2019版高考数学复习函数导数及其应用第11讲导数在研究函数中的应用学案.docx

第11讲导数在研究函数中的应用板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导：(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是常数函数考点2函数的极值与导数1函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，且f(a)0，而且在xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值；2函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，且f(b)0，而且在xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值考点3函数的最值与导数1函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值2求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值必会结论1若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在a，b内一定有最值2若函数f(x)在a，b内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值3若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx2ln x的单调减区间为(1,1)()(2)在函数yf(x)中，若f(x0)0，则xx0一定是函数yf(x)的极值()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()答案(1)(2)(3)(4)2课本改编函数yx2(x3)的单调递减区间是()A(，0) B(2，)C(0,2) D(2,2)答案C解析y3x26x，由y0，得0x2.3课本改编设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点答案D解析f(x)，x0，当x2时，f(x)0，f(x)是增函数；当0x2时，f(x)f(1)故选D.52017浙江高考函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()答案D解析观察导函数f(x)的图象可知，f(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增观察选项可知，排除A，C.如图所示，f(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x20，故选项D正确故选D.6课本改编函数f(x)x3x23x1的图象与x轴的交点个数是_答案3解析f(x)x22x3(x1)(x3)，函数在(，1)和(3，)上是增函数，在(1,3)上是减函数，由f(x)极小值f(3)100，f(x)极大值f(1)0，知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.板块二典例探究考向突破考向利用导数研究函数的单调性例12018大庆模拟已知函数f(x)aln xx2(a1)x3.(1)当a1时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)在区间(0，)上是增函数，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)ln x3，定义域为(0，)则f(x)x.由得0x1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)(2)因为函数f(x)在(0，)上是增函数，所以f(x)xa10在(0，)上恒成立，所以x2(a1)xa0，即(x1)(xa)0在(0，)上恒成立因为x10，所以xa0对x(0，)恒成立，所以a0.即实数a的取值范围是0，)若本例中的函数变为f(x)ex(ax22x2)(a0)试讨论f(x)的单调性解由题意得f(x)exax2(2a2)x(a0)，令f(x)0，解得x10，x2.(1)当0a1时，f(x)的单调递增区间为(，0)和，单调递减区间为；(2)当a1时，f(x)在(，)内单调递增；(3)当a1时，f(x)的单调递增区间为和(0，)，单调递减区间为.若本例中的函数变为f(x)(a1)ln xax21，aR，试讨论f(x)的单调性解f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.(1)当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增(2)当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减(3)当0a1时，令f(x)0，解得x，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0，故f(x)在上单调递减，在上单调递增触类旁通讨论函数单调性的方法(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数【变式训练1】(1)若函数f(x)x2ax在是增函数，则a的取值范围是_答案3，)解析由条件知f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立函数y2x在上为减函数，ymax23，a3.经检验，当a3时，满足题意(2)2018青岛模拟已知函数f(x)ln xax(aR)，讨论函数f(x)的单调性解f(x)的定义域为(0，)，f(x)a(x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x时，f(x)0，故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减由知，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减考向利用导数研究函数的极值命题角度1知图判断函数极值情况例22018江门模拟设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由图可得函数y(1x)f(x)的零点为2,1,2，则当x0，此时在(，2)上f(x)0，在(2,1)上f(x)1时，1x0，此时在(1,2)上f(x)0.所以f(x)在(，2)为增函数，在(2,2)为减函数，在(2，)为增函数，因此f(x)有极大值f(2)，极小值f(2)故选D.命题角度2已知函数求极值例3已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到极小值D当k2时，f(x)在x1处取到极大值答案C解析当k1时，f(x)ex(x1)ex1，此时f(1)0，故排除A、B项；当k2时，f(x)ex(x1)2(ex1)(2x2)，此时f(1)0，在x1附近左侧，f(x)0，所以x1是f(x)的极小值点命题角度3已知函数的极值求参数范围例4(1)函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则a，b的值为()Aa3，b3，或a4，b11Ba4，b1，或a4，b11Ca1，b5D以上都不正确答案D解析f(x)3x22axb，依题意，有即解得或当a3且b3时，f(x)3x26x30，函数f(x)无极值点，故符合题意的只有故选D.(2)函数f(x)x(xm)2在x1处取得极小值，则m_.答案1解析f(1)0可得m1或m3.当m3时，f(x)3(x1)(x3)，1x3，f(x)0；x1或x3，f(x)0，此时x1处取得极大值，不合题意，所以m1.触类旁通函数极值问题的常见类型及解题策略(1)已知导函数图象判断函数极值的情况先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号(2)已知函数求极值求f(x)求方程f(x)0的根列表检验f(x)在f(x)0的根的附近两侧的符号下结论(3)已知极值求参数若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f(x0)0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反考向利用导数研究函数的最值例52017北京高考已知函数f(x)excosxx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f(x)excosxx，所以f(x)ex(cosxsinx)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cosxsinx)1，则h(x)ex(cosxsinxsinxcosx)2exsinx.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减，所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0，所以函数f(x)在区间上单调递减，因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.触类旁通利用导数求函数最值的方法当函数在一个区间内只有唯一的极小(大)值时，这个极小(大)值就是最小(大)值；当函数在一个区间内的极值有多个时，就要把这些极值和区间的端点值进行比较，比较大小的基本方法之一就是作差法【变式训练2】已知函数f(x)ln x2，aR.(1)若曲线yf(x)在点P(2，m)处的切线平行于直线yx1，求函数f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使函数f(x)在(0，e2上有最小值2？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由解(1)f(x)ln x2(x0)，f(x)(x0)，又曲线yf(x)在点P(2，m)处的切线平行于直线yx1，f(2)aa8.f(x)(x0)，令f(x)0，得x8，f(x)在(8，)上单调递增；令f(x)0，得0x8，f(x)在(0,8)上单调递减f(x)的单调递增区间为(8，)，单调递减区间为(0,8)(2)由(1)知f(x)(x0)当a0时，f(x)0恒成立，即f(x)在(0，e2上单调递增，无最小值，不满足题意当a0时，令f(x)0，得xa，所以当f(x)0时，xa，当f(x)0时，0xa，此时函数f(x)在(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减若ae2，则函数f(x)在(0，e2上的最小值f(x)minf(e2)ln e22，由2，得a2e2，满足ae2，符合题意；若ae2，则函数f(x)在(0，e2上的最小值f(x)minf(a)ln a2ln a1，由ln a12，得ae3，不满足ae2，不符合题意，舍去综上可知，存在实数a2e2，使函数f(x)在(0，e2上有最小值2.考向利用导数研究生活中的优化问题例62015江苏高考某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度解(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)将其分别代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20), 则点P的坐标为，设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，y，则l的方程为y(xt)，由此得A，B.故f(t) ，t5,20设g(t)t2，则g(t)2t.令g(t)0，解得t10.当t(5,10)时， g(t)0，g(t)是增函数从而，当t10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min300，此时f(t)min15.故当t10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米触类旁通利用导数解决生活中优化问题的方法求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，该极值点也就是最值点【变式训练3】某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2t5)设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25x40)，根据市场调查，日销售量q公斤与ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；(2)若t5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少时，该工厂的每日利润y最大？并求最大值解(1)设日销量q(k0)，则100，k100e30，日销量q，y(25x40)(2)当t5时，y，y.由y0得x26，由y0，得x26，y在区间25,26上单调递增，在区间26,40上单调递减，当x26时，ymax100e4，即当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e4元核心规律1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且有条理，可减少失分2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小3.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点处取得满分策略1.注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行2.解题时要注意区分求单调性和已知单调性求参数范围等问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点3.f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解板块三启智培优破译高考创新交汇系列3利用导数研究函数的图象与性质2016全国卷函数y2x2e|x|在2,2的图象大致为()解题视点该题易出现的问题是不能抓住选项的差异性与函数性质的对应，困惑于解析式的复杂形式，导致无从下手解析解法一：令f(x)y2x2e|x|.当x(0,2时，f(x)2x2ex，f(x)4xex.f(x)在(0,2)上只有一个零点x0，且当0xx0时，f(x)0；当x0x2时，f(x)0.故f(x)在(0,2上先减后增，又f(2)17e20，所以f(2)1.故选D.解法二：令f(x)y2x2e|x|，则f(2)8e20，故排除A；f(2)17e20，f(2)1，故排除B；fe0.51.51f(0)，故排除C.故选D.答案D答题启示函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决此类问题应先观察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正确的选项.如该题中函数解析式虽然比较复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项.跟踪训练2018赣州模拟函数yx2ex的图象大致为()答案A解析因为y2xexx2exx(x2)ex，所以当x0时，y0，函数yx2ex为增函数；当2x0时，y0，函数yx2ex为减函数，排除B，C；又yx2ex0，所以排除D.故选A.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标1函数yx44x3在区间2,3上的最小值为()A72 B36 C12 D0答案D解析因为y4x34，令y0即4x340，解得x1.当x1时，y1时，y0，在2,3上只有一个极值点，所以函数的极小值为y|x10，所以ymin0.22018南阳模拟已知函数f(x)x25x2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是()A.和(1，) B(0,1)和(2，)C.和(2，) D(1,2)答案C解析函数f(x)x25x2ln x的定义域是(0，)，令f(x)2x50，解得0x或x2，故函数f(x)的单调递增区间是，(2，)32018无锡模拟设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点答案D解析f(x)(x1)ex，当x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，所以x1为f(x)的极小值点故选D.4若a2，则函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上恰好有()A0个零点 B1个零点C2个零点 D3个零点答案B解析f(x)x22ax，且a2，当x(0,2)时，f(x)0，f(2)4a0)(1)若f(x)的单调递减区间是(0,4)，则实数k的值为_；(2)若f(x)在(0,4)上为减函数，则实数k的取值范围是_答案(1)(2)解析(1)f(x)3kx26(k1)x，由题意知f(4)0，解得k.(2)由f(x)3kx26(k1)x0并结合导函数的图象可知，必有4，解得k.又k0，故01，则不等式f(x)x0的解集为_答案(2，)解析令g(x)f(x)x，g(x)f(x)1.由题意知g(x)0，g(x)为增函数g(2)f(2)20，g(x)0的解集为(2，)82018西宁模拟若函数f(x)x3x22ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是_答案解析对f(x)求导，得f(x)x2x2a22a.当x时，f(x)的最大值为f2a.令2a0，解得a.所以a的取值范围是.92018广西模拟已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)随x的变化情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，f(x)在0，k1上单调递减，在k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上，当k1时，f(x)在0,1上的最小值为f(0)k；当1k0，解得x1；令f(x)0，解得0x1即m2，当0x1时，f(x)x(1ln x)0且x0时，f(x)0；当x时，显然f(x)(或者举例：当xe2时，f(e2)e20)如图，由图象可知，m10，即m1，由可得2m1.故m的取值范围为(2，1)B级知能提升12016四川高考已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a()A4 B2 C4 D2答案D解析由题意可得f(x)3x2123(x2)(x2)，令f(x)0，得x2或x2，则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值函数f(x)在x2处取得极小值，则a2.故选D.22018山东师大附中检测已知函数f(x)xex，g(x)(x1)2a，若x1，x2R，使得f(x2)g(x1)成立，则实数a的取值范围是()A. B1，)Ce，) D.答案D解析f(x)exxex(1x)ex，当x1时，f(x)0，函数单调递增；当x1时，f(x)0，函数单调递减所以当x1时，f(x)取得极小值即最小值，f(1).函数g(x)的最大值为a.若x