2019届高考数学复习平面解析几何第8讲圆锥曲线中的热点问题分层演练直击高考文.docx

第8讲 圆锥曲线中的热点问题1(2018镇江调研)已知点A(0，2)及椭圆y21上任意一点P，则PA的最大值为_解析 设P(x0，y0)，则2x02，1y01，所以PA2x(y02)2.因为y1，所以PA24(1y)(y02)23y4y083.因为1y01，而10，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为_解析 因为一条渐近线方程是yx，所以.因为双曲线的一个焦点在y224x的准线上，所以c6.又c2a2b2，由知，a29，b227，此双曲线方程为1.答案 14已知圆C：x2y26x8y210，抛物线y28x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则mPC的最小值为_解析 由题意得圆C的方程为(x3)2(y4)24，圆心C的坐标为(3，4)由抛物线定义知，当mPC最小时，为圆心与抛物线焦点间的距离，即mPC.答案 5(2018南通质量检测)若F(c，0)是双曲线1(ab0)的右焦点，过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，OAB的面积为，则该双曲线的离心率e_解析 设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为，则tan ，tan 2，因此OAB的面积可以表示为aatan 2，解得，则e.答案 6若直线ykx交椭圆y21于A、B两点，且AB，则k的取值范围为_解析 由得x2.不妨设由两点间距离公式得AB210，解得k2.所以k的取值范围为k.答案 7过抛物线y22px(p0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若(1)，则的值为_解析 根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得，故y1y2，即.设直线AB的方程为y，联立直线与抛物线方程，消元得y2pyp20.故y1y2p，y1y2p2，2，即2.又1，故4.答案 48(2018湖北省华中师大附中月考)已知F为抛物线y22px(p0)的焦点，抛物线的准线与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于A、B两点若AFB为直角三角形，则双曲线的离心率为_解析 设AB与x轴交点为M，由AFB为直角三角形，则它为等腰直角三角形，因此有MAMBMF，抛物线的准线方程为x，把x代入双曲线的渐近线方程yx，得A，B的纵坐标为，因此有p，所以b2a，ca，因此e.答案 9(2018无锡调研)设F1、F2分别是椭圆1(ab0)的左、右两个焦点，若在其右准线上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则该椭圆的离心率的取值范围是_解析 如图，设右准线与x轴的交点为H，则PF2HF2.又因为F1F2PF2，所以F1F2HF2，即2cc，所以3c2a2.所以e2，即e.又因为e1，所以e.答案 10已知双曲线C：1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若AB5，则满足条件的l的条数为_解析 因为a24，b25，c29，所以F(3，0)，若A，B都在右支上，当AB垂直于x轴时，将x3代入1得y，所以AB5，满足题意；若A，B分别在两支上，因为a2，所以两顶点的距离为2240，b0)的一条渐近线方程为kxy0，根据圆心(1，0)到该直线的距离为半径，得k2，即.又a2b2()2，则a24，b21，所以所求双曲线的标准方程为y21.答案 y212已知椭圆方程为1，若M为右准线上一点，A为椭圆的左顶点，连结AM交椭圆于点P，则的取值范围是_解析 设P点横坐标为x0，则1，因为40)和椭圆1的交点为P.F1、F2为椭圆的左、右焦点，若存在实数m，使得PF1F2的边长是连续的自然数，则m_解析 在PF1F2中，PF1最长，PF2最短，F1F22c2m，所以F1F22m，PF12m1，PF22m1，又因为P在C1上，所以P，将其代入椭圆1得m3.答案 34.已知椭圆1(abc0，a2b2c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且PT的最小值不小于(ac)，则椭圆的离心率的取值范围为_解析 依题意切线长PT，所以当且仅当PF2取得最小值时PT取得最小值，而(PF2)minac，所以(ac)，所以0，所以所以所以所以从而解得e，故离心率的取值范围是e.答案 eb0)的右焦点为F2(2，0)，点P在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得F1MF1N(F1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解 (1)法一：因为椭圆C的右焦点为F2(2，0)，所以c2，椭圆C的左焦点为F1(2，0)由椭圆的定义可得2a 2，解得a，所以b2a2c2642.所以椭圆C的标准方程为1.法二：因为椭圆C的右焦点为F2(2，0)，所以c2，故a2b24，又点P在椭圆C上，则1，故1，化简得3b44b2200，得b22，a26，所以椭圆C的标准方程为1.(2)假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为yxt，由得x23(xt)260，即4x26tx(3t26)0，(6t)244(3t26)9612t20，解得2t2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，由于F1MF1N，设线段MN的中点为E，则F1EMN，故kF1E1，又F1(2，0)，E，即E，所以kF1E1，解得t4.当t4时，不满足2tb0)的离心率为，直线l：yx与椭圆E相交于A，B两点，AB2，C，D是椭圆E上异于A，B的两点，且直线AC，BD相交于点P，直线AD，BC相交于点Q.(1)求椭圆E的标准方程；(2)求证：直线PQ的斜率为定值解 (1)因为e，所以c2a2，即a2b2a2，所以a2b.所以椭圆方程为1.由题意知点A在第二象限，点B在第四象限由得A.又AB2，所以OA，即2b2b2b210，得b2，a4.所以椭圆E的标准方程为1.(2)证明：由(1)知，椭圆E的方程为1，A(2，)，B(2，)当直线CA，CB，DA，DB的斜率都存在，且不为零时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，显然k1k2.从而k1kCB，所以kCB.同理kDB.所以直线AD的方程为yk2(x2)，直线BC的方程为y(x2)，由解得从而点Q的坐标为.用k2代替k1，k1代替k2得点P的坐标为.所以kPQ.即直线PQ的斜率为定值，其定值为.当直线CA，CB，DA，DB中，有