高中数学1-4-1、2全称量词与存在量词课件新人教A版选修.ppt

第一章 常用逻辑用语,14 全称量词与存在量词,14.1 全称量词 14.2 存在量词,1.理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念 2能准确地使用全称量词和存在量词符号(即，)来表述相关的数学内容 3掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法.,新 知 视 界 1全称量词和全称命题 (1)全称量词： 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示,(2)全称命题： 定义：含有全称量词的命题，叫做全称命题 一般形式：全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”其中M为给定的集合，p(x)是一个关于x的命题,2存在量词和特称命题 (1)存在量词： 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并且符号“”表示,(2)特称命题： 定义：含有存在量词的命题，叫做特称命题 一般形式：特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为x0M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”,尝 试 应 用 1“a，则a平行于内任一条直线”是( ) A真命题 B全称命题 C特称命题 D不含量词的命题 解析：命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题 答案：B,解析：如x0时，x20，满足x20. 答案：B,解析：当x0时，0N，但01.故“xN，x1”是假命题 答案：B,4下列命题： 偶数都可以被2整除；角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；正四棱锥的侧棱长相等；有的实数是无限不循环小数；有的菱形是正方形；存在三角形其内角和大于180. 既是全称命题又是真命题的是_，既是特称命题又是真命题的是_(填上所有满足要求的序号),解析：是全称命题，是真命题； 是全称命题，是真命题；是全称命题，即：任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；含存在量词“有的”，是特称命题，是真命题；是特称命题，是真命题；是特称命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180. 答案： ,5用符号“”或“”表示下面的命题，并判断真假： (1)实数的平方大于或等于0； (2)存在一对实数(x，y)，使2xy10成立； (3)勾股定理,解：(1)是全称命题，隐藏了全称量词“所有的”xR，x20.是真命题 (2)xR，yR,2xy10，是真命题 如x0，y2时：2xy102110成立,(3)这是全称命题，所有直角三角形都满足勾股定理 即RtABC，a，b为直角边长，c为斜边长，a2b2c2.是真命题,分析 首先判断命题中含有哪种量词，进而确定是哪种命题，然后正面推理证明或举反例说明命题的真假,点评 1.要判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词，要注意的是有些全称命题的叙述中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断,2要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”) 3要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题,迁移体验1 指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断它们的真假 (1)对任意的xR，x2x10都成立 (2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除 (3)对数函数都是单调函数 (4)xR，x23x20.,解：(1)全称命题，因为x0时，x2x110，故是假命题 (2)特称命题，是真命题，比如10既能被2整除，又能被5整除 (3)全称命题，是真命题 (4)全称命题，是假命题，因为只有x2或x1时满足,类型二 全称命题与特称命题的表述 例2 (1)设集合S四边形，p(x)：内角和为360.试用不同的表述写出全称命题“xS，p(x)” (2)设q(x)：x2x，试用不同的表达方法写出特称命题“xR，q(x)”,分析 由题目可获取以下主要信息： 第(1)小题是全称命题，第(2)小题是特称命题； 要求分别用不同的方式表示各自的命题 解答本题应先分清是全称命题还是特称命题，再选取合适的量词用不同的方式来表述,解 (1)依题意可得以下几种不同的表述： 对所有的四边形x，x的内角和为360； 对一切四边形x，x的内角和为360； 每一个四边形x的内角和为360； 任一个四边形x的内角和为360； 凡是四边形x，它的内角和为360.,迁移体验2 用全称量词或存在量词表示下列语句 (1)n边形的内角和等于(n2)180； (2)两个有理数之间，都有一个有理数； (3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0.,解：(1)一切n边形的内角和都等于(n2)180； (2)任意两个有理数之间，都有一个有理数； (3)存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0.,分析 由题目可获取以下主要信息： 四个命题中有两个全称命题，两个特称命题； 要求判断命题的真假解答本题首先正确理解命题的含义，再采用举反例等方法给予判断,解析 由于xR，都有x20， 因而有x2220，即x220. 所以命题“xR，x220”是真命题 由于0N，当x0时，x41不成立 所以命题“xN，x41”是假命题,答案 ,点评 1.全称命题的真假判断 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个xx0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”),2特称命题的真假判断 要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个xx0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题,类型四 全称命题与特称命题的应用 例4 函数f(x)对一切实数x、y均有f(xy)f(y)(x2y1)x成立，且f(1)0. (1)求f(0)的值； (2)在(0,4)上存在实数x0，使得f(x0)6ax0成立，求实数a的取值范围,解 (1)由已知等式f(xy)f(y)(x2y1)x，令x1，y0，得f(1)f(0)2，又因为f(1)0，所以f(0)2. (2)令y0，则f(xy)f(y)f(x)f(0)f(x)2(x201)xx2x，f(x)6x2x4.,点评 全称命题真，意味着对限定集合中的每一个元素都能具有某性质，使所给语句真因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”(这类似于“代入”思想)而特称命题为真，则只需在给定的集合中，找到一个元素具有某性质，使该语句为真即可,解决有关存在性命题的参数取值范围问题，应尽量分离参数，若得到g(a)f(x)成立，则只需求f(x)的值域B，进而确定使g(a)B的a的值即可若g(x)f(x)，则只需确定g(a)f(x)的最小值即可类似地，对于全称命题(特别是恒成立)的问题，也应尽量用分离参数法来求解,迁移体验4 已知函数f(x)x22x5. (1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，并说明理由 (2)若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)0成立，求实数m的取值范围,解：(1)不等式mf(x)0可化为mf(x)， 即mx22x5(x1)24. 要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可 故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时，只需m4.,(2)不等式mf(x0)0可化为mf(x0)，若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)成立，只需mf(x)min. 又f(x)(x1)24，f(x)min4，m4. 所以，所求实数m的取值范围是(4，),思 悟 升 华 1一般地，设p(x)是某集合M的所有元素都具有或都不具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x有p(x)成立”的命题，用符号简记为xM，p(x),2一般地，设q(x)是某集合M的有些元素x具有或不具有的某种性质，那么特称命题就是形如“存在集合M中