2019届高考数学复习解析几何课堂达标47最值范围证明问题文新人教版.docx

课堂达标(四十七) 最值、范围、证明问题A基础巩固练1已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)在抛物线上，直线AB，CD均过点M(3,0)，且均不垂直于x轴，直线PQ过点M且垂直于x轴，交AC于点P，交BD于点Q.(1)求y1y2的值；(2)求证：|MP|MQ|.解(1)由题意得，则p1，抛物线的方程为y22x.设直线AB的方程为xmy3，将xmy3代入抛物线的方程得，y22my60，则由根与系数的关系得y1y26.(2)证明：由题意可知，直线AC的斜率为，直线AC的方程为y(xx1)y1，直线PQ过点M且垂直于x轴，点P的纵坐标yP(3x1)y1.同理可得点Q的纵坐标yQ，yPyQ0，又PQx轴，|MP|MQ|.2(2018成都七中一诊)抛物线y24x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(1,0)，求的最小值解抛物线y24x的准线方程为x1，如图，过P作PN垂直x1于N，由抛物线的定义可知|PF|PN|，连接PA，在RtPAN中，sinPAN，当最小时，sinPAN最小，即PAN最小，即PAF最大，此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为yk(x1)，联立得k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k40，解得k1，所以PAFNPA45，cos NPA.3已知双曲线C的两个焦点分别为F1(2,0)，F2(2,0)，双曲线C上一点P到F1，F2的距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程；(3)已知定点G(1,2)，点D是双曲线C右支上的动点，求|DF1|DG|的最小值解(1)依题意，得双曲线C的实半轴长为a1，半焦距c2，所以其虚半轴长b.又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标准方程为x21.(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减，得3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因为M(2,1)为AB的中点，所以所以12(x1x2)2(y1y2)0，即kAB6，故AB所在直线l的方程为y16(x2)，即6xy110.(3)由已知，得|DF1|DF2|2，即|DF1|DF2|2，所以|DF1|DG|DF2|DG|2|GF2|2，当且仅当G，D，F2三点共线时取等号，因为|GF2|，所以|DF2|DG|2|GF2|22，故|DF1|DG|的最小值为2.4已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围解(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)由已知得a，c2，又a2b2c2，得b21，双曲线C的方程为y21.(2)联立整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，可得m23k21且k2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)则x1x2，x0，y0kx0m.由题意，ABMN，kAB(k0，m0)整理得3k24m1，将代入，得m24m0，m4.又3k24m10(k0)，即m.m的取值范围是(4，)B能力提升练1(2018威海模拟)已知圆x2y21过椭圆1(ab0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：ykxm与圆x2y21相切，与椭圆1相交于A，B两点记，且.(1)求椭圆的方程；(2)求k的取值范围；(3)求OAB的面积S的取值范围解(1)由题意知2c2，所以c1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b1，故a，所以所求椭圆方程为y21.(2)因为直线l：ykxm与圆x2y21相切，所以原点O到直线l的距离为1，即m2k21.由得(12k2)x24kmx2m220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2，由，得k21，即k的取值范围是.(3)|AB|2(x1x2)2(y1y2)2(1k2)(x1x2)24x1x22，由k21，得|AB|.设OAB的AB边上的高为d，则S|AB|d|AB|，所以S.即OAB的面积S的最值范围是.2已知抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若2 ，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值解(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因为2 ，所以y12y2.联立和，消去y1，y2，得m.所以直线AB的斜率是2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB.因为2SAOB2|OF|y1y2|4 ，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.C尖子生专练已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，Q为抛物线y212x的焦点，且0,2 0.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过定点P(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点(M在P，N之间)，设直线l的斜率为k(k0)，在x轴上是否存在点A(m,0)，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)由已知Q(3,0)，F1BQB，|QF1|4c3c，所以c1.在RtF1BQ中，F2为线段F1Q的中点，故|BF2|2c2，所以a2.于是椭圆C的标准方程为1.(2)设l：ykx2(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，取MN的