2018年高考数学二轮复习考前专题二函数与导数第.doc

第3讲导数及其应用1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点2利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型3导数与函数零点，不等式的结合常作为高考压轴题出现热点一导数的几何意义1函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同例1(1)(2017届山东寿光现代中学月考)过点(0,1)且与曲线y在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为()A2xy10 B2xy10Cx2y20 Dx2y20答案B解析因为y，故切线的斜率k，即所求直线的斜率k2，方程为y12(x0)，即2xy10.故选B.(2)(2017届成都一诊)已知曲线C1：y2tx(y0，t0)在点M处的切线与曲线C2：yex11也相切，则tln 的值为()A4e2B8eC2 D8答案D解析曲线C1：y，y .当x时，y，切线方程为y2，化简为yx1.与曲线C2相切，设切点为(x0，y0)，y|e，x0ln 1，那么y0e11，切线方程为y，化简为yxln 1，是同一方程，所以ln 11ln ，即t4，那么tln 4ln e28，故选D.思维升华(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解跟踪演练1(1)(2017届河北省正定中学期中)已知函数f(x)3xcos 2xsin 2x，af，f(x)是f(x)的导函数，则过曲线yx3上一点P(a，b)的切线方程为_答案3xy20或3x4y10 解析f(x)32sin 2x2cos 2x，f321，则a1，点P的坐标为，若P为切点，y3x2，曲线yx3在点P处切线的斜率为3，切线方程为y13(x1)，即 3xy20；若P不为切点，设曲线yx3的切线的切点为(m，n)，曲线yx3的切线的斜率k3m2，则3m2.又nm3，则m，n，得切线方程为y，即3x4y10.过曲线yx3上一点P(a，b)的切线方程为3xy20或3x4y10.(2)(2017届云南省师范大学附属中学月考)若函数f(x)ln x与函数g(x)x22xa(x0)，则切线方程为yln x1(xx1)设公切线与函数g(x)x22xa切于点B(x2，x2x2a)(x20)，则切线方程为y(x2x2a)2(x21)(xx2)，x20x1，02.又aln x121ln 21，令t，0t2，at2tln t.设h(t)t2tln t(0t2)，则h(t)t1h(2)ln 21ln ，a(ln，)，故选A.热点二利用导数研究函数的单调性1f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.2f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性例2(2017届河南息县第一高级中学段测)已知函数f(x)x2aln x.(1)当a2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若g(x)f(x)，在1，)上是单调函数，求实数a的取值范围解(1)f(x)2x，令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x0或f(x)0在上有解，即amin.又g(x)在上是单调递增函数，所以g(x)g2，所以a2.故选D.(2)定义在上的函数f(x)，f(x)是它的导函数，且恒有f(x)fBf(1)fD.f0，x，从而有F(x)在上为增函数，所以有FF，即f0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值2设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得例3(2017届云南大理州统测)设函数G(x)xln x(1x)ln(1x)(1)求G(x)的最小值；(2)记G(x)的最小值为c，已知函数f(x)2aexc2(a1)(a0)，若对于任意的x(0，)，恒有f(x)0成立，求实数a的取值范围解(1)由已知得0x1，G(x)ln xln(1x)ln .令G(x)0，得0x0，得x0，所以g(x)在(0，)上单调递增，因为g(0)(a1)，且当x时，g(x)0，所以存在x0(0，)，使g(x0)0，且f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增因为g(x0)axe(a1)0，所以axea1，即ae，因为对于任意的x(0，)，恒有f(x)0成立，所以f(x)minf(x0)ae2(a1)0，所以2(a1)0，即20，即2xx010，所以x01.因为axea1，所以xe1.又x00，所以0x01，从而xee，所以10，即k时，设x1，x2是方程2x2xk10的两个实根，且x1x2，由x1x2可知，x10，由题设可知，当且仅当x20，即x1x20，即k10，即k1时，对任意的x0，)有h(x)0，即g(x)0在0，)上恒成立，g(x)在0，)上单调递增，g(x)g(0)0，当1k0，因此函数f(x)在0,1上单调递增，所以当x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a成立，令h(x)，则要使ah(x)在x1,2能成立，只需使ah(x)min，又函数h(x)在x1,2上单调递减，所以h(x)minh(2)，故只需a.A组专题通关1(2017届河北省衡水中学六调)已知函数f(x)x2sin xxcos x，则其导函数f(x)的图象大致是()答案C解析f(x)x2sin xxcos x，f(x)x2cos xcos x, f(x)(x)2cos(x)cos(x)x2cos xcos xf(x)，其导函数f(x) 为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B，又f(0)1，排除D，故选C.2(2017届山西省怀仁县第一中学期末)已知aR，函数f(x)exaex的导函数是f(x)，且f(x)是奇函数，若曲线yf(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为()Aln 2 Bln 2C. D答案A解析对f(x)exaex求导，得f(x)exaex.又f(x)是奇函数，故f(0)1a0，解得a1，故有f(x)exex，设切点为(x0，y0)，则f(x0)ee，得e2或e(舍去)，得x0ln 2，故选A.3(2017届内蒙古包头市十校联考)已知函数F(x)xf(x)，f(x)满足f(x)f(x)，且当x(，0时，f(x)bc BcabCcba Dacb答案C解析F(x)(x)f(x)xf(x)F(x)，即函数F(x)是奇函数，并且当x(，0时，f(x)1,0ln 2ln 2log2，所以ab3 Ba Da0，a0.又当a0时，0eax1，要使aeax3，则a0,2xln x0，所以u(x) 在x上单调递增；当x(1,2)时，1x0，则u(x)0，所以u(x)在上单调递减故当x1时，函数u(x)在区间上取得最大值u(1)1 ，所以a1，即实数a的取值范围是1，) ，故选A.6.(2017届重庆市第一中学月考)已知直线xy10与曲线yln xa相切，则a的值为_.答案2解析yln xa的导数为y，设切点P(x0，y0)，则y0x01，y0ln x0a.又切线方程xy10的斜率为1，即1，解得x01，则y02，ay0ln x02.7(2017届辽宁省沈阳市郊联体期末)f(x)x3x2ax1，已知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为_答案解析原题等价于方程f(x)30有两个大于零的实数根因为f(x)x3x2ax1，所以f(x)2x22xa，所以f(x)30，即2x22xa30，设g(x)2x22xa3，要使方程g(x)0有两个大于零的实数根需要满足即解得3a2或a0，即a22a0，解得a2.9(2017届西安模拟)定义1：若函数f(x)在区间D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数，记作f(x)，即f(x)f(x).定义2：若函数f(x)在区间D上的二阶导数为正，即f(x)0恒成立，则称函数f(x)在区间D上是凹函数已知函数f(x)x3x21在区间D上为凹函数，则x的取值范围是_答案解析f(x)3x23x，f(x)6x3，令f(x)0，得x.10已知函数f(x).(1)若f(x)在区间(，2)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若a0，x01，设直线yg(x)为函数f(x)的图象在xx0处的切线，求证：f(x)g(x)(1)解易得f(x)，由已知f(x)0对x(，2)恒成立，故x1a对x(，2)恒成立，1a2，a1.(2)证明若a0，则f(x).函数f(x)的图象在xx0处的切线方程为yg(x)f(x0)(xx0)f(x0)令h(x)f(x)g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，xR，则h(x)f(x)f(x0).设(x)(1x)e(1x0)ex，xR，则(x)e(1x0)ex，x01，(x)0，(x)在R上单调递减，又(x0)0，当x0，当xx0时，(x)0，当x0，当xx0时，h(x)0；2f(x)xf(x)3f(x)，其中f(x)为f(x)的导函数，则()A.B. C. D. 答案D解析令g(x)，x(0，)，g(x)，x(0，)，2f(x)xf(x)0，g(x)0，函数g(x)在x(0，)上单调递增，g(1)g(2)，即4f(1)f(2)，.令h(x)，x(0，)，h(x)，x(0，)，2f(x)xf(x)3f(x)，h(x)h(2)，即f(1)，故选D.12(2017届湖南长沙雅礼中学月考)已知实数a，b满足2a25ln ab0，cR，则的最小值为()A.B.C.D.答案C解析用x代换a，用y代换b，则x，y满足2x25ln xy0，即y2x25ln x，以x代换c，可得点(x，x)，满足xy0，所以求解的最小值即为求解曲线y2x25ln x上的点到直线xy0的距离的最小值，设直线xym0与曲线y2x25ln x相切于点P(x0，y0)，则f(x)4x，则f(x0)4x01，解得x01，所以切点P(1,2)，所以点P到直线xy0的距离为d，故选C.13已知函数f(x)ax2(2a1)x2ln x(aR)(1)若曲线yf(x)在x1和x3处的切线互相平行，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)x22x，若对任意x1(0,2，均存在x2(0,2，使得f(x1)0)当a0时，x0，ax10；在区间(2，)上，f(x)0，故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，)当0a0；在区间上，f(x)时，00；在区间上，f(x)0，故