高等数学_第九章_重积分_第一节_二重积分概念.ppt

第九章,重积分,上页 下页 返回 结束,Music,二重积分,三重积分,重积分应用,定积分,重积分,二元函数在平面区域上的积分,三元函数在空间区域上的积分,：一元函数在直线段上的积分,曲顶柱体的体积,二重积分的性质,第九章 重积分,第一节,上页 下页 返回 结束,二重积分 的概念与性质,二重积分的定义,D,S,S : z = f (x,y),元素法,一、引例,i,1. 曲顶柱体的体积,顶：曲面,底,侧面,上页 下页 返回 结束,（1） 分割区域 D, 化整为零,（2） 局部以平代曲, 求近似,D,i,上页 下页 返回 结束,积零为整,S : z = f (x,y),元素法,（1） 分割区域 D, 化整为零,（2） 局部以平代曲, 求近似,一、引例,1. 曲顶柱体的体积,D,i,上页 下页 返回 结束,（3） 取极限,令分法无限变细,积零为整,S : z = f (x,y),元素法,（1） 分割区域 D, 化整为零,（2） 局部以平代曲, 求近似,一、引例,1. 曲顶柱体的体积,V =,D,上页 下页 返回 结束,（3） 取极限,令分法无限变细,积零为整,S : z = f (x,y),元素法,（1） 分割区域 D, 化整为零,（2） 局部以平代曲, 求近似,一、引例,1. 曲顶柱体的体积,V =,V,（3） 取极限,令分法无限变细,积零为整,S : z = f (x,y),元素法,（1） 分割区域 D, 化整为零,（2） 局部以平代曲, 求近似,一、引例,1. 曲顶柱体的体积,上页 下页 返回 结束,V =,2. 平面薄片的质量,一平面薄片占有 xOy 平面上的区域 D ,计算该薄片的质量 M .,D 的面积为 ,则,若,非常数 ,采用元素法:,其面密度为,(1)“分割”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,上页 下页 返回 结束,(2)“常代变求近似和”,中任取一点,总质量,(3)“取极限求精确”,则第 k 小块的质量,上页 下页 返回 结束,两个问题的共性：,(2) 所求量的结构式相同,“分割；常代变求近似和； 取极限求精确”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,上页 下页 返回 结束,二、二重积分的定义,定义.,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取点,若存在常数 I , 使得,可积 ,在D上的二重积分.,积分和,积分区域,积分表达式,面积元素,是定义在有界区域 D上的有界函数.,上页 下页 返回 结束,曲顶柱体体积:,平面薄板的质量:,如果 在D上可积,二重积分常记作,这时,来划分区域D ,因此，,可用平行于坐标轴的直线,上页 下页 返回 结束,在直角坐标系下，面积元素,若,定理.,在D上可积.,在 D上连续,则,上页 下页 返回 结束,三、二重积分的性质,( k 为常数),以上两性质统称为线性性质.,下一性质是说，二重积分关于积分区域具有可加性.,特别地, 由于,则,5（比较定理）. 若在D上,6（估值定理）. 设,D 的面积为 ,则有,上页 下页 返回 结束, 为D 的面积, 则,7.(二重积分的中值定理),证 由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点,在闭区域D上, 为D 的面积 ,则至少存在一点,使,使得,连续,因此,上页 下页 返回 结束,例1. 比较下列积分值的大小:,其中,解 积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位,从而,于直线的上方, 故在 D 上,上页 下页 返回 结束,更确切地,例2. 判断积分,的正负号.,解 如图, 分积分域为,则,原式 =,猜想结果为负 但不好估计 .,舍去此项,上页 下页 返回 结束,例3. 估计下列积分的值,解 D 的面积为,由于,积分性质5,即 1.96 I 2.,上页 下页 返回 结束,确切地， 1.96 I 2.,设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,在区域 D 上,在闭区域D上连续,D 关于x 轴对称,则,则,上页 下页 返回 结束,f(x,y)关于y 为偶函数，,重要技巧：,f(x,y)关于y 为奇函数，,则,则,在第一象限部分,上页 下页 返回 结束,则,四、曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱体的底为,任取,则平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,上页 下页 返回 结束,同理, 若曲顶柱体的底为,则其体积可按如下两次积分计算,上页 下页 返回 结束,例4. 求两底圆半径为R 的圆柱面所围立体的体积.,解 建立坐标系，设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分.,看作曲顶柱体, 顶为,所求体积为,上页 下页 返回 结束,底为,a,b,1,D1,（定积分三角代换）,.,.,例5.,=,解,利用被积函数和积分区域的特点，,上页 下页 返回 结束,.,.,y,被积函数相同, 且非负,基本训练,解,由它们的积分域范围可知,1. 比较下列积分值的大小关系:,上页 下页 返回 结束,2. 设D 是位于第二象限的有界闭域 , 且 0 y 1, 则,的大小顺序为 ( ),提示: 因 0 y 1, 故,故在D上有,上页 下页 返回 结束,3. 计算,解,上页 下页 返回 结束,4. 证明:,其中D 为,解 被积函数关于 x , y 对称, 因此,又 D 的面积为 1 ,故结论成立 .,上页 下页 返回 结束,P106 1(1); 2(2); 3(1); 4; 5; 6; 21; 22,