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第八节 第二课时 最值、范围、证明问题课时作业A组基础对点练1已知椭圆C1:1(ab0)的右顶点为A(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C1的方程;(2)设点P在抛物线C2:yx2h(hR)上,C2在点P处的切线与C1交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值解析:(1)由题意,得从而因此,所求的椭圆C1的方程为x21.(2)如图,设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2h),则抛物线C2在点P处的切线斜率为y|xt2t.直线MN的方程为:y2txt2h.将上式代入椭圆C1的方程中,得4x2(2txt2h)240,即4(1t2)x24t(t2h)x(t2h)240.因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点,所以式中的116t42(h2)t2h240.设线段MN的中点的横坐标是x3,则x3.设线段PA的中点的横坐标是x4,则x4.由题意,得x3x4,即t2(1h)t10.由式中的2(1h)240,得h1,或h3.当h3时,h20,4h2b0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当OPQ的面积最大时,求l的方程解析:(1)设F(c,0),由条件知,得c.又,所以a2,b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意,故设l:ykx2,P(x1,y1),Q(x2,y2),将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0,即k2时,x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d,所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t,则t0,SOPQ.因为t4,当且仅当t2,即k时等号成立,且满足0,所以,当OPQ的面积最大时,l的方程为yx2或yx2.3.如图,在矩形ABCD中,|AB|4,|AD|2,O为AB的中点,P,Q分别是AD和CD上的点,且满足,直线AQ与BP的交点在椭圆E:1(ab0)上(1)求椭圆E的方程;(2)设R为椭圆E的右顶点,M为椭圆E第一象限部分上一点,作MN垂直于y轴,垂足为N,求梯形ORMN面积的最大值解析:(1)设AQ与BP的交点为G(x,y),P(2,y1),Q(x1,2),由题可知,从而有,整理得y21,即为椭圆E的方程(2)由(1)知R(2,0),设M(x0,y0),则y0,从而梯形ORMN的面积S(2x0)y0,令t2x0,则2t0,u4t3t4单调递增,当t(3,4)时,ub0)的离心率为,且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为.(1)求椭圆C的方程;(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A、B两点,若在x轴上存在一点E,使AEB90,求直线l的斜率k的取值范围解析:(1)设椭圆的半焦距长为c,则由题设有:解得:a,c,b21,故椭圆C的方程为x21.(2)由已知可得,以AB为直径的圆与x轴有公共点设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),将直线l:ykx2代入x21,得(3k2)x24kx10,12k212,x0,y0kx02,|AB| ,解得:k413,即k或k.B组能力提升练1(2018武汉市模拟)已知抛物线x22py(p0)的焦点为F,直线x4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q,且|QF|PQ|.(1)求抛物线的方程;(2)如图所示,过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆x2(y1)21相交于B,C两点(A,B两点相邻),过A,D两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点M,求ABM与CDM的面积之积的最小值解析:(1)由已知得F(0,),P(4,0),Q(4,),|QF|,|PQ|,因为|QF|PQ|,所以,解得p2或p2(舍去),所以抛物线的方程为x24y.(2)设l:ykx1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程,得消去y,得x24kx40,所以x1x24k,x1x24.由y,得y.所以直线MA:y(xx1),即yx.同理可求得直线MD:yx.联立方程,得解得M(2k,1)所以点M到l的距离d2.所以SABMSCDM|AB|CD|d2(|AF|1)(|DF|1)d2y1y2d2d21k21,当且仅当k0时取等号所以当k0时,ABM与CDM面积之积的最小值为1.2已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0)(1)求双曲线C的方程;(2)若直线:ykxm(k0,m0)与双曲线C交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过点A(0,1),求实数m的取值范围解析:(1)设双曲线C的方程为1(a0,b0)由已知得:a,c2,又a2b2c2,得b21,双曲线C的方程为y21.(2)联立整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点,可得m23k21且k2,设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为B(x0,y0),则x1x2,x0,y0kx0m.由题意,ABMN,kAB(k0,m0)整理得3k24m1,将代入,得m24m0,m4.又3k24m10(k0),即m.m的取值范围是(4,)3已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c,|FM|.(1)求直线FM的斜率;(2)求椭圆的方程;(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围解析:(1)由已知,有,又由a2b2c2,可得a23c2,b22c2.设直线FM的斜率为k(k0),F(c,0),则直线FM的方程为yk(xc)由已知,有()2()2()2,解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1,直线FM的方程为y(xc),两个方程联立,消去y,整理得3x22cx5c20,解得xc,或xc.因为点M在第一象限,可得M的坐标为(c,c)由|FM| ,解得c1,所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t,即yt(x1)(x1),与椭圆方程联立消去y,整理得2x23t2(x1)26,又由已知,得t ,解得x1,或1x0.设直线OP的斜率为m,得m,即ymx(x0),与椭圆方程联立,整理得m2.当x(,1)时,有yt(x1)0,于是m ,得m(,)当x(1,0)时,有yt(x1)0.因此m1),设A为圆C与x轴负半轴的交点,过点A作圆C的弦AM,并使弦AM的中点恰好落在y轴上(1)求点M的轨迹E的方程;(2)延长MC交曲线E于另一点N,曲线E在点N处的切线与直线AM交于点B,试判断以点B为圆心,线段BC的长为半径的圆与直线MN的位置关系,并证明你的结论解析:(1)设M(x,y),x0,由题意可知,A(1r,0),记AM的中点为D,则D(0,),因为C(1,0),(1,),(x,)在C中,易知CDDM,所以0,所以x0,即y24x(x0),所以点M的轨迹E的方程为y24x(x0)(2)B与直线MN相切证明如下:设直线MN的方程为xmy1,M(x1,y1),N(x2,y2),直线BN的方程为yk(x)y2.联立,
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