2018版高中数学 圆与方程4.24.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案新人教A版.docx

4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用目标定位1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.理解坐标法解决几何问题的一般步骤.自 主 预 习1.圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.一元二次方程2.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：即 时 自 测1.判断题(1)两圆无公共点，则两圆外离.( )(2)两圆有且只有一个公共点，则两圆内切和外切.()(3)设两圆的圆心距为l，两圆半径长分别为r1，r2，则当|r1r2|lr1r2时，两圆相交.()(4)两圆外切时，有三条公切线：两条外公切线，一条内公切线.()提示(1)两圆无公共点，则两圆外离和内含.2.圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系为()A.相离 B.相交 C.外切 D.内切解析圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r11；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r22；1r2r1|O1O2|0)外切，则r的值是_.解析由题意可知2r，r.答案类型一与两圆相切有关的问题【例1】 求与圆x2y22x0外切且与直线xy0相切于点M(3，)的圆的方程.解设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则r1，r.联立解得a4，b0，r2，或a0，b4，r6，即所求圆的方程为(x4)2y24或x2(y4)236.规律方法两圆相切时常用的性质有：(1)设两圆的圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，则两圆相切(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦).【训练1】 求与圆(x2)2(y1)24相切于点A(4，1)且半径为1的圆的方程.解设所求圆的圆心为P(a，b)，则1.(1)若两圆外切，则有123，联立，解得a5，b1，所以，所求圆的方程为(x5)2(y1)21；(2)若两圆内切，则有|21|1，联立，解得a3，b1，所以，所求圆的方程为(x3)2(y1)21.综上所述，所求圆的方程为(x5)2(y1)21或(x3)2(y1)21.类型二与两圆相交有关的问题(互动探究)【例2】 已知两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80.(1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度.思路探究探究点一当两圆相交时，其公共弦所在直线的方程是什么？提示两圆的方程相减即可得公共弦所在直线的方程.探究点二如何求公共弦长？提示(1)代数法：将两圆的方程联立，求出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求弦长.(2)几何法：求出公共弦所在的直线方程，半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的三边长，利用勾股定理求弦长.解(1)将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x1)2(y5)250，C2：(x1)2(y1)210，则圆C1的圆心为(1，5)，半径r15，圆C2的圆心为(1，1)，半径r2.又|C1C2|2，r1r25，r1r25，r1r2|C1C2|r1r2，两圆相交.(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x2y40.(3)法一由(2)知圆C1的圆心(1，5)到直线x2y40的距离d3，公共弦长l222.法二设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或即A(4，0)，B(0，2).所以|AB|2，即公共弦长为2.规律方法1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.2.公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.【训练2】 已知圆C1：x2y22x6y10，圆C2：x2y24x2y110，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解，得：3x4y60.A，B两点坐标都满足此方程，3x4y60即为两圆公共弦所在的直线方程.易知圆C1的圆心(1，3)，半径r13.又C1到直线AB的距离为d.|AB|22.即两圆的公共弦长为.类型三直线与圆的方程的应用【例3】 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2y29，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l的方程为1，即4x7y280.圆心(0，0)到航线4x7y280的距离d，而半径r3，dr，直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.规律方法解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：【训练3】 台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为()A.0.5小时 B.1小时C.1.5小时 D.2小时解析以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线yx上移动，又B(40，0)到yx的距离为d20，由|BE|BF|30知|EF|20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t1小时.故选B.答案B课堂小结1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：1.圆x2y21与圆x2y22x2y10的交点坐标为()A.(1，0)和(0，1) B.(1，0)和(0，1)C.(1，0)和(0，1) D.(1，0)和(0，1)解析由解得或答案C2.圆x2y22x50和圆x2y22x4y40的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为()A.xy10 B.2xy10C.x2y10 D.xy10解析直线AB的方程为：4x4y10，因此它的垂直平分线斜率为1，过圆心(1，0)，方程为y(x1)，即两圆连心线.答案A3.已知两圆x2y210和(x1)2(y3)220相交于A、B两点，则直线AB的方程是_.解析2x6y0，即x3y0.答案x3y04.已知圆C1：x2y22mx4ym250，圆C2：x2y22x2mym230，当m的取值满足什么条件时，圆C1与圆C2相切？解对于圆C1与圆C2的方程，化为标准方程得C1：(xm)2(y2)29，C2：(x1)2(ym)24，所以两圆的圆心分别为C1(m，2)，C2(1，m)，半径分别为r13，r22，且|C1C2|.当圆C1与圆C2相外切时，则|C1C2|r1r2，即32，解得m5或m2.当圆C1与圆C2相内切时，则|C1C2|r1r2|，即|32|，解得m1或m2.综上可知，当m5或m2或m1或m2时，两圆相切.基 础 过 关1.圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A.内切 B.相交 C.外切 D.相离解析两圆圆心分别为(2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d.32d32，两圆相交.答案B2.若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m等于()A.21 B.19 C.9 D.11解析圆C2的标准方程为(x3)2(y4)225m.又圆C1：x2y21，|C1C2|5.又两圆外切，51，解得m9.答案C3.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A.1.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2米解析建立如图所示的平面直角坐标系.如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h3.6)半圆所在圆的方程为：x2(y3.6)23.62把A(0.8，h3.6)代入得0.82h23.62.h43.5(米).答案B4.两圆x2y2xy20和x2y25的公共弦长为_.解析由得两圆的公共弦所在的直线方程为xy30，圆x2y25的圆心到该直线的距离为d，设公共弦长为l，l2.答案5.已知圆C1：x2y24和圆C2：x2y24x4y40关于直线l对称，则直线l的方程为_.解析圆C2可化为(x2)2(y2)24，则圆C1，C2的圆心为C1(0，0)，C2(2，2)，所以C1C2的中点为(1，1)，kC1C21，所以所求直线的斜率为1，所以直线l的方程为y1x1，即xy20.答案xy206.求与圆O：x2y21外切，切点为P，半径为2的圆的方程.解设所求圆的圆心为C(a，b)，则所求圆的方程为(xa)2(yb)24.两圆外切，切点为P，|OC|123，|CP|2.解得圆心C的坐标为，故所求圆的方程为4.7.已知圆C1：x2y210x10y0和圆C2：x2y26x2y400.求：(1)它们的公共弦所在直线的方程；(2)公共弦长.解(1)由两方程相减，得公共弦所在直线方程为2xy50.(2)圆x2y210x10y0的圆心C1的坐标为(5，5)，半径r5，又点C1到相交弦的距离d2.公共弦长为22.能 力 提 升8.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A.4 B.4 C.8 D.8解析两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)，两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等.设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4a)2(1a)2a2，(4b)2(1b)2b2，即a，b为方程(4x)2(1x)2x2的两个根，整理得x210x170，ab10，ab17.(ab)2(ab)24ab10041732，|C1C2|8.答案C9.以圆C1：x2y24x10与圆C2：x2y22x2y10相交的公共弦为直径的圆的方程为()A.(x1)2(y1)21B.(x1)2(y1)21C.D.解析两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为xy0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C，D选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B.答案B10.与直线xy20和曲线x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方程是_.解析曲线化为(x6)2(y6)218，其圆心C1(6，6)到直线xy20的距离为d5.过点C1且垂直于xy20的直线为y6x6，即yx，所以所求的最小圆的圆心C2在直线yx上，如图所示，圆心C2到直线xy20的距离为，则圆C2的半径长为.设C2的坐标为(x0，x0)，则，解得x02(x00舍去)，所以圆心坐标为(2，2)，所以所求圆的标准方程为(x2)2(y2)22.答案(x2)2(y2)2211.已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？解以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为x2y216(y0).将x2.7代入，得y3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度.因此，货车不能驶入这个隧道.将xa代入x2