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课时分层作业(二十二)平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(建议用时:40分钟)学业达标练一、选择题1a(4,3),b(5,6),则3|a|24ab等于()A23B57C63D83D因为|a|2(4)23225,ab(4)5362,所以3|a|24ab3254(2)83.2已知向量a(1,n),b(1,n),若2ab与b垂直,则|a|等于()A1B C2D4C(2ab)b2ab|b|22(1n2)(1n2)n230,n23,|a|2.3设向量a与b的夹角为,a(2,1),a3b(5,4),则sin 等于() 【导学号:84352258】A. B.C. D.A设b(x,y),则a3b(23x,13y)(5,4),所以解得即b(1,1),所以cos ,所以sin .4若a(2,3),b(4,7),则a在b方向上的投影为()A. B.C. D.Aa在b方向上的投影为|a|cosa,b.5已知向量a(1,1),b(1,2),向量c满足(cb)a,(ca)b,则c等于() 【导学号:84352259】A(2,1) B(1,0)CD(0,1)A设向量c(x,y),则cb(x1,y2),ca(x1,y1),因为(cb)a,所以(cb)ax1(y2)xy10,因为(ca)b,所以,即2xy30.由解得所以c(2,1)二、填空题6已知向量a(1,2),向量b与a共线,且|b|4|a|,则b_.(4,8)或(4,8)因为ba,令ba(,2),又|b|4|a|,所以()2(2)216(14),故有216,解得4,所以b(4,8)或(4,8)7已知a(1,2),b(3,2),若kab与a3b垂直,则k的值为_19kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2),a3b(1,2)3(3,2)(10,4)又kab与a3b垂直,故(kab)(a3b)0,即(k3)10(2k2)(4)0,得k19.8如图246,在24的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量a,b,则向量ab,ab的夹角余弦值是_. 【导学号:84352260】图246不妨设每个小正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,则a(2,1),b(3,2),所以ab(5,1),ab(1,3),所以(ab)(ab)538,|ab|,|ab|,所以向量ab,ab的夹角余弦值为.三、解答题9已知向量a,b满足|a|,b(1,3),且(2ab)b.(1)求向量a的坐标(2)求向量a与b的夹角解(1)设a(x,y),因为|a|,则,又因为b(1,3),且(2ab)b,2ab2(x,y)(1,3)(2x1,2y3),所以(2x1,2y3)(1,3)2x1(2y3)(3)0,即x3y50,由解得或所以a(1,2)或a(2,1)(2)设向量a与b的夹角为,所以cos 或cos ,因为0,所以向量a与b的夹角.10在ABC中,(2,3),(1,k),若ABC是直角三角形,求k的值. 【导学号:84352261】解(2,3),(1,k),(1,k3)若A90,则213k0,k;若B90,则2(1)3(k3)0,k;若C90,则1(1)k(k3)0,k.综上,k的值为或或.冲A挑战练1角顶点在坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,点P在的终边上,点Q(3,4),且tan 2,则与夹角的余弦值为()A BC或 D或Ctan 2,可设P(x,2x),cos,当x0时,cos,当x0时,cos,.故选C.2已知在直角梯形ABCD中,ADBC,ADC90,AD2,BC1,P是腰DC上的动点,则|3|的最小值为() 【导学号:84352262】A3B5 C7D8B如图,以D为原点,DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,x)(0xa),则3(2,x)3(1,ax)(5,3a4x),所以|3|5.3如图247所示,已知点A(1,1),单位圆上半部分上的点B满足0,则向量的坐标为_图247根据题意可设B(cos ,sin )(0),(1,1),(cos ,sin )由0得sin cos 0,tan 1,所以,cos,sin,所以.4已知向量(2,2),(4,1),在x轴上存在一点P使有最小值,则点P的坐标是_. 【导学号:84352263】(3,0)设点P的坐标是(x,0),则(x2,2),(x4,1),所以(x2)(x4)2x26x10(x3)21,当x3时取得最小值,故点P的坐标为(3,0)5已知三个点A(2,1),B(3,2),D(1,4),(1)求证:ABAD;(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值. 【导学号:84352264】解(1)证明:A(2,1),B(3,2),D(1,4),(1,1),(3,3),又1(3)130,即ABAD.(2)解:,四边形ABC
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