新课程背景下的数学新题型研究.ppt

2019/5/23,1,1,新课程背景下的数学 新题型研究,主讲： 王一柱,一、课程改革中数学试题出现新的变化,1、较大的变化有四个方面： 试题注重从现实生活中选取素材 突出对数学思想方法、应用能力和创新意识的考查 突出考查学生的“数学化”意识与能力 突出考查基础知识与基本技能中的核心内容,2、为保证各类型题的质量，要求把握以下几方面： 选择内容的重心应是课标中最基础和最核心知识 确保题目科学性、合理性 题目文字表述应做到准确、简洁、可读 题目难度不应反映在对某个具体技巧的掌握及熟练程度，而应该反映在对学生数学思维水平和对数学的理解与应用能力上,3、鉴于理论研究与实践需求的现状，编制的新题要在确保科学性的前提下，提高新题型题目的质量。 基础性 公平性 现实性 有效性,二、关于具体题型的命题建议,1、选择题与填空题这两类试题只要求学生给出问题的最终答案，属于客观性试题 特点： （1）较多地用于对基本数学事实、数学技能和数学方法的考查 （2）陈述试题的语言较为简练、明确 （3）可以用多种表达方式命题，包括文字、图象与代数符号等,缺陷： （1）由于学生解答过程无法提供，难以了解学生起初的数学理解状况 （2）如果选择题所暴露的解题信息较多，可能影响题目的信度,例1 下列各图中，每个正方形网格都是由四个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分面积为 的是 （ ）,点评,该题立意好，考查了学生对图形进行分解、组合的基本技能，学生在解决问题过程中既可以利用计算求解，还可以利用图形的特征求解，这使得不同认知特点的学生都能够找到适合自己思考特点的解题思路。另外，本题表述也非常简洁。,例2 点评,要证明一个四边形是菱形，可以先证明这个四边形是 形，再证明这个四边形是 （只需填写一种方法）。 该题的求解过程主要表面为知识的再现对菱形定义的复制，这种“单纯考查学生对知识的记忆与复述”的试题，不值得提倡。,2、计算（求解）类问题目标指向清晰，对解题所需的数学知识、方法、有比较明确的提示，解题活动靠的是回忆，严格按程序操作，不出现无意识错误就行。 特点： （1）可以提供完成运算任务的背景意义，解题过程存在不同的算法供学生选择 （2）运算种类、步骤、复杂程度都不会超过课标要求。 缺陷： 不适宜用于考查对概念与方法的理解。,例3,一家工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理，并准备实施。 方案1：工厂污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元。 方案2：工厂将污水排到污水厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费。 若该工厂每月生产量为6000件产品，那么，在不污染环境，又节约资金的前提下，厂家应选用哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明。,点评,将计算融入解决问题之中，使得计算与答案都富有意义，具体运算不复杂，而且联系环保问题，有利于培养学生应用数学的意识。,例4 点评,已知= ，求 （ x2）的值。 该题属于纯粹的计算试题，且所涉及的计算步骤、复杂程序均超过课标的要求。,特点,3、证明题提供的条件与结论较明确，学生主要任务是填补条件与结论之间的数学逻辑关联。 （1）答题活动中含有寻找数学 逻辑关联的探索性活动。 （2）答题过程有对相关数学证明方法，证明技能的有效应用。 （3）还可以蕰涵对问题不同角度，不同方式的表达。,缺陷,（1）解题目标已经给定，学生没有表达自己对问题情境的理解水平。 （2）难以考查学生探索问题的结论或发现归纳的能力。,例5 点评,在ABC中，D为BC边上的中点。延长AD到E，使得DE= AD，连结CE交AB的延长线于P。求证：AP=3AB。 该题所牵涉到的数学对象比较丰富、所提供的数学结论具有较为明显的一般意义；解决问题的策略多样，包括添加的有效辅助线、需要使用的定理等；具体证明过程不需要特殊的技巧。,例6,如图，在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，将该矩形沿着BD折叠，点C落于C处，BC交AD于E。sinABE= ，关于x的方程x28(b-1)x+4a2-48=0的两个实根之差的平方等于240：若a，b都为整数，则反比例函数y= 的解析式为xy=3。,点评,该试题的背景条件繁杂，其间 没有实质意义上的联系，结论也不具备很好的数学含义，求解策略空间很小，证明过程基本上是数学语言的转换，而过程却很复杂。,4、应用性问题有利于考查学生数学建模的能力，对相应知识与方法的理解水平，解决问题的意识与能力，有助于促进学生体会数学的价值。 （1）问题背景是现实的 （2）问题内容以及叙述方式是学生可理解的 （3）问题的内涵丰富而有价值的 （4）情景与表达富有挑战性和趣味性,特点,注意点,由于每位学生成长经历的差异，有时难以找到对所有学生而言是具有共同体验的实际问题，因而使考试的公平性遭到损害。 有些文字题不能当作“应用性试题”，学生在此只把非数学语言转化为数学语言后就是做计算题或证明题,例7,标准田径场跑道的周长为400米，通常包括68条跑道，每一条跑道由两段直线跑道和两段半圆型跑道组成，其中每段直线跑道长约85.96米，最里面一圈跑道的一段半圆形弧长约114.04米，而每一条跑道的宽均为1米。你注意到了吗不同跑道的起跑线是不一样的，它们之间的差距满足什么样的数学关系？,点评,此题背景为学生日常可见的现象，能够很好地体现数学就在身边。问题则是现实的，却又常常容易忽略的一个现象，能够引发学生求解的欲望，问题的求解过程虽然不复杂，但却含有对若干基本数学概念的理解、数学关系的转换。,例8,某学校的篮球数比排球数的2倍多2，篮球数与排球数之差是16，那么，该校的篮球数、排球数分别是多少？ 该题只能用于数学语言使用水平的考查，不能用作学生应用数学能力的考查。,5、阅读分析题有利于评价学生获取数学信息及其数学学习的能力，以及从已有信息中做出合理推断的能力。 （1）问题的背景往往隐含着重要的数学概念、性质或关系。 （2）问题中能以新的数学对象 （如：法则、概念、公式、命题）做为主要研究对象，侧重对变化现象的研究，对变化关系的理解。,特点,特点 注意点,（3）问题的挑战性落实在研究对象的实际意义上（不能因阅读方面的障碍导致学生答题困难）。 （4）图表阅读题，要求通过图表阅读获得的信息应当超越借助代数运算获得的结论，要求学生做一些合理的预测、推断。 （1）不要因所选择的“阅读对象”自身的内容和表达的方式影响学生解答。 （2）图表阅读类型问题有时可能会影响考查学生认识对象的精确性。,例9,若一个图形绕着一个定点旋转一个角a(0a180)能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，例如，正三角形绕着它的中心旋转120（如图），能够与原来的正三角形重合，因而正三角形是旋转对称图形，图是一个五叶风车的示意图，它也是旋转对称图形（a=72）。（图略）,点评,该试题所探讨的是一个生活中的现象，但其中却隐含着重要的数学概念，而且问题的挑战性落实在对现象中数学关系的概括，以及对所获得的关系的准确应用。它既是将考试过程视为一种学习过程（值得提倡），也可以考查学生通过阅读获取数学知识的能力。,例10,骆驼被称为沙漠之舟，它的体温随 外部环境温度的变化而变化，下图表现了一峰骆驼在两昼夜之间体温变化情况。（图略，近似抛物线） 一天中，骆驼体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？ 在什么时间范围内骆驼的体温是上升的？在什么时间范围内骆驼的体温是下降的？ 如果以后两天环境温度没有什么变化，你能画出这峰骆驼体温变化的大致图象吗？ 编一个与函数相关的问题，使得其中的变量之间关系能够用这张图来表示。,点评,该题的背景富有现实性，其中的数据、图象都有意义；问题的求解既需读图的技能，也需要基本数学运算技能，还牵涉到对函数基本概念的应用；特别地，问题与并非直接读图就可以得到答案，而需要对该图象有一个整体把握，以获得超越图象本身的结论。,例11,某基金在申购和赎回时，其费率分别按下表计算：,本基金的申购金额包括申购费用和净申购金额，其中 申购费用=申购金额申购费率， 净申购金额=申购金额-申购费用， 申购份额=净申购金额申购当日基金单位资产净值， 赎回值=赎回当日基金单位资产净值赎回份额赎回费率， 赎回金额=赎回当日基金单位资产净值赎回份额-赎回费。 甲于某日持申购金额10 355.10元申购本基金，当日基金单位资产净值为1.014 8；一段时间后，甲在赎回本基金时，当日基金单位资产净值为1.086 8。则甲在此基金的申购和赎回过程中赚了 元。,点评,本题出现了5个经济学术语及其解释，对考生来说，不容易理解，从而影响答题；问题的求解基本上是套用公式，纯属“烦琐的背景，简单的数学”。不可取。,特点,6、探索题 有利于考查学生的数学实践能力、探索能力，适合于考查学生“做数学”与从事“数学化”活动的能力；评价学生从事归纳、类比、概括、推理等思维活动的水平，检查学生自我反思能力。 试题背景具有实际意义，而不仅仅是探索归纳一列数字特征。 （2）允许借助直觉思维或对问题的整体把握而直接获得合理的猜测。,特点 注意点,试题的设问能引发学生对自我思考过程的反思。 试题的评分标准总会考虑到多 种合理性答案及其评分规定。 (5)探索过程可借助计算器、简便模具等。 难度不易把握、制定评分标准时难于全面估计。,例12,将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，设A，P两点间的距离为x。 当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； 当点Q在边CD上时，设四边形PBCD的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域； 当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形;如果可能,指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。 （图、的形状大小相同，图供操作实验用，图和图备用）,点评,该题正确地将探索对象定位于“一个变化过程中变量之间关系”，探索过程与方式较好地体现出“数学化”的倾向；学生的求解过程能够反映出他对于现象中数学关系的把握水平；猜想的获得可借助对运动本身的整体把握获得，而对于猜想的证明则必须依赖于对运动过程本身的数学思考。,例13 点评,用尺规作图的方式画一个正好有两条对称轴的六边形，写出作图过程，解释答案的正确性。 本题的着眼点落实在对具体作图过程的数学分析，所讨论的对象又是较为重要的数学关系，且对说理方式与程度的要求恰当；学生在解题过程中也需要在对相应数学关系（对称等）做必要的考察基础之上，做适当的“数学化”活动，但该题的难度较大。,例14 点评,观察下列各式：12+1=12,22+2=23,32+3=33， 请你将猜想到数学规律用自然数n表示出来 （n1） 该题只是一种形式上的探索题，对绝大多数学生而言，该试题的求解过程实际上只是一种简单的数学运算，不存在探索的味道，也没有出现不同解题策略的可能性。,特点,7、开放性问题能提供每一位学生用自己掌握的知识、熟悉的方式去表达对问题的理解的机会，有利于考查学生直觉思维和发散思维的活动水平。 问题的“开放性”落实在所提供的条件具有不确定性、解决问题的策略多样化、不同但合理的答案个数不确定、问题结构的可改变性等方面。,特点 注意点,能使不同的学生都能够给出自己对问题的理解、解答。 问题本身或求解过程中涉及丰 富而重要的数学概念、数学思想方法。 评分标准可照顾到不同学生的差异性。 评分标准制定和对阅卷者数学素养要求都较高。,例15,校运动会名次问题：在某校举行的一次校运动会中，初中各班的成绩如下表所示：,(1)请设计不同的计分规则,给出班级排名,并说明规则的特点. (2)如果希望在评分标准中既反映团队的作用,又突出金、银、铜牌的比重，可以采用什么规则。,点评,此题背景为学生所熟悉，而获得 问题结论的途径不