2019版高考数学复习解析几何课时达标52抛物线.docx

第52讲 抛物线解密考纲对抛物线的定义、标准方程及几何性质的考查是常数，通常在选择题、填空题中单独考查或在解答题中与圆锥曲线综合考查一、选择题1(2018宁夏银川九中月考)已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点P(3，m)到焦点的距离为5，则抛物线方程为(B)Ay28xBy28xCy24xDy24x解析 设抛物线方程为y22px(p0)，则(3)5，p4，抛物线方程为y28x.故选B2(2018江西九江第一次统考)已知抛物线的方程为y22px(p0)，过抛物线上一点M(p，p)和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N，则|NF|FM|(C)A1B1C12D13解析 由题意知直线l的方程为y2，联立方程得N.所以|NF|p，|MF|pp，所以|NF|FM|12，故选C3已知抛物线C：y24x，顶点为O，动直线l：yk(x1)与抛物线C交于A，B两点，则(A)A5B5C4D4解析 设A，B，由已知得直线l过定点E(1,0)，因为E，A，B三点共线，所以y2y1，即(y1y2)y1y2，因为y1y2，所以y1y24，所以y1y25.4(2018吉林长春一模)过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为120的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则(A)ABCD解析 设抛物线的准线为l：x，|FB|m，|FA|n，过A，B两点向准线l作垂线AC，BD，由抛物线定义知|AC|FA|n，|BD|FB|m，过B作BEAC，E为垂足，则|AE|CE|AC|BD|AC|mn，|AB|FA|FB|nm.在RtABE中，BAE60，cos 60，即m3n.故.5已知点A(2,1)，抛物线y24x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|PF|最小，则点P的坐标为(D)A(2,1)B(1,1)CD解析 由抛物线定义知，|PF|等于P到准线x1的距离，当PA与准线垂直时|PA|PF|最小，P点的纵坐标为1，代入方程得x.6已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(D)ABC1D2解析 由题意知，抛物线的准线l：y1，过点A作AA1l于点A1，过点B作BB1l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1l于点M1，则|MM1|.因为6|AB|AF|BF|，所以|AA1|BB1|6,2|MM1|6，|MM1|3，故点M到x轴的距离d2，故选D二、填空题7(2018福建福州质检)过抛物线y22px(p0)的焦点作倾斜角为30的直线l与抛物线交于P，Q两点，分别过P，Q两点作PP1，QQ1垂直于抛物线的准线于P1，Q1，若|PQ|2，则四边形PP1Q1Q的面积是_1_.解析 由题意得四边形PP1Q1Q为直角梯形，|PP1|QQ1|PQ|2，|P1Q1|PQ|sin 301，S|P1Q1|1.8如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_2_米解析 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)由题意将点A(2，2)代入x22py，得p1，故x22y.设B(x，3)，代入x22y中，得x，故水面宽为2米9(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_6_.解析 依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2,0)，准线x2，因为点N在y轴上，M为FN的中点，所以点M的横坐标为1，所以|MF|1(2)3，|FN|2|MF|6.三、解答题10已知抛物线y24px(p0)的焦点为F，圆W：(xp)2y2p2的圆心到过点F的直线l的距离为p.(1)求直线l的斜率；(2)若直线l与抛物线交于A，B两点，WAB的面积为8，求抛物线的方程解析 (1)易知抛物线y24px(p0)的焦点为F(p,0)，依题意设直线l的方程为xmyp，因为W(p,0)，所以点W到直线l的距离为p，解得m，所以直线l的斜率为.(2)由(1)知直线l的方程为xyp，由于两条直线关于x轴对称，不妨取xyp，代入y24px中，得y24py4p20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24p，y1y24p2，所以|AB|16p，因为WAB的面积为8，所以p16p8，得p1，所以抛物线的方程为y24x.11已知抛物线y22px(p0)，过点C(2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程解析 (1)设l：xmy2，代入y22px中，得y22pmy4p0.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y22pm，y1y24p，所以x1x24.因为12，所以x1x2y1y212，即44p12，得p2，抛物线的方程为y24x.(2)(1)中(*)式可化为y24my80.y1y24m，y1y28.设AB的中点为M，则|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24，又|AB|y1y2|，由得(1m2)(16m232)(4m24)2，解得m23，m.所以直线l的方程为xy20或xy20.12(2017全国卷)已知抛物线：C：y22x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程解析 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2.由可得y22my40，则y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率与OB的斜率之积为1，所以OAOB.故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24.故圆心M的坐标为(m22，m)，圆M的半径r.由于圆M过点P(4，2)，因此0，即(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1