2019版高考数学复习算法初步复数推理与证明第4讲直接证明与间接证明学案.docx

第4讲直接证明与间接证明板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1直接证明考点2间接证明1反证法的定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法2利用反证法证题的步骤(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；(3)由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立简言之，否定归谬断言必会结论分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()答案(1)(2)(3)(4)(5)2要证明b0，m，n，则m，n的大小关系是_答案mn解析解法一：(取特殊值法)取a2，b1，得mn.解法二：(分析法)a0，显然成立6下列条件：ab0，ab0，b0，a0，b0且0成立，即a，b不为0且同号即可，故都能使2成立板块二典例探究考向突破考向综合法证明例1已知sin，sinx，cos成等差数列，sin，siny，cos成等比数列证明：2cos2xcos2y.证明sin与cos的等差中项是sinx，等比中项是siny，sincos2sinx，sincossin2y，22，可得(sincos)22sincos4sin2x2sin2y，即4sin2x2sin2y1.421，即22cos2x(1cos2y)1.故证得2cos2xcos2y.触类旁通综合法证明的思路(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理【变式训练1】已知f(x)，证明：f(x)f(1x).证明f(x)，f(x)f(1x).故f(x)f(1x)成立考向分析法证明例2已知a0，证明： a2.证明要证 a2，只需证 (2)因为a0，所以(2)0，所以只需证22，即2(2)84，只需证a2.因为a0，a2显然成立1时等号成立，所以要证的不等式成立触类旁通分析法证题的技巧(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证【变式训练2】已知正数a，b，c满足abc1.求证：.证明欲证，则只需证()23，即证abc2()3，即证1.又1，当且仅当abc时取“”，原不等式成立考向反证法的应用命题角度1证明否定性命题例3设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？解(1)证明：若Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，a10，(1q)21qq2，解得q0，这与q0相矛盾，故数列Sn不是等比数列(2)当q1时，Sn是等差数列当q1时，Sn不是等差数列假设q1时，S1，S2，S3成等差数列，即2S2S1S3，2a1(1q)a1a1(1qq2)由于a10，2(1q)2qq2，即qq2，q1，q0，这与q0相矛盾综上可知，当q1时，Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列命题角度2证明存在性问题例4设x、y、z0，ax，by，cz，求证：a、b、c三数至少有一个不小于2.证明假设a、b、c都小于2，则abc6.而事实上abcxyz2226(当且仅当xyz1时取“”)与abc6矛盾，a，b，c中至少有一个不小于2.命题角度3证明唯一性命题例5已知四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方形，又SBSD，SA1.(1)求证：SA平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由解(1)证明：由已知得SA2AD2SD2，SAAD.同理SAAB.又ABADA，SA平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD.BCAD，BC平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB，平面FBC平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，假设不成立故不存在这样的点F，使得BF平面SAD.触类旁通反证法的适用范围及证明的关键(1)适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证(2)关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的【变式训练3】(1)若三个方程x24mx4m30，x2(m1)xm20，x22mx2m0中至少有一个方程有实数根，求实数m的取值范围解当三个方程都没有实根时，即解得所以m1.所以，三个方程中至少有一个方程有实根时，m的取值范围为m1或m.(2)若f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(a2)，使函数h(x)是区间a，b上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由解由已知得g(x)(x1)21，其图象的对称轴为x1，区间1，b在对称轴的右边，所以函数在区间1，b上单调递增由“四维光军”函数的定义可知g(1)1，g(b)b，即b2bb，解得b1或b3.因为b1，所以b3.假设函数h(x)在区间a，b(a2)上是“四维光军”函数，因为h(x)在区间(2，)上单调递减，所以有即解得ab，这与已知矛盾故不存在核心规律1.分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知2.综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知3.分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来满分策略1.当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易，一般用综合法，但在证明中，要保证前提条件正确，推理要合乎逻辑规律2.当题目条件较少，可逆向思考时，执果索因，使用分析法解决但在证明过程中，注意文字语言的准确表述3.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.板块三启智培优破译高考创新交汇系列10分析法与综合法的交汇整合2018长沙模拟已知函数f(x)log2(x2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论解题视点(1)先判断它们的大小，可用特例法(2)用分析法探寻证题思路(3)用综合法完成证明事实上，取a1，b2，c4，则f(a)f(c)f(1)f(4)log218，2f(b)2f(2)log216，于是由log218log216，猜测f(a)f(c)2f(b)要证f(a)f(c)2f(b)，则只需证log2(a2)log2(c2)2log2(b2)，即证log2(a2)(c2)log2(b2)2，也即证(a2)(c2)(b2)2.展开整理得ac2(ac)b24b.因为b2ac，所以只要证ac2，显然是成立的解f(a)f(c)2f(b)证明如下：因为a，b，c是两两不相等的正数，所以ac2.因为b2ac，所以ac2(ac)b24b，即ac2(ac)4b24b4，从而(a2)(c2)(b2)2.因为f(x)log2x是增函数，所以log2(a2)(c2)log2(b2)2，即log2(a2)log2(c2)2log2(b2)故f(a)f(c)2f(b)答题启示(1)综合法和分析法各有其优缺点，分析法利于思考，综合法宜于表达，因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程.有时要把分析法和综合法结合起来交替使用，才能成功.,(2)本题易错的原因一是不会用分析法分析，找不到解决问题的切入口；二是不会用综合法表述，从而导致解题格式不规范.将分析法和综合法整合，是证明数学问题的一种重要的思想方法.跟踪训练2018安徽模拟(1)设x1，y1，证明：xyxy；(2)11，xlogab1，ylogbc1，由(1)知所证明的不等式成立板块四模拟演练提能增分A级基础达标12018绵阳周测设ta2b，sab21，则下列关于t和s的大小关系中正确的是()Ats Bts Cts Dts答案D解析stb22b1(b1)20，st，选D项2若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()Aac2abb2C.答案B解析a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.3下列不等式一定成立的是()Alg lg x(x0)Bsinx2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.0时，x22xx所以lg lg x，故A不正确；对于B，当xk时，sinx正负不定，不能用基本不等式，所以B不正确；对于D，当x0时，1，故D不正确由基本不等式可知选项C正确4若a0，b0，ab1，则下列不等式不成立的是()Aa2b2 BabC.4 D.1答案D解析a2b2(ab)22ab12ab122，A成立；ab2，B成立又2224，C成立，应选D.52018邹平期末若abc，则使恒成立的最大的正整数k为()A2 B3 C4 D5答案C解析abc，ab0，bc0，ac0，且acabbc.又2224，k，k4，故k的最大整数为4.故选C.62018邯郸模拟设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)答案解析若a，b，则ab1，但a1，b1，故推不出；若ab1，则ab2，故推不出；若a2，b3，则a2b22，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.7已知abc0，求证：a3a2cb2cabcb30.证明运用“立方和”公式证明：a3b3(ab)(a2abb2)，原式a3b3(a2cb2cabc)(ab)(a2abb2)c(a2abb2)(abc)(a2abb2)abc0，原式0，即当abc0时，a3a2cb2cabcb30.8设f(x)ax2bxc(a0)，若函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f为偶函数证明由函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，可知f(x1)f(x)将x换成x代入上式可得ff，即ff，由偶函数的定义可知f为偶函数9等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解(1)由已知得所以d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明：由(1)，得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)，所以(q2pr)(2qpr)0.因为p，q，rN*，所以所以2pr(pr)20.所以pr，这与pr矛盾，所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列10已知函数f(x)ax(a1)(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明：方程f(x)0没有负数根 B级知能提升1已知x，yR，Mx2y21，Nxyxy，则M与N的大小关系是()AMN BMNCMN D不能确定答案A解析MNx2y21(xyxy)(x2y22xy)(x22x1)(y22y1)(xy)2(x1)2(y1)20.故MN.2已知实数m，n满足mn0，mn1，则的最大值为_答案4解析mn0，mn1，m0，n0，b0,2cab，求证：(1)c2ab；(2)ca0，b0,2cab2，c，平方得c2ab.(2)要证cac.只要证ac.即证|ac|，即(ac)2c2ab，(ac)2c2aba(ab2c)0，f(1)0，求证：(1)a0且20，f(1)0，c0,3a2bc0.由abc0，消去b得ac0；再由条件abc0，消去c得ab0，20，方程f(x)0有两个实根设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系得x1x20，x1x20，故两根为正又(x11)(x21)20，故两根均小于1，命题得证解法二：4b212ac4(a2c2ac)40，由(1)知21，0，f(1)0，f(x)0在(0,1)内有两个实根52015陕西高考设fn(x)是等比数列1，x，x2，xn的各项和，其中x0，nN，n2.(1)证明：函数Fn(x)fn(x)2在内有且仅有一个零点(记为xn)，且xnx；(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和gn(x)的大小，并加以证明解(1)证明：Fn(x)fn(x)21xx2xn2，则