天津大学现代控制理论习题课

现代控制理论习题课 周天薇 1-2 有电路如图1-28所示。以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电 压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压作为输出量的输出方程。 解：解： 由电路原理可知： 由图，令i1=x1， i2=x2， uc=x3，输出y= R2x2 解：解： 电路方程： ueiR dt di L aa a a =+ dt d Ke b = e为反电势 动力学方程： aTi k dt d f dt d J=+ 2 令： = = a ix x x x 3 2 1 uxRxkxL fxxkxJ xx aba T += = = 323 232 21 u L x x x L R L k J k J f x x x a a a a b T + = 1 0 0 0 0 010 3 2 1 3 2 1 = 3 2 1 1 001 x x x xy fJ, a L a i a R u 电枢电压：u 电机转角： 电机电枢回路电阻：Ra 电枢回路电感：La 电枢回路电流：ia 折算到电机轴上的转动惯量：J 粘性摩擦系数：f kT:电动机的力矩系数 Kb:电动机的交电势系数 例例2 1-4 两输入u1, u2，两输出,的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求 其状态空间表达式和传递函数阵。 1-4 两输入u1, u2，两输出,的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求 其状态空间表达式和传递函数阵。 解：解： 2 1 u u 0100 0001 1-4 两输入u1, u2，两输出,的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求 其状态空间表达式和传递函数阵。 解：解： 2 1 u u 0100 0001 0100 0001 1-6 已知系统传递函数 ,试求出系统的约旦标准型的实现， 并画出相应的模拟结构图 )3)(1( ) 1(10 )( + = sss s sW 解：解： 3 3/20 1 103/10 )3)(1( ) 1(10 )( + + + + = + = ssssss s sW uxx + = 1 1 1 300 010 000 xy3/20103/10= 1-6 已知系统传递函数 ,试求出系统的约旦标准型的实现， 并画出相应的模拟结构图 2 )3)(2( ) 1(6 )( + + = sss s sW 解：解： sssssss s sW 3/1 2 3 3 3/10 )3( 4 )3)(2( ) 1(6 )( 22 + + + + + + = + + = uxx + = 1 1 1 0 0000 0200 0030 0013 xy3/133/104= 1-7 给定下列状态空间表达式 （1）画出其模拟结构图 （2）求系统的传递函数 解：解： uxxxx uxxx xx 231 32 3213 212 21 += += = 1-7 给定下列状态空间表达式 （1）画出其模拟结构图 （2）求系统的传递函数 解：解： 1-9 将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解） u x x x x + = 1 0 21 12 2 1 2 1 xy01= 解：解： 0= AI 1 1 = 3 2 = = 11 11 T = 2 1 2 1 2 1 2 1 1 T 11=cT = 2 1 2 1 1b T 约旦标准型: u x x x x + = 2 1 2 1 30 01 2 1 2 1 xy 11= 2-3 已知矩阵 = 452 100 010 A试用拉氏反变换法求 。 At e = 452 10 01 s s s AsI () ()()() ()()() ()()() + + + + + + + + + + + + + + + + + = 222 222 222 1 1 1 1 3 2 4 1 3 1 8 2 8 1 2 1 4 2 4 1 1 1 2 2 2 1 3 1 5 2 4 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 3 1 2 2 2 1 2 2 1 sssssssss sssssssss ssssssss AsI + + + = ttttttttt ttttttttt tttttttt At teeeteeeteee teeeteeeteee teeeteeetee sILe 34388244 22354222 322 ) 1( 222 222 222 11 t e 2-6 解：解： 求下列状态空间表达式的解： 初始状态 输入 是单位阶跃函数。 3-1 判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对 能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？ (3) 系统如下式： 解：解： 如状态方程与输出方程所示，A 为约旦标准形。 要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行 元素不能为0，故有a0, b0。 要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全 为0，故有 c0, d0 。 3-3 确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i和i 解：解： (1) 构造能控阵： 要使系统完全能控，则 构造能观阵： 要使系统完全能观，则 21 21 = = 21 01 CA C N + + = 43 21 1 1 AbbM 01, 1 1 , 43 21 = = =CbA 3-3 确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i和i 解：解： (2) 构造能控阵： 要使系统完全能控，则 构造能观阵： 要使系统完全能观，则 4321 + 0 2 = = 1341 410 100 2 CA CA C N + + = 32323 3232 323 2 13414 14331 8221 bAAbbM 100, 1 , 410 301 200 3 2 = = =CbA 3-3 确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i和i 解：解： (3) 构造能控阵： 要使系统完全能控，则 构造能观阵： 系统完全能观 0)det(M 系统为能观标准型 故能观 完全能控，则输入到状态 传递函数分子分母不可约 3-4 设系统的传递函数是 解：解： (1)当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？ 系统能控且能观的条件为 W(s)没有零 极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时， 系统为不能控或不能观。 3-4 设系统的传递函数是 解：解： （2）当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。 当a=1, a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型 3-4 设系统的传递函数是 解：解： （3）当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。 由对偶原理，系统的能观标准II型为 课后题例课后题例 4 4- -2222 已知系统结构图t0,T 其传函分别为： 1 1 )( 1 = s sT )2)(1( 1 )( 2 + = ss s sT 系统传函: )2)(1( 1 )()()( 21 + = ss sTsTsT 对消s=1，但系统 本质不稳定！ 状态方程： uxx + = 2 1 0 100 120 011 xy100= 系统传函: )2)(1( 1 )( )( )( 1 + = ss BAsIC su sy必有一状态不能控 或不能观！ 课后题例课后题例 4 4- -2222 状态方程： uxx + = 2 1 0 100 120 011 xy100= 系统能控及能观 判别矩阵的秩： = 222 1041 310 M = 111 011 001 N 2)(=Mrank 3)(=Nrank 故系统能观不能控！ = 122 241 610 P = 41 1 41 2 41 6 41 6 41 12 41 5 41 26 41 11 41 8 1 P uzBuPAPzPz + =+= 0 0 1 100 231 320 11 zCPzy610= 不能控！ 课后题例课后题例 4 4- -2222 分解后系统如下： uz z z z z + + = 0 1 2 3 31 20 3 2 1 2 1 u 33 zz = 6 uzBuPAPzPz + =+= 0 0 1 100 231 320 11 zCPzy610= 3 z y + + 当 时，y中有 ，系统是不稳定的。 0)0( 3 z t ez)0(6 3 当系统传递函数中存在零极点对消现象时，系统存在不可控或不可观的状态。 这种系统是非最小实现系统。 3-9 已知系统的传递函数为 ，试求其能控标准型和能观 标准型。 解：解： 系统的能控标准I型为： 系统的能观标准II型为： 3-11 试将下列系统按能控性进行分解 解：解： 构造非奇异变换阵： （1） 系统不是完全能控 （满秩） 3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解 解：解： 构造非奇异变换阵： （2） 系统不是完全能观 111, 1 0 0 , 041 020 122 = = =CbA = = 121 101 111 2 CA CA C N = 100 101 111 1 o R = 100 011 110 o R uxbuRxARRx ooo + =+= 1 1 1 134 032 010 11 xxCRy o 001 = 3-16 从传递函数是否出现零极点对消现象出发，说明图中闭环系统的能 控性与能观性和开环系统的能控性和能观性是一致的 解：解： o u y = = = n i i m j j o ps zs 1 1 )( )( = = = = m j j n i i m j j o o zsps zs 11 1 )()( )( 1 两种情况：1 不能控或不能观 2 能控能观 一致 4-1 判断下列二次型函数的符号性质： 解：解： (1) 因此Q(x)是负定的 4-1 判断下列二次型函数的符号性质： 解：解： (2) 因此Q(x)不是正定的 4-3 试用Lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。 解：解： (1) 系统唯一的平衡状态是 选取Lyapunov函数 是负定的。 即系统在原点处大范围渐近稳定。 4-3 试用Lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。 解：解： (2) 系统唯一的平衡状态是 选取Lyapunov函数 是负定的。 即系统在原点处大范围渐近稳定。 4-10 已知非线性系统状态方程： 解：解： )( 2 2 12112 21 xxaxax xx += = 试证明在a10,a20时系统是大范围渐近稳定的 系统唯一的平衡状态是 选取Lyapunov函数 即系统在原点处大范围渐近稳定。 0)( 2 2 2 11 +=xxaxV 0222)( 2 2 2 1222111 =+=xxaxxxxaxV 由状态方程可知，当a1 0时，a2 0。故 在非原点处不可恒为0。 是半负定的。 5-2 设系统状态方程为： 解：解： uxx + = 10 0 0 1010 110 010 试设计一状态反馈阵是闭环系统极点配置为-10， 31j = 99010010 110100 1000 M3)(=Mrank 特征多项式为： 期望特征多项式为： 比较各对应项系数： 210 kkkK = 012 2 2 3 10)101011()1011()(det()(kkkkBKAIf+=+= 402412)31)(31)(10()( 23 +=+= jjf = = = 1 . 0 2 . 1 4 2 1 0 k k k 故： 1 . 02 . 14=K 5-3 有系统: 解：解： 画出模拟结构图。 系统模拟结构图如下： (1) 5-3 有系统: 解：解： 若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？ (2) 系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是 完全能控。 系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。 5-3 有系统: 解：解： 若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。 (3) 设： 特征多项式为： 期望特征多项式为： 22)3()(det()( 101 2 +=+=kkkBKAIf 比较各对应项系数 3, 1 10 =kk故 31 10 =kkK 5-5 试判断下列系统通过状态反馈能否镇定。 解：解： (1) 系统的能控阵为： 系统能控。可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧， 使闭环系统镇定。 5-8 已知系统： 解：解： (1) 判别系统能否用状态反馈实现解耦 uxx + = 10 10 01 101 320 001 xy = 110 001 01 10 10 01 001 0 1 = =BAC0 1 =d 00 10 10 01 110 0 2 = =BAC01 10 10 01 101 320 001 110 1 2 = =BAC1 2 =d 0 01 01 det)det(= =E 故不可解耦 5-10 已知系统： 解：解： 试设计一个状态观测器，使观测器的极点为-r，-2r(r0)。 观测器特征多项式为： 期望特征多项式为： 21 2 )(det()(ggGCAIf+= 比较各对应项系数 2 21 2