热力学与统计物理相关知识.ppt

,热力学与统计物理 相 关 知 识 (统计物理部分）,主要参考书：热力学与统计物理，汪志诚编， 高等教育出版社,主要讲述内容:,粒子运动状态,粒子系统微观运动状态,系统中粒子的统计分布规律,经典,量子,经典,量子,经典,量子,玻耳兹曼分布,玻色分布,费米分布,玻色系统,费米系统,玻耳兹曼系统,粒子运动状态的描述,粒子:广义的指组成宏观物质系统的基本单位,例如，气体的分子、金属的离子或自由电子、辐射场的光子、 晶体中的声子等。,运动状态指力学运动状态,原则上说微观粒子是遵从量子力学运动规律的。 但在一定的极限条件下，量子力学可以过渡到经典力学。,一、粒子运动状态的经典描述,广义坐标与广义动量,一质点在空间的位置在直角坐标系中用坐标（x,y,z）表示， 或用球坐标 、柱坐标 表示。,自由质点的自由度为3，三个坐标是彼此独立的,广义坐标是指能够确定质点位置的任意一组量。,若质点的自由度为r，采用r个量 q1、q2、qr（广义坐标） 就能确定质点的位置。,广义速度：,广义动量：,设粒子的自由度为r，粒子在任一时刻的力学运动状态由r个 广义坐标q1、q2、qr和相应的r个广义动量p1、p2、pr确定,哈密顿函数：以广义坐标和广义动量为自变量的能量函数, = H（ qi、pi ） （i = 1、2、r）,运动方程为 ：,当初始时刻t0给定了qi、pi 的初值qi0、pi0 之后， 由运动方程可确定在任何相继时刻t， qi、pi 的数值,粒子的微观运动状态,-轨道运动,粒子运动状态的几何表示法,相空间（即空间）：用q1、q2、qr ，p1、p2、pr 为直角坐标构成的一个2r维空间,代表点：相空间任何一点，代表粒子的一个运动状态,相迹：当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在 空间中移动，画出一条轨迹。,例,线性谐振子的自由度为1，位置由它的位移x确定， 与之共轭的动量为,线性谐振子的能量,以x和p为直角坐标，可构成二维的空间，,如果给定振子的能量，代表点的轨迹由如下方程确定,二、 粒子运动状态的量子描述,什么情况下使用经典描述，或使用量子描述？,德布罗意假说：一切微观粒子都具有波粒二象性, = = h/2,普朗克常数 h = 6.62610-34 JS,它的量纲是时间 能量=长度 动量=角动量,h 被称为基本的作用量子，是判别采用经典描述或量子描述的判据,当一个物质系统的任何具有作用量纲的物理量具有与 h 相比拟的数值时，是量子系统；如果物质系统的每一个具有作用量纲的物理量用普朗克常数来量度都非常大时，是经典系统。,（作用量纲）,量子系统中微观粒子的运动不是轨道运动,测不准关系 ：qph 微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标,微观粒子的运动状态用波函数或量子数来描述（量子态）,量子态由一组量子数来表征,其数目等于粒子的自由度数。,粒子的运动薛定谔方程：,例 空间中一个自由运动的粒子，限制在一个边长为L的方 盒子中，求其量子态。,可变为：,解为 ：,据周期性边界条件，在点（l/2，y，z）和（-l/2，y，z） （r） 的值应相同,则：,同理：,均为整数，动量只能取分立的值,能量,能量：,-分立的,为量子数，量子态由这些量子数来描述。 对一确定的能量，量子数可能取不同的值，有许多量子态 （简并）,粒子状态与空间体积元的对应关系,但在统计物理学讨论的某些问题中，若普朗克常数与有关的物理量相比是一个较小的量，则可利用半经典近似： 认为粒子是沿着确定的轨道运动，但并不是为经典力学允许的一切轨道，而是满足量子化条件的那些轨道。这些量子化轨道与量子描述中的量子状态相对应。,原则上说，微观粒子遵从量子力学的运动规律。,由测不准关系，坐标和动量不能同时取确定的值，量子态 不能用空间的一点来描述，应用一个体积元描述，称为相格。,自由度为1的粒子，相格的大小为 h,自由度为r的粒子，相格大小为：,测不准关系 qph,如果将空间划分为若干个体积元l（l =1，2）， 则在体积元l中粒子可能的状态数为l/hr,例,三维自由粒子在体积为V的容器中。 粒子的一个状态对应于空间中体积为h3的一个体积元。,在体积V内， 、 、 的动量范围内， 粒子可能的状态数为：,在体积V内， 的动量范围内，粒子可能的状态数为：,在体积V内，到+d的能量范围内，粒子可能的状态数：,据=p2/2m，可得：,D（）表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度,以上的计算未考虑粒子的自旋,-,三、系统微观运动状态的一般描述,全同近独立的粒子系统,全同粒子： 具有完全相同属性（相同的质量、自旋、电荷等）的同类粒子,近独立粒子 ：,粒子之间的相互作用很弱，可以忽略粒子之间的相互作用。 整个系统的能量可近似表达为单个粒子的能量之和：,系统微观运动状态的经典描述,一个粒子的运动状态由r个广义坐标和r个广义动量，2r个变量描述,N个粒子组成的系统的运动状态由qi1、qi2、qir； 及 pi1、pi2、pir ，共2r N个变量描述。,经典描述中，全同粒子可以分辨（经典粒子是轨道运动）。 将两个粒子的运动状态加以交换，交换前后，系统的运动状态不同。,一个粒子在某时刻的运动状态可在空间中用一个代表点表示， N个全同粒子组成的系统在空间中用N个代表点表示。 若交换两个代表点在空间的位置，系统的微观状态是不同的。,系统微观运动状态的量子描述,微观粒子的全同性原理： 全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将 任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观状态。,确定由近独立粒子组成的系统的微观状态的方法： 确定占据每一个个体量子态的粒子数,微观粒子分为两类：,玻色子,自旋量子数是整数 。例：光子（1）、声子（0）,费米子,自旋量子数为半整数。例电子、质子、中子（1/2）,关于玻色子与费米子的结论：,由玻色子构成的复合粒子是玻色子； 由偶数个费米子构成的复合粒子是玻色子； 由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。,费米子遵从泡利不相容原理； （在含有多个全同近独立费米子的系统中，占据一个 个体量子态的费米子不可能超过一个） 玻色子不受泡利不相容原理的约束。,费米子和玻色子遵从不同的统计规律。,微观粒子系统按是否受到空间限制可分为：定域的和非定域的,定域系统： 可用粒子的位置来分辨粒子；确定系统的微观状态要求确定每一个粒子的个体量子态；每个个体量子态能容纳的粒子数不受限制 （-玻尔兹曼系统）,玻色系统,费米系统,非定域系统 必须考虑微观粒子的全同性原理-,例 设系统由两个粒子组成，粒子的个体量子态有3个，如果 这两个粒子分别是定域子、玻色子、费米子时，讨论系 统各有哪些可能的微观状态？,定域系统，粒子可以分辨，每个个体量子态能容纳的粒子数 不受限制，以A、B表示可以分辨的两个粒子，它们占据3个 个体量子态可以有以下的方式：,共有9种不同的微观状态。,玻色系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态所能容纳的 粒子数不受限制，由于不可分辨，令A=B，两个粒子占据 3个个体量子态有以下的方式：,共有6种不同的微观状态。,费米系统：粒子不可分辨，每个个体量子态最多能容纳 一个粒子，两个粒子占据3个个体量子态有以下的方式：,费米系统可以有3个不同的微观状态。,四、等几率原理,等几率原理：对于处在平衡态的孤立系统，系统的各个 可能的微观状态出现的概率是相等的。,说 明：既然这些微观状态都同样满足具有确定N、E、V 的宏观条件，没有理由认为哪一个状态出现的概 率更大一些。这些微观状态应当是平权的。,（孤立系统：具有确定的粒子数N、总能量E和体积V）,五、分布和微观状态,设一个系统由大量全同的近独立的粒子组成，具有确定的 粒子数N、总能量E和体积V（孤立系统） 。,N个粒子的在各能级的分布al可以描述如下： 能 级 1 ， 2 ， l ， 简 并 度 1 ， 2 ， l ， 粒 子 数 a1 ， a2 ， al ，,分布必须满足：,说明：,分布表示每一个能级上有几个粒子，如a1=1， a2=4， a3=6,对某一系统的一个确定的分布，与它相应的微观状态数是确定的。 不同的分布，有不同的微观状态数。,对不同类的系统（玻尔兹曼、玻色、费米），相同的分布， 对应的微观状态数也是不同的。,N个粒子的在各能级的分布al可以描述如下： 能 级 1 ， 2 ， l ， 简 并 度 1 ， 2 ， l ， 粒 子 数 a1 ， a2 ， al ，,玻耳兹曼系统 (定域系统),粒子可以分辨，若对粒子加以编号，则al个粒子占据能级 l上的l个量子态时，是互不关联的。,分布al相应的微观状态数：,N个粒子在各能级的分布al ： 能 级 1 ， 2 ， l ， 简 并 度 1 ， 2 ， l ， 粒 子 数 a1 ， a2 ， al ，,费米系统,粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。,分布al相应的微观状态数：,玻色系统,粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制。,分布al相应的微观状态数：,经典极限条件（非简并性条件）,若在玻色系统和费米系统中，任一能级l上的粒子数均远 远小于该能级的量子态数，即,则,对某一系统的一个确定的分布，可求得相应的微观状态数。 对不同的分布，系统有不同的微观状态数。,下面两节分别求出玻尔兹曼、玻色、费米系统的最可几分布,可能存在这样一个分布，它使系统的微观状态数最多,等几率原理：对于处在平衡态的孤立系统，系统的各个 可能的微观状态出现的概率是相等的。,微观状态数最多的分布，出现的几率最大，称为最可几分布 （最概然分布）,概述,六、玻耳兹曼分布,解得 ：,- - - 麦克斯韦玻耳兹曼分布,由约束条件： ； 确定,使 为极大的分布al必使,(玻耳兹曼系统中粒子的最概然分布 ),七、玻色分布和费米分布,费米分布,(费米系统中粒子的最概然分