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第九章 杆类构件的变形习 题9.1 单元体ABCD的边长为dx、dy，其，但其切应变为，试求与x和y都成 45方向的AC线的线应变。题9.1图解：变形后的在方向上的投影为，如下图所示： 由题意易知， 故：在与x和y都成 45方向的AC线的线应变9.2 图示三角形薄板因受外力作用而变形，角点B垂直向上的位移为0.03 mm，假设AB和BC仍保持为直线。试求沿OB方向的平均应变，并求AB和BC两边在B点的切应变。 题9.2图解：变形后的图形为：由图易知：OB=120mm，=120.03mm，=169.73mm（1）OB方向上的平均应变 （2）由角应变的定义可知，在B点的角应变为 9.3 在轴向压缩试件的A及B处分别安装两个杠杆变形仪，其放大倍数分别为KA=1200， KB=1000，标距均为s=20 mm，受压后杠杆仪的读数增量为 mm， mm，试求此材料的泊松比。题9.3图解：由泊松比的定义知： 本题中： =0.339.4 求简单结构（a）中节点A的横向位移和（b）结构中节点A的竖向位移，设各杆的抗拉（压）刚度均为EA。 (a) (b)题9.4图解：（a）结构中A点的受力平衡，经受力分析，易得杆AB、AC的轴力： （拉） 结构的最终变形如下图所示： 位移为所求。 根据胡克定律，得： 由上图所示的变形得几何关系，可得： （b） 由点A的平衡可得杆BA、AD的轴力分别为 ，（拉） 由点B的受力图如下图所示，由平衡条件，可得杆BC、BD的轴力分别为： （拉），（压） 采用以切线代替回弧线的方法，画出B点的变形图，如下图所示： 由几何关系，可得B点的垂直位移为： 点A的水平位移和铅垂位移分别为 9.5 如图所示的桁架，两杆材料相同，AB 杆的横截面面积A1=100 mm2，AC 杆的横截面面积 A2=80 mm2，弹性模量 E =210 GPa，铅垂力F=20 kN。求 A 点的位移。题9.5图解：以点A为研究对象，作受力图。利用静力学平衡条件可求得杆AB和AC的轴力分别为 9.6 混凝土柱尺寸如图所示，柱的弹性模量E=120 GPa，柱受沿轴线的压力F=30 kN的作用，若不计柱自重的影响，求柱的压缩量。题9.6图解：设距柱体底面高度处的正方形横截面的变为a,面积为A，则由几何关系可得 解得 于是 柱体内的轴力恒为 柱体的总变形9.7 如图所示两根粗细相同的钢杆上悬挂着一刚性梁 AB，今在刚性梁上施加一垂直力 F。欲使梁 AB 保持水平位置（不考虑梁自重）。求：加力点位置 x与 F和l之间的关系。题9.7图解：先求CK、HE杆的轴力、与x的关系，取AB杆为研究对象，其受力如图所示，由平衡条件可得 解之得 ， .由胡克定律可得两杆的轴向伸长量分别为要使CG杆保持水平的条件为 = 解之得 9.8 图示结构，已知杆的直径，。设杆为刚杆，若杆的许用应力，求D点的最大铅垂位移。题9.8图解：因CD杆为刚性杆，故受力后的变形图为 则： （1） （2） （1）（2）联立得： 由图示变形关系易得： 即：D端的最大竖直位移为9.9 钢制空心圆轴的外径 D =100 mm，内径 d =50 mm。要求轴在 2 m 内的最大扭转角不超过 1.5，材料剪切弹性模量 G =82 GPa。求：（1）该轴所能承受的最大扭矩；（2）此时轴内的最大切应力。解：（1）设该轴所能承受的最大扭矩为Tmax 由公式得： （2）由题意知： 9.10 如图所示为钻探机钻杆。已知钻杆的外径 D = 60 mm，内径 d =50 mm，功率 P =10 马力，转速 n =180 r/min。钻杆钻入地层深度 l=40 m，G =81 GPa，=40 MPa。假定地层对钻杆的阻力矩沿长度均匀分布。求：（1）地层对钻杆单位长度上的阻力矩 Me；（2）作钻杆之扭矩图，并进行强度校核；（3）A、B 两截面之相对扭转角。 题9.10图解：（1）由公式得： 由力矩平衡可得： 故有：（2）底层以上转杆的扭矩为=用截面法对AB段的任意一截面O进行分析： 由力矩平衡可得： 由的表达式可画出相应的扭矩图如下： 强度校核： 探杆上的最大扭矩为： 由公式得： 满足强度要求。 （3）如图所示，取任意截面x，该截面处的扭矩为： 段长度上的扭转角为： AB面的相对转角9.11 图示钢轴所受扭转力偶分别为 kNm， kNm及 kNm，已知，G=80GPa。试求轴的直径D。题9.11图解：对AB段进行分析：由力矩平衡得：=0.8 kNm 同理对BC进行分析：易得： =-0.4 kNmAB的扭矩图为：经比较知：AB段危险（1） 由公式和得： （2） 由公式和得： 故：轴的最小直径的取值为9.12 如图所示传动轴的转速 n 为 200 r/min，从主动轮 2 上输入功率 55 kW ，由从动轮 1、3、4 及 5 输出的功率分别为 10 kW 、13 kW 、22 kW 及 10 kW 。已知材料的许用切应力= 40 MPa，剪切弹性模量 G =81 GPa，要求=0.5 /m。试选定轴的直径D。题9.12图解：由公式得：从动轮 1、2、3、4 及 5 处所传递的扭矩分别为：用截面法分别对AB、BC、CD、DE段进行受力分析，由力矩平衡易得该轴的扭矩图：（单位：）由扭矩图知危险截面应位于2、3轮之间的BC段，该段上（1）由公式和得： 故（2）由公式和得： 为了安全起见，轴的直径应满足条件：9.13 某圆截面钢轴，转速，所传功率，许用切应力，单位长度的许用扭转角，切变模量。试确定轴的直径D。解：由该轴所传递的扭矩的大小为：（1）由公式和得： （2）由公式和得： 综上分析：轴的直径应满足条件 （约合68mm）9.14 直径d=25 mm的钢圆杆受轴向拉力60 kN作用时，在标距 0.2 m的长度内伸长了0.113 mm;受扭转力偶0.2 kNm作用时，相距 0.15 m的两横截面相对扭转了0.55 ，试求钢材的E， G和。解：由题意易知 应变 面积应力（1）由胡克定律得：（2）由转角公式得：（3）由E、G关系式得：9.15 一薄壁钢管受外力偶作用。已知外径，内径，材料的弹性模量，现测得管表面上相距的两横截面相对扭转角，试求材料的泊松比。题9.15图解:由题意知：内外径之比 由转角公式得： 由E、G关系式得：9.16 传动轴外径，长度，段内径，段的内径，欲使两段扭转角相等，则的长度应为多少？题9.16图解：用截面法易得该传动轴的扭矩图即传动轴任意截面的扭矩均为设 、段的转角分别为、，由转角公式得： 欲使应有： 其中，故： （其中，） 又因解得：9.17 写出图示各梁的边界条件。 (a) (b) (c) (d)题9.17图解： x=0, =0x=, =0 x=a, =0x=a+, =0 x=0, =0x=, =0x=+3a, =0 x=0, =0x=a+, =09.18 和为常数，试用积分法求梁端部的转角，以及最大挠度。 (a) (b) (c) (d)题9.18图解： （a）如图所示，根据平衡条件，求出支座反力弯矩方程，挠曲线微分方程及其积分为（因结构和载荷均对称，故只考虑AD段）AC段 （0a） CD段 （a3a） 由边界条件和连续性条件确定积分常数： 由，得 由得 由得 由得 各段挠曲线方程和转角方程为端截面转角 最大挠度产生在跨度中点处（b）如图所示，根据平衡条件，求出支座反力 弯矩方程，挠曲线微分方程及其积分为AC段 （0a） CD段 （a2a） 由边界条件和连续性条件确定积分常数： 由，得 由得 由得 各段挠曲线方程和转角方程为端截面转角 挠度取极值的条件是，即 跨度中点处挠度（c）如图所示，根据平衡条件，求出支座A的约束反力弯矩方程，挠曲线微分方程及其积分为 由边界条件和连续性条件确定积分常数： 由，得 由得 各段挠曲线方程和转角方程为端截面转角 挠度取极值的条件是，即 最大挠度产生在跨度中点处（d）如图所示，分布载荷集度，挠曲线微分方程及其积分 由边界条件和连续性条件确定积分常数： 由，得 由得 由得 由得 各段挠曲线方程和转角方程为挠度取极值的条件是，即 将代入挠曲线方程，得最大挠度端截面转角 跨度中点处挠度9. 19 和为常数，用积分法求悬臂梁自由端的挠度。 (a) (b)题9.19图解 (a) 当时 当时当时利用边界条件确定积分常数： 由，得 (1)由,，得 (2)由，得 (3)由，, 得 (4) 由，得 由，, 得 联立式(1)(4)，解得 所以BC段的挠曲线方程为 B端的挠度为(b)如下图所示，建立坐标系。 当时， 积分两次，得： 当时， 积分两次，得： 由边界条件确定积分常数： 当时，所以： 当时， 有： 所以： 当时， 即：B端的挠度值为（）9.20 和为常数，试用积分法求图示梁C截面的的挠度wC。 (a) (b) 题9.20图解：（a）如图所示，根据平衡条件，求出支座反力 弯矩方程，挠曲线微分方程及其积分为AD段 （0a） DB段 （a2a） BC段 （2a3a） 由边界条件和连续性条件确定积分常数： 由，得 由得 由得 由得 由得 由得 联立上面式子有各段挠曲线方程和转角方程为端截面转角 C处挠度 （b）如下图所示，以A为原点建立相应的坐标系。 对该结构进行受力分析，易得： 挠曲线微分方程及其积分：（1） 当时，有：积分两次，得： （2） 当时，有：积分两次，得： 由边界条件和连续性条件确定积分常数： 当时， 有： 当时， 截面C处的挠度值为 9.21 和为常数，试用积分法求图示梁C截面的的挠度wC和A截面的转角。(a) (b) 题9.21图解：（a）如下图所示，以A为坐标原点建立相应的坐标系： 该结构的等效受力图形为： 如上图所示，根据平衡条件，求出支座反力 弯矩方程，挠曲线微分方程及其积分为（1）AC段 （0x2a）积分两次得： （2）CB段 （2ax3a） 积分两次得： 由边界条件，得： 当x=0时，有： 当x=3a时， 即： 解得： 当x=2a时， 解得：所以： (b) 如下图所示，以A为坐标原点建立相应的坐标系： 该结构的等效受力图形为： 对上面结构进行受力分析，易得： 弯矩方程，挠曲线微分方程及其积分为： （1）AD段 时，有： （2）DC段 时，有： （3）CB段 时，有： 由边界条件确定积分常数(1) A点 时，有：（2）D点 时，有： 所以有：解得：（3）B点 时，有： （4）C点 时，有： 当时，有：即：梁C截面的的挠度wC和A截面的转角分别为：和。9.22 和为常数，试用叠加法求图示外伸梁的、及wA、wD。题9.22图解：设想沿截面B将外伸梁分成两部分，AB部分为悬臂梁，BC部分为简支梁，如下图所示：参照梁在简单荷载作用下的变形表得： 故： 所以有： 解毕。9.23 和为常数，试用叠加法求图示外伸梁中点的挠度wC。题9.23图解：题中BD段的受力可以等效为：其中： 参照梁在简单荷载作用下的变形表得：由M1引起的C处的挠度为：由M2引起的C处的挠度为：所以，C处的总挠度值为： 9.24 如图所示为一变截面悬臂梁，受到集中载荷F的作用，抗弯刚度分别为EIz和2EIz。试求自由端A处截面的转角和挠度。题9.24图解：将两段分别刚化，如图（a）（b）（c）所示：参照梁在简单荷载作用下的变形表得： 截面A处的转角和挠度分别为：9.25 E为常数，试用叠加法计算图示各阶梯形梁的最大挠度。设惯性矩。 （a） （b） 题9.25图解：（a）显然，最大挠度在悬臂梁的端部取得。与习题9.24的解法相同， 其中，以及，端部的最大挠度为： （） （b）由于梁的受力与支座形式对称于中截面，梁的挠曲线也对称于该截面，其右半段的变形，与下图所示悬臂梁的变形相同 B端的变形由以下三部分构成： 参照梁在简单荷载下变形表，易得： 所以，中截面处得挠度值为： 9.26 图（a）所示简支梁，中段承受均布载荷作用，试用叠加法计算梁跨中点横截面的挠度。设弯曲刚度为常数。（提示：由于梁的受力与支座形式对称于截面，梁的挠曲线也对称于该截面，其右半段的变形，与图（b）所示悬臂梁的变形相同）题9.26图解：由提示可知，（b）图中端部B的位移等于（a）图中点C点的挠度。查梁在简单荷载作用下的变形表可得： 易得：截面B处的挠度值为 所以截面C处的挠度大小为：9.27 在如图示悬臂梁，弯曲刚度为常数，求B截面的挠度及转角wB。题9.27图解：将两段分别刚化，得相应的受力图：参照简单荷载下的梁的挠度与转角对照表可得： 故有： 9.28 在图示悬臂梁上，载荷可沿梁轴移动。如欲使载荷在移动中始终保持相同的高度，则此梁应预弯成什么形状？设弯曲刚度为常数。题9.28图解：设悬臂梁曲线的方程为，当载荷F移动到x处时，悬臂梁在力F作用点处的挠度为，欲使载荷移动时总保持同一高度即沿水平（x轴）方向，则必须即 9.29 滚轮沿简支梁移动时，要求滚轮恰好走过一条水平路径，试问须将梁的轴线预先弯成怎样的曲线？设EI=常数。题9.29图解:集中力作用下的简支梁，其力作用点的挠度查表得：欲使滚轮走水平路径，则集中力作用点的预制高度值，应恰好和直梁对应点的挠度相等，所以预弯成的曲线方程应当就是直梁受集中力时的挠度