2018版高中数学第一章三角函数1.1.1任意角导学案新人教A版必修.doc

1.1.1任意角学习目标1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.知识点一角的相关概念思考1用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？答案角的构成要素有始边、顶点、终边.思考2将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？答案有顺时针和逆时针两种旋转方向.思考3如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？答案不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角. 梳理(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置 OA旋转到另一个位置OB所成的图形.点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角的始边和终边. (2)按照角的旋转方向，分为如下三类：类型定义正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角知识点二象限角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？答案终边可能落在坐标轴上或四个象限内.梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.象限角：终边在第几象限就是第几象限角；轴线角：终边落在坐标轴上的角.知识点三终边相同的角思考1假设60的终边是OB，那么660，420的终边与60的终边有什么关系，它们与60分别相差多少？答案它们的终边相同.660602360，42060360，故它们与60分别相差了2个周角及1个周角.思考2如何表示与60终边相同的角？答案60k360(kZ).梳理终边相同角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.类型一任意角概念的理解例1(1)给出下列说法：锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；第二象限角是钝角；小于180的角是钝角、直角或锐角.其中正确说法的序号为 .(把正确说法的序号都写上)(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是 .答案(1)(2)120解析(1)锐角指大于0小于90的角，都是第一象限的角，所以对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180的角还有负角、零角，所以错误.(2)分针每分钟转6，由于顺时针旋转，所以20分钟转了120.反思与感悟解决此类问题要正确理解锐角、钝角、090角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.跟踪训练1写出下列说法所表示的角.(1)顺时针拧螺丝2圈；(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角.解(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为720.(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900.类型二象限角的判定例2在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.(1)150；(2)650；(3)95015.解(1)因为150360210，所以在0360范围内，与150角终边相同的角是210角，它是第三象限角.(2)因为650360290，所以在0360范围内，与650角终边相同的角是290角，它是第四象限角.(3)因为95015336012945，所以在0360范围内，与95015角终边相同的角是12945角，它是第二象限角.引申探究确定(nN*)的终边所在的象限.解一般地，要确定所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1，2，3，4，4n，标号为几的区域，就是根据所在第几象限时，的终边所落在的区域，如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出.反思与感悟判断象限角的步骤：(1)当0360时，直接写出结果；(2)当0或360时，将化为k360(kZ，0360)，转化为判断角所属的象限.跟踪训练2下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素写出来.(1)60；(2)21.解(1)60角是第一象限角，所有与60角终边相同的角的集合S|60k360，kZ，S中适合360720的元素是60(1)360300，60036060，601360420.(2)21角是第四象限角，所有与21角终边相同的角的集合S|21k360，kZ，S中适合360720的元素是21036021，211360339，212360699.类型三终边相同的角命题角度1求与已知角终边相同的角例3在与角10 030终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360，720)的角.解与10 030终边相同的角的一般形式为k36010 030(kZ)，(1)由360k36010 0300，得10 390k36010 030，解得k28，故所求的最大负角为50.(2)由0k36010 030360，得10 030k3609 670，解得k27，故所求的最小正角为310.(3)由360k36010 030720，得9 670k3609 310，解得k26，故所求的角为670.反思与感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.跟踪训练3写出与1 910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来.解由终边相同的角的表示知，与角1 910终边相同的角的集合为|k3601 910，kZ.720360，即720k3601 910360(kZ)，3k6(kZ)，故取k4，5，6.当k4时，43601 910470；当k5时，53601 910110；当k6时，63601 910250.命题角度2求终边在给定直线上的角的集合例4写出终边在直线yx上的角的集合.解终边在yx(x0)上的角的集合是S1|120k360，kZ；终边在yx(x0)上的角的集合是S2|300k360，kZ.因此，终边在直线yx上的角的集合是SS1S2|120k360，kZ|300k360，kZ，即S|1202k180，kZ|120(2k1)180，kZ|120n180，nZ.故终边在直线yx上的角的集合是S|120n180，nZ.反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x0和x0两种情况讨论，最后再进行合并.跟踪训练4写出终边在直线yx上的角的集合.解终边在yx(x0)上的角的集合是S1|30k360，kZ；终边在yx(x0)上的角的集合是S2|210k360，kZ.因此，终边在直线yx上的角的集合是SS1S2|30k360，kZ|210k360，kZ，即S|302k180，kZ|30(2k1)180，kZ|30n180，nZ.故终边在直线yx上的角的集合是S|30n180，nZ.类型四区域角的表示例5如图所示. (1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解(1)终边落在射线OA上的角的集合是|k360210，kZ.终边落在射线OB上的角的集合是|k360300，kZ.(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是|k360210k360300，kZ.反思与感悟解答此类题目应先在0360上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.跟踪训练5如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合. 解设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成.|k36030k360105，kZ.|k360210k360285，kZ.角的集合应当是集合与的并集，即S|k36030k360105，kZ|k360210k360285，kZ|2k180302k180105，kZ|(2k1)18030(2k1)180105，kZ|2k180302k180105或(2k1)18030(2k1)180105，kZ|n180300，解得k，故当k9时，240满足条件.8.如图，终边落在OA的位置上的角的集合是 ；终边落在OB的位置上，且在360360内的角的集合是 ；终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 .答案|120k360，kZ315，45|45k360120k360，kZ解析终边落在OA的位置上的角的集合是|120k360，kZ.终边落在OB的位置上的角的集合是|315k360，kZ，取k0，1得315，45.故终边落在OB的位置上，且在360360内的角的集合是315，45.终边落在阴影部分的角的集合是|45k360120k360，kZ.9.若k36045，kZ，则是第 象限角.答案一或三解析k36045，kZ，k18022.5，kZ.当k为偶数，即k2n，nZ时，n36022.5，nZ，为第一象限角；当k为奇数，即k2n1，nZ时，n360202.5，nZ，为第三象限角.综上，是第一或第三象限角.10.集合A|k9036，kZ，B|180180，则AB .答案126，36，54，144解析当k1时，126；当k0时，36；当k1时，54；当k2时，144.AB126，36，54，144.三、解答题11.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为 (0180)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求. 解0180，且k3601802k360270，kZ，则一定有k0，于是90135.又14n360(nZ)，从而90135，n，n4或5.当n4时，；当n5时，.12.已知角的终边在直线xy0上.(1)写出角的集合S；(2)写出集合S中适合不等式360720的元素.解(1)如图，直线xy0过原点，倾斜角为60，在0360范围内，终边落在射线OA上的角是60，终边落在射线OB上的角是240，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为S1|60k360，kZ，S2|240k360，kZ，所以，角的集合SS1S2|60k360，kZ|60180k360，kZ|602k180，kZ|60(2k1)180，kZ|60n180，nZ.(2)由于360720，即36060n180720，