北师大版数学新课标课件角平分线.ppt

1.4 角平分线(1),命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.,如图,在ABC中,设AB,BC的垂直平分线相交于点P,连接AP,BP,CP.,点P在线段AB的垂直平分线上, PA=PB 同理,PB=PC. PA=PC. 点P在线段AC的垂直平分线上, AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.,要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.,A,B,C,P,定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.,在ABC中, c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知), c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).,这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.,几何的三种语言,证明点A在线段CD的中垂线上的方法 1、等距法：证明AC=AD即可 2、垂直平分线的定义法：证明CO=DO，AO垂直CD，则 点A在线段CD的中垂线上 3、等腰三角形底边上的“三线合一”,D,C,O,A,B,证明点AB是线段CD的中垂线,1、两点法：证明AC=AD，BC=BD 即点A点B都在中垂线上。,2、定义法：证明CO=DO，AO垂直CD，则 点AB是线段CD的中垂线,3、等腰三角形底边上的“三线合一”,如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫这个角的角平分线,怎样得出角平分线？,回忆角平分线的定义？,尺规作图,已知:AOB,如图. 求作:射线OC,使AOC=BOC. 作法:,用尺规作角的平分线.,1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.,2.分别以点D和E为圆心,以大于 DE/2长为半径作弧,两弧在AOB内交于点C.,3.作射线OC.,请你说明OC为什么是AOB的平分线,并与同伴进行交流.,则射线OC就是AOB的平分线.,1 .画AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过P向角的两边作垂线段PD、PE，你能得出什么结论？,思考题,P,命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等,C,证明：在角平分线上的点到角的两边的距离相等,题设：一个点在一个角的平分线上,结论：它到角的两边的距离相等,已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上， PD OA ，PE OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.,证明：,对照证明过程,证明： PDOA,PEOB ODP= OEP=90 在RtODP和Rt OEP中 ODP= OEP DOP EOP OP=OP RtODP Rt OEP(AAS) PD=PE,C,定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等,角平分线的性质,定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为：,1= 2，PD OA ，PE OB PD=PE.,老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.,C,定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等,逆命题：,在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,它是真命题吗? 如果是，请你证明它.,已知:如图,PD=PE, PDOA,PEOB,垂足分别是D,E. 求证:点P在AOB的平分线上.,逆命题：,在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,证明： PDOA,PEOB ODP= OEP=90 在RtODP和Rt OEP中 DP= EP OP OP RtODP Rt OEP(HL) AOP= BOP，点P在AOB的平分线上.,逆定理：,在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,几何语言： PD=PE, PDOA,PEOB,垂足分别是D,E 点P在AOB的平分线上,老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.,挑战自我,1如图,AD,AE分别是ABC中A的内角平分线和外角平分线,它们有什么关系?,AD与AE互相垂直,1,2,考察角平分线的定义,2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置 (比例尺 1:20 000).,O,B,A区,C,作法：1、作角平分线OB 2、在OB上截取OC=2.5cm 点C即为所求,3. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB两边的距离相等.,老师期望: 养成用数学解释生活的习惯.,E,F,N,作法： 1、作线段CD的中垂线EF 2、作角BOA的角平分线 ON，交直线EF于点P 点P即为所求,P,4.已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.,证明 PDOA,PEOB， BAD= CAD OF=OE 在RtBED和Rt