样的，自然数的计数单位永远是1，这是不变的；而分数的计数单位则不是固定不变的，它是随着分数的分母不同而变化的。分母不同，分数单位也不同，分母是几，分数单位就是几分之一，分母越大，分数单位就越小；反之，分母越小，分数单位则越大。明确什么是分数单位和分数单位的大小，在学习分数大小比较、分数加、减法时，都是不可缺少的基础知识。186.什么是分数的基本计数单位？任何计量都要有单位，长度单位有：毫米、厘米、分米、米、千米等；而重量单位有：毫克、克、千克、吨等。具体到“数”，同样也是有单位的。自然数的计数单位是1，任何一个自然数都是若干个1组成的。例如：8是由八个1组成的；73是由七十三个1组成的。分数也有分数的计数单位，或称分数单位。根据分数的定义，把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数（几分之一）就是原来这个分数的分数单位。一个分数，它的分数单位是有个数的。如图：分数单位是由单位“1”平均分成份数（分母）所决定的，所表示的份数（分子）是表示有几个的分数单位。由此可以说明，不同分母的分数，其分数单位也是不同的。如果分母用所以，自然数的计数单位与分数计数单位是不一样的，自然数的计数单位永远是1，这是不变的；而分数的计数单位则不是固定不变的，它是随着分数的分母不同而变化的。分母不同，分数单位也不同，分母是几，分数单位就是几分之一，分母越大，分数单位就越小；反之，分母越小，分数单位则越大。明确什么是分数单位和分数单位的大小，在学习分数大小比较、分数加、减法时，都是不可缺少的基础知识。187.分数和整数除法的关系是什么？在教材中，学生是在学习整数的基础上，先学习小数而后学习分数的。如果把小数划入十进分数的范围，那么分数是小学数学的第二个主要阶段，也是数的一次重要扩展。从整数到分数中间有着密切的联系，特点是分数基本概念的建立，都用到整数除法的知识。例如：在整数范围内，当两个自然数相除不能整除时，由于商无法表示，而不能计算，进入分数领域，这种情况将是不存在的。因为任何除法算式，都可以用分数来表示它们的商。即使在整数范围内，被除数小于除数这种无法计算的情况，用分数表示也不存在任何问题。分数与整数除法的关系，下图可以揭示：在分数中，分子相当于除法算式中的被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，分数值相当于商。还应该看到，分数并不等于除法，两者还有着区别，这就是：分数是一种数，而除法是一种数与数之间的运算。在上述关系的基础上，分数和整数除法的联系，还表现在分数的基本性质上。分数的基本性质是：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。这个基本性质来源于整数除法中商不变的性质，即：被除数与除数同时乘以或者除以相同的数（零除外），商不变。除此之外，根据分数与整数除法的关系，假分数可以化为带分数，分子（被除数）除以分母（除数），所得的商即为带分数的整数部分，余数为分子，原来的分母不变。将分数化为小数，或把繁分数化简，也都是依据分数与除法的关系。至于在分数中分母不能是零的道理，只要沟通分数与除法的关系，即：除法中除数不能是零，分数中分母自然不能是零。总之，在分数教与学中，只要在分数与除法间建立起自然的联系和迁移，温故而知新，许多属于算理的问题，都是比较容易得到解决的。188.“就是一半”这句话对吗？ 中的单位“1”不仅表示自然数的一个基本计数单位，也表示一切可分的事物。如：一堆苹果的个数、一个班的人数、一堆煤的吨数、一套丛书的册数、一本书的页数等，单位“1”既可表示整体，也可以表示整体的一部分。，一半也就不知道是谁的一半了。按后者说法，其结果很容易引起误解，因不是4个苹果，而是半个苹果。这与原来题意就相距太远了。这句话是不严密的，也是不妥当的。189为什么有的分数能够化成有限小数，有的能够化成纯循环小数或混循环小数？把一个分数化成小数，有三种情况：即：有限小数、纯循环小数和混循环小数。至于什么样的分数化成什么样的小数，确有规律可循，这个规律可通过下面各样分数化小数的实例来观察：从上面分数化小数的三种情况看，什么样的分数化什么样小数，关键不在分子，而在分母。因此，在分数化小数时，要观察分母的特点，其规律是：（1）分母只含有质因数2和5，这样的分数就可以化成有限小数。如（2）分母里只含有2和5以外的质因数，这样的分数就可以化成纯循（3）分母里既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，这样有了上面这个规律，不需要通过计算，就能判断出一个最简分数能化成什么样的小数。例如：掌握了分数化有限小数的规律，可以把常见分数化小数的数据汇集成表，并且能熟练地背诵下来，这对于提高互化的准确度和速度，都是非常有益的。常见的分数与有限小数互化表对于分数化纯循环小数或混循环小数，按照上述规律，可以事前根据分数的分母特点，提早做出判断。190为什么分数不能化成无限不循环小数？在不同的情况下，一个分数可以化成有限小数或者无限循环小数（包括纯循环小数和混循环小数），但是不能化成无限不循环小数。用分子除以分母（7），其余数必定小于分母，每次的余数只能是从1到6之间的一个自然数（如果余数是0，这个分数就能化成有限小数）；或者说，除数是7，余数只能是1、2、3、4、5、6这六个数。如果在除的过程中，有一个余数重复出现一次，那么后面所得的商与余数，也必定要重复出现。也就是说，余数一重复出现，商的相应数位上的数字也重复出现，循环就开始了，所得的商当然是循环小数。原来这个分数化成的是纯循环小数。根据上述分析可以得出，当一个分数化成无限小数时，只能得到循环小数，而不可能化成无限不循环小数。分数虽然不能化成无限不循环小数，但在数学中无限不循环小数还是有的，如圆周率值就是一个无限不循环的小数。=3.14159265358979323846无限不循环小数在数学上叫做无理数。191怎样把纯循环小数化成分数？在小学数学课本中，分数与有限小数是可以互化的。分数可以化成纯循环小数，但纯循环小数化成分数，并没有涉及。事实上，两者也是可以互化的，比起有限小数化成分数，纯循环小数化成分数的方法要稍难一些。例如：有限小数化成分数。只要根据小数的最低位是什么数位，用10、100、1000等做分母，就可以直接化成分数，不是最简分数的，要约成最简分数。把纯循环小数化成分数，并不象有限小数那样，用10、100、1000等做分母，而要用9、99、999等这样的数做分母，其中“9”的个数等于一个循环节数字的个数；一个循环节的数字所组成的数，就是这个分数的分子。这样，前面的四例可以得到证明。即：192怎样把混循环小数化成分数？分数既然能化成混循环小数，同样，混循环小数也能化成分数。这种化的方法，比起纯循环小数化成分数的方法，就显得更为复杂一些。混循环小数化成分数的方法是：用第二个循环节以前的小数部分所组成的数，减去不循环部分所得的差，以这个差作为分数的分子；分母的前几位数字是9，末几位数字为0；9的个数与一个循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。箭头所指是说明：循环节有一位写一个9，不循环部分有一位写一个0。箭头所指说明：循环节有两位写两个9，不循环部分有一位写一个0。箭头所指说明：循环节有两位写两个9，不循环部分有两位写两个0。这种化的方法，比纯循环小数化成分数明显要复杂，但究其算理，仍依据纯小数化成分数的方法。即：先把混循环小数化成纯循环小数的形式，然后再化成分数。上面三个例题通过推导，都可以得到证明。 推导结果与例（3）的中间脱式一致。由此可见，采用先扩大后缩小相同倍数的方法，根据纯循环小数化成分数的方法，证明混循环小数化成分数的方法是完全成立的。193为什么分子相同的分数，分母大的分数比较小？在小学数学课本中，涉及到分数大小比较时，经常遇到分子相同的分数进行比较。结论是：分子相同的两个分数，分母小的分数比较大。反过来说，分子相同的两个分数，分母大的分数比较小。由于受到整数或小数大小比较的影响，学生在理解这个结论时，有时会在算理上表现出困惑。解决这种困惑，要从直观和分数单位两方面入手：从圆形图和线段图中观察，凡是分子相同的分数，分母大的分数比较小。这个结论在直观上是能够接受的，但这并非全部的算理。因此，除直观外，还要从分数单位这个角度上进行具体的阐述。根据分数的意义，把单位“1”平均分成若干份，所分的份数是分母，表示取出的份数是分子，既然两个分数的分子相同，说明它们含有各自的分数单位个数是相同的，这时它们的大小就取决于分数单位的大小；而分数单位的大小又取决于分母，分母越大，分数单位就越小。所以，分子相同的分数，分母大的分数比较小。194什么是分数的相等和分数的不等？分数的相等是指两个分数的分数值一样。其定义是：如果第一个分数的分子与第二个分数的分母的积，等于第二个分数的分子与第一个分数的分母的积，那么，这两个分数就相等。分数的不等是指两个分数的分数值不一样。其定义是：如果第一个分数的分子与第二个分数的分母的积，大于（或小于）第二个分数的分子与第一个分数的分母的积，那么，第一个分数就大于（或小于）第二个分数。这两个分数就是不等的。195有什么简便方法，来比较异分母分数的大小？异分母分数由于分数单位不一致，在比较大小时，一般使用的方法，都是先进行通分，使异分母分数转化成同分母分数，有了相同的分数单位；然后再比较大小。除上述这一般方法外，还有一种较为简便的方法，即：异分母分数大小比较时，不必通分，只要把两个分数的分子、分母交叉相乘，根据这两个乘积进行比较就行了。用第一个分数的分子（5）去乘第二个分数的分母（10），所得的积是510=50；再用第二个分数的分子（7）去乘第一个分数的分母（9），所得的积是79=63。为什么这种简便方法也能比较异分母分数的大小呢？其算理与一般方法先通分后比较是一样的，只不过是省略了通分的过程。两个分数的分子、分母交叉相乘，所得的积是在取得公分母情况下的各自的分子，分数单位既已一致，分子的大小就可以比较出分数的大小。但在这比较过程中，省略了通分，也就看不到公分母了。按一般方法先通分：196同分母分数相加时，为什么原来的分母不变？ 同分母分数的加法法则是：分子相加的和作分子，原来的分母不变。原来的分母不变的道理，在于分母是把单位“1”平均分成若干份的数，它决定了这个分数的分数单位，只表示每一份的大小，而不表示所取份数的多少；分子表示取了多少份的数，也就是有多少个分数单位。因此，同分母分数相加，由于是同分母，其分数单位也必然相同，相加的实质是几个相同分数单位的相加，只是分子的相加，而分母是不能变的。 如果两个分母5也相加，那么分母就变成了10，这就表示把单位“1”下面线段图，可以说明一旦分母也相加所造成的错误结果。197为什么在计算异分母分数加、减法时，要先通分？在进行整数加、减法计算时，对不同计量单位的各个数量，都不能直接进行加、减，必须化成相同单位的量，才能直接进行计算。如：4公顷-30亩=4公顷-2公顷=2公顷或：4公顷-30亩=60亩-30亩=30亩在整数中是这个道理，所以在计算异分母分数加、减法时，要先通分，其理由与上述道理也类似。由于异分母分数的分母不同，因而它们的分数单位也不一样。要直接进行加或减，必须把不同分母的分数转化成同分母分数，才能使分数单位一样，完成这个转化的手段就是通分。进行计算。从上图可以看到，在进行异分母分数加法时，不经过通分，就无法使不同分数单位的分数转化成相同分数单位的分数。减法也是同样的道理。198有没有比较简便的方法来确定最小的公分母？在进行异分母分数加、减法时，必须先通分，使异分母分数转化成同分母分数，然后才能直接计算。通分首先要确定异分母分数的公分母，由于数是无限多的，因此公分母也是无限多的。只有确定最小公分母，才能使计算的过程变得简便。确定最小公分母就是求最小公倍数的应用，通常使用的比较简便的方法有以下几种：（1）当大分母是小分母的倍数时，大分母就是最小公分母。15是5的倍数，最小公分母为15。24是8的倍数，最小公分母为24。（2）当几个分母是互质数时，这几个分母的乘积就是它们的最小公分母。7和5是互质数，最小公分母为（75=）35。3、5、7两两互质，最小公分母为（357=）105。（3）当几个分母有公约数时，这几个分母的最小公倍数，就是它们的最小公分母。8和12的最小公倍数是24，24就是最小公分母。由于在实际计算异分母加、减法时，分母都不会太大，可以通过对分母的观察，采用大分母翻倍法来确定最小公分母。所谓的大分母翻倍法，就是当几个分母有公约数时，不采用求最小公倍数的方法，而是把大分母扩大2倍、3倍、4倍、5倍、。如果所得的结果是小分母的倍数时，这个结果就是最小公分母。上述确定最小公分母的过程，不要求书写出来，它只是口算过程的表述。由于运用口算可以简化通分的程序，从而使确定最小公分母变得简便，也使异分母分数加、减法的准确计算提高了速度。199为什么分数乘以分数时，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母？在分数乘法中，一般分为三种情况：分数乘以整数、整数乘以分数和分数乘以分数。前两种法则是：整数与分子相乘的积作分子，原来的分母不变。后一种的法则是：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。实际上前两种法则与后一种法则是一致的，只要统一成分数乘以分数的法则就可以了。由于任何整数都可以写成分母是1的假分数，所以任何整数与分数相乘都可以转化成分数乘以分数的形式。至于分子相乘的积作分子，分母相乘的均分成3份，两次均分成15份，根据所分的份数是分母的意义，分母为（53=）15；原来取的4份又均分成2份，这样就变成了8份，分子则为（42=）8，这8份是15份中的8份。由此可见，分数乘以分数的计算法则，是由分数乘法的意义，即：求一个数的几分之几是多少来决定的。其中分母相乘的积作分母，表示单位“1”一共平均分成的份数；分子相乘的积作分子，表示一共取出的份数。200计算分数除法时，为什么要将除数的分子分母颠倒后用乘法计算？分数除法的计算法则是：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。或者说，被除数不变，除数颠倒变乘。这个算理在“教”与“学”中都是重点和难点。正确地弄清这个算理，可以从以下五方面的任何一个方面入手。（1）从分数除法的原始法则进行分析：分数乘法的法则是：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。根据乘、除法的关系，分数除法的原始法则是：分子相除的商作分子，分母相除的商作分母。使用这种法则的局限性很大，因为无论是分子相除，还是分母相除，都能整除的情况是很少的，如果不能整除，其结果就会出现繁分数的情况，这就使计算结果变得更为复杂。根据除法中商变化的规律，被除数分子缩小几倍，商（分数值）也缩小相同倍数，要保证商缩小相应的倍数，不采用被除数缩小而采用除数扩大的方法，也同样达到被除数缩小的作用。除数缩小几倍，商反而扩大相同倍数，如果除数不缩小几倍，被除数扩大相应的倍数，商所起的变化也是一致的。除法有不能整除的情况，但换成乘法却没有乘不开的时候。为此，被除数不变，除数一定要颠倒变乘。就可以顺利地进行计算。（2）从分数除法的意义来分析：分数除法的意义是：已知一个数的几分之几是多少，求这个数。以下题为例：s从图示中看出，这本书分成4等份，其中的3份是60页，求4份是多少页。按照“归一”应用题的思路，可以得出下列算式：1份是多少页？603=20（页）4份是多少页？204=80（页）所以，示的意思也是一样的，先求1份是多少页，再求4份是多少页。由此可以说明除数颠倒变乘的道理。（3）从分数的基本性质来分析：根据分数的基本性质，分数的分子和分母都乘以相同的数（零除外）分数的大小不变；按照分数除法的原始法则，为了使分子和分母都能整除，可以用除数中分子与分母的相乘积，分别去乘被除数的分子和分母。从脱式中可见，式分子部分的3与3可以消掉；分母部分的4与4也可以消掉，式转化成式，再转化成式，从而证明式等于式。这也可以说明除数颠倒变乘的道理。（4）从求一个数的几分之几用乘法来分析：可通过以下两道例题的解法做个比较。有20米布，平均分成5份，每一份是几米？205=4（米）第题是整数除法，第题是分数乘法，这两道题所表述的意义却是一样的，都是把20米布平均分成5份，求一份是多少，其结果也是一样的。一个分数，可将这个分数的分子、分母颠倒位置后，用乘法计算。（5）从“互为倒数的两个分数相乘等于1”来分析：按照乘法的交换律可以得出：从以上五个方面进行分析，分数除法与分数乘法在一定条件下是可以互相转化的，这也是分数除法法则中，被除数不变而除数颠倒变乘的算理。201为什么分数除以整数时，整数只乘分母而不乘分子？在分数乘法中，遇到分数乘以整数时，法则规定是只乘分子而不乘分母。按照乘、除法之间的关系，分数除以整数时，也应该只除分子而不除分母，这个法则本身是成立的。明，只除分子而不除分母是完全可以的。但是，在实际计算中，用上述方法常常遇到整数除分子不能整除，甚至不能除尽的情况，这就给计算留下一个并不明确的结果。其结果为繁分数，繁分数本身又是分数除法，这样只能是越算过程越繁琐。由于受到“分子除以整数一定能整除”这个条件的限制，所以，分子除以整数的方法，就不能应用，如果改用只乘分母的方法，不仅可以得到分子除以整数的同样结果，而且在任何情况下这种方法都可以使用。这样，既解决了分子除以整数不能整除的矛盾，同时也能较简便地得出结果。至于只乘分母不乘分子的道理，可从以下几方面进行分析：来的数没有任何改变，剩下的只是分母与整数相乘了。被除数（分子）不变，除数（分母）扩大3倍，商不是反而缩小3倍吗？从这个意义上讲，分子缩小几倍与分母扩大相同的倍数，所引起商的变化是一致的。 小5倍再缩小3倍，也就是等于把4缩小（53=）15倍。根据这个推理和转化，原算式则为：从以上三方面的分析，都可以说明：为什么分数除以整数时，只乘分母而不乘分子的道理。202在分数、小数混合运算中，为什么有时把分数化成小数，而有时又把小数化成分数？在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。如果把小数化成分数，运算过程则为：从对比中可以看到：在加、减法中，如果分数化成小数，其计算要点只是小数点对齐，而省去了小数化成分数后，中间需要通分的过程，最后的结果，小数没有约分的要求，而分数有时还要约分。不过，在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。因为带着循环小数进行运算，不可能得到精确的结果。因此在这种情况下，小数又只能化成分数了。正确的结果就有了一定的误差。在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。这是因为化成分数后，中间的过程可以约分，经过约分后，数字也变小，这样既提高了准确性，也提高了计算的速度。此题的分数如化成小数，其过程将是这样的：从形式上看，分数化成小数并不繁琐，实际计算时，有时需要大乘、大除，运用口算是难以完成的，并且计算过程中易于出错。小数化成分数，其过程基本上都是在口算中进行的，所以，在实际计算时要简便得多。上述只是一般情况，有些特殊情况，小数也不一定必须化成分数，这就是小数和分母能直接约分时，小数不用化成分数，而看作整数直接进行约分，但必须注意：小数点一定要保持原来的位置。通过以上各种情况的分析，在分数、小数四则混合运算中，要根据具体情况，灵活地选择互化的方法，以达到运算简便，结果正确的目的。203在分数四则运算中，经常出现的错误有哪些？在分数四则运算中，基础知识稍有缺欠，就会造成运算过程中的错误，从而导致计算结果的严重误差，这对个别学生来说，则形成了久治不愈的顽症。造成这种现象的原因，主要是单项计算不过关。一般来讲，其原因及形式有以下几个方面：（1）概念不清：这反映出对带分数的概念是不清楚的，带分数是自然数与真分数的和的一种来，从而导致了上述错误。（2）法则混淆：运算是凭借法则来进行的，法则一旦发生混淆，是产生错误的普遍性原因。在分数乘、除法中，表现尤为突出。这两道题的结果都是错的，造成错的原因都是法则上的混淆。上题是分数乘以整数，法则是：分子与整数相乘，分母不变； 下题是分数除以整数，法则是：分母与整数相乘，分子不变，从脱式的过程看，这两个法则在运用上都颠倒了。分数除法是将除数的分子、分母颠倒后相乘，结果是一看到第一个运算符号是除号，立即把后面的两个分数的分子、分母都颠倒了，造成了分数乘、除法法则的混淆。（3）粗心大意：由于学习作风的马虎和对计算结果缺乏认真负责的良好品质，出现这类错误也是各式各样的。如：抄错运算符号和数字。计算结果的错误则是必然的了。又如：约分的错误。在42的下面没写6而写成了7。或者分子25和分母15约分时，口中默念三五十五，却在15的下面写了5。这种约分的错误，不仅表现在运算过程中，也表现在最后得数上，不是约分约错，就是该约分而没约分。再如：不等式的错误。第一步脱式就把最后一个数丢掉了，就出现了不等式，在第二步脱式时，除上述三方面的经常性错误外，还有由于基本口算不过关、不注意运算顺序和简便运算的因素等原因所造成的错误。这些错误的出现一般也有规律性，即：数字较大的运算、相近法则的运算、小数和分数的运算、过程复杂的运算等内容，都易于发生上述几方面的错误。因此，在端正学习态度的前提下，针对易于出现的错误，采取预防措施，以减少计算错误的发生。204什么是繁分数和繁分数的化简？在一个分数的分子和分母里，至少有一个又含有分数，这样形式的分数，叫做繁分数。繁分数中，把分子部分和分母部分分开的那条分数线，叫做繁分数的主分数线（也叫主分线）。主分线比其他分数线要长一些，书写位置要取中。在运算过程中，主分线要对准等号。如果一个繁分数的分子部分和分母部分又是繁分数，我们就把最长的那条主分线，叫做中主分线，依次向上为上一主分线，上二主分线；依次向下叫下一主分线，下二主分线；两端的叫末主分线。如：根据分数与除法的关系，分数除法的运算也可以写成繁分数的形式。把繁分数化为最简分数或整数的过程，叫做繁分数的化简。繁分数化简一般采用以下两种方法：（1）先找出中主分线，确定出分母部分和分子部分，然后这两部分分别进行计算，每部分的计算结果，能约分的要约分，最后写成“分子部分分母部分”的形式，再求出最后结果。此题也可改写成分数除法的运算式，再进行计算。（2）繁分数化简的另一种方法是：根据分数的基本性质，经繁分数的分子部分、分母部分同时扩大相同的倍数（这个倍数必须是分子部分与分母部分所有分母的最小公倍数），从而去掉分子部分和分母部分的分母，然后通过计算化为最简分数或整数。繁分数的分子部分和分母部分，有时也出现是小数的情况，如果分子部分与分母部分都是小数，可依据分数的基本性质，把它们都化成整数，然后再进行计算。如果是分数和小数混合出现的形式，可按照分数、小数四则混合运算的方法进行处理。即：把小数化成分数，或把分数化成小数，再进行化简。205什么叫百分数、百分比、百分率和百分法？表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数是分数的一种特殊形式，也可以说，分母是100的分数叫做百分数。在工农业生产和科学研究工作中，人们经常要收集有关数据，以便进行必要的数量统计、数量比较、质量分析和效果检查等各项工作。如果用一般分数形式来表示，由于分母不同，不容易看出精确的变化，而百分数的分母都是100，只要看分子，就能看出数与数之间的明显差别与变化。因此，百分数在各行各业的生产和生活中，都有着广泛的应用。如：（1）家俱厂通过深化改革，今年产量是去年产量的128。（2）王新全家在调整工资后，收入比以前增加了25。（3）某县由于计划生育取得成效，今年出生率比去年下降了2。把两个数的比的后项化成100，就叫做百分比。如：拖拉机厂四月份生产拖拉机225台，五月份生产250台。四、五两月生产台数的百分比是225250=90100。用100作分母表示成数时，所表示的成数叫做百分率。如：（1）水稻去年亩产比前年亩产增产了二成。这二成就是成数，一成表示十分之一，二成则表示十分之二，也就是20。（2）某工厂上半年完成了全年计划的六成三。这里的六成三用小数表示是0.63，用百分率表示是63。百分数、百分比、百分率这三个概念，尽管在不同范围和情况下，表述上略有不同，但所表示的意思却是一致的。用百分率表示事物的数量关系和计算方法，叫做百分法。或者说，求百分率以及应用百分数解决实际问题的方法，叫做百分法。如：（1）六年级（一）班有学生 50人，今天出勤 48人，求出勤人数是应出勤人数的百分之几？485