概率论与数理统计统计课后习题答案_总主编_邹庭荣_主编_程述汉_舒兴明_.doc

概率论与数量统计课后答案第一章习题解答1解：（1） =0，1，10；（2） =0，1，100，其中为小班人数； （3） =, , ,其中表示击中，表示未击中； （4） =（）|1。2解：（1）事件表示该生是三年级男生，但不是运动员； （2）当全学院运动员都是三年级学生时，关系式CB是正确的；（3）全学院运动员都是三年级的男生，ABC=C成立；（4）当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，=B成立。3解：（1）ABC；（2）AB；（3）；（4）；（5）；（6）;(7);(8)4解：因ABCAB，则P（ABC）P（AB）可知P（ABC）=0所以A、B、C至少有一个发生的概率为P（ABC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=31/4-1/8+0=5/85解：（1）P（AB）= P（A）+P（B）-P（AB）=0.3+0.8-0.2=0.9=P（A）-P（AB）=0.3-0.2=0.1（2）因为P（AB）= P（A）+P（B）-P（AB）P（A）+P（B）=+,所以最大值maxP（AB）=min(+,1)；又P（A）P（AB），P（B）P（AB）,故最小值min P（AB）=max(,)6解：设A表示事件“最小号码为5”，B表示事件“最大号码为5”。由题设可知样本点总数，。所以； 7解：设A表示事件“甲、乙两人相邻”， 若个人随机排成一列，则样本点总数为， 若个人随机排成一圈.可将甲任意固定在某个位置，再考虑乙的位置。表示按逆时针方向乙在甲的第个位置， 。则样本空间= ，事件A= 所以 8解：设A表示事件“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中有数8”，则其对立事件表示“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中没有数8”，即号码中每一位都可从除8以外的其他9个数中取，因此包含的基本事件数为，样本点总数为。故 9解：设A、B、C分别表示事件“恰有2件次品”、“全部为正品”、“至少有1件次品”。由题设知样本点总数，, 而，所以10解：设A、B、C、D分别表示事件“5张牌为同一花色”、“3张同点数且另2张牌也同点数”、“5张牌中有2个不同的对（没有3张同点）”、“4张牌同点数”。样本点总数，各事件包含的基本事件数为 故所求各事件的概率为：11解： （1） （2） （3） 12解：令A=两件产品中有一件是废品，B=两件产品均为废品，C=两件产品中有一件为合格品，D=两件产品中一件是合格品，另一件是废品。则 所求概率为：（1） （2） 13解：设A、B、C分别表示事件甲、乙、丙得病，由已知有：P（A）=0.05 P（B|A）=0.4 P（C|AB）=0.8 则甲、乙、丙均得病的概率为：P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）=0.01614解：令 B=从乙团中随机选一人是中国人，则：由全概率公式有：15解：令A=天下雨，B=外出购物 则：P（A）=0.3 ， P（B|A）=0.2 ，P（B|）=0.9（1） P（B）=P（A）P（B|A）+P（）P（B|）=0.69（2） P（A|B）=16解：令A=学生知道答案，B=学生不知道答案，C=学生答对P（A）=0.5 PB=0.5 P（C|A）=1 P（C|B）=0.25由全概率公式：P（C）=P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B） =0.5+0.50.25=0.625所求概率为：P（A|C）=17解：令事件 则（1）（2）18证明：因 则经整理得：即事件A与B 相互独立。19解：由已知有 ，又A、B相互独立，所以A与相互独立；与B相互独立。则可从上式解得：P（A）=P（B）=1/220解：设“密码被译出”，“第i个人能译出密码”，i =1,2,3则又相互独立，因此21解：设“第次试验中A出现”， 则此4个事件相互独立。由题设有： 解得P（A）=0.222解：设A、B、C分别表示事件：甲、乙、丙三门大炮命中敌机，D表示敌机被击落。于是有 D= 故敌机被击落的概率为：=0.90223解：设A、B、C分别表示事件：甲、乙、丙三人钓到鱼，则P（A）=0.4，P（B）=0.6，P（C）=0.9（1） 三人中恰有一人钓到鱼的概率为：=0.40.40.1+0.60.60.1+0.60.40.9=0.268（2） 三人中至少有一人钓到鱼的概率为： =1-0.60.40.1 =0.97624解：设D=“甲最终获胜”，A=“第一、二回合甲取胜”；B=“第一、二回合乙取胜”；C=“第一、二回合甲、乙各取胜一次”。则： 由全概率公式得： 所以 P（D）=25解：由题设500个错字出现在每一页上的机会均为1/50，对给定的一页，500个错字是否出现在上面，相当于做500次独立重复试验。因此出现在给定的一页上的错字个数服从二项概率公式，所以所求概率为： P=26解：设A=“厂长作出正确决策”。每个顾问向厂长贡献意见是相互独立的，因此5个顾问向厂长贡献正确意见相当于做5 次重复试验，则所求概率为： P（A）=0.3174第二章习题解答1.设与分别是随机变量X与Y的分布函数,为使是某个随机变量的分布函数, 则的值可取为( A ). A. B. C. D. 2. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个产品中的次品数的分布律.解：因为随机变量这4个产品中的次品数的所有可能的取值为：0，1，2，3，4.且；.因此所求的分布律为：X01234P0.28170.46960.21670.03100.00103 如果服从0-1分布, 又知取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出的分布律和分布函数.解：设，则.由已知，所以的分布律为：X01P1/32/3当时，；当时，；当时，.的分布函数为： .4. 一批零件中有7个合格品，3个不合格品，安装配件时，从这批零件中任取一个，若取出不合格品不再放回，而再取一个零件，直到取得合格品为止，求在取出合格品以前，已取出不合格品数的概率分布. 解：设X=在取出合格品以前，已取出不合格品数.则X的所有可能的取值为0，1，2，3.；.所以X的概率分布为：X01 2 3P7/107/30 7/120 1/1205. 从一副扑克牌（52张）中发出5张，求其中黑桃张数的概率分布. 解：设X其中黑桃张数.则X的所有可能的取值为0，1，2，3，4，5.；.所以X的概率分布为：X01 2 3 4 5P0.22150.4114 0.2743 0.0815 0.0107 0.00056. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p, 当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间生产的合格品数的概率函数.解：由已知，所以.7. 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿是相互独立的，且红、绿两种信号显示时间相同. 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数. 求X的概率分布.解：的所有可能的取值为0，1，2，3.且；所以X的概率分布为X0123P1/21/41/81/88. 一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训，据以前的培训情况，估计大约有4%的培训者不能完成培训任务. 求：（1） 恰有6个人不能完成培训的概率；（2） 不多于4个的概率. 解：设X不能完成培训的人数.则，（1）;（2）.9. 一批产品的接收者称为使用方，使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率p接受一批产品的概率. 假设你是使用方，允许次品率不超过，你方的验收标准为从这批产品中任取100个进行检验，若次品不超过3个则接受该批产品. 试求使用方风险是多少？（假设这批产品实际次品率为0. 06）. 解：设X100个产品中的次品数，则，所求概率为.10. 甲、乙两人各有赌本30元和20元，以投掷一枚均匀硬币进行赌博. 约定若出现正面，则甲赢10元，乙输10元；如果出现反面，则甲输10元，乙赢10元. 分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数.解：设投掷一次后甲的赌本，投掷一次后乙的赌本.则的取值为20，40，且，所以与的分布律分别为： 20 40 10 30 1/2 1/2 1/2 1/2 , 11. 设离散型随机变量的概率分布为：（1）； （2），分别求（1）、（2）中常数的值. 解：（1）因为即 ，所以.(2) 因为 即，所以 .12. 已知一电话交换台服从的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次传唤的概率；（2）每分钟传唤次数大于8次的概率.解：设X每分钟接到的传唤次数，则，查泊松分布表得（1）；（2）.13. 一口袋中有5个乒乓球，编号分别为1、2、3、4、5，从中任取3个，以示3个球中最小号码，写出的概率分布.解：的所有可能的取值为1，2，3.；.所以X的概率分布为：X123P6/103/101/1014. 已知每天去图书馆的人数服从参数为的泊松分布. 若去图书馆的读者中每个人借书的概率为，且读者是否借书是相互独立的. 求每天借书的人数X的概率分布. 解：设每天去图书馆的人数,则，当时，即X的概率分布为.15. 设随机变量的密度函数为，且，试求常数和. 解：；，由得，16. 服从柯西分布的随机变量的分布函数是F(x)=A+B, 求常数A, B; 以及概率密度f(x).解：由得.所以；.17. 设连续型随机变量的分布函数为求：（1）常数的值；（2）的概率密度函数；（3）. 解：（1）由的连续性得即，所以，；（2）；（3）.18. 设随机变量的分布密度函数为试求：（1）系数；（2）；（3）的分布函数. 解：（1）因为所以，； （2）；(3) 当时，当时，当时，所以 19. 假设你要参加在11层召开的会议，在会议开始前5 min你正好到达10层电梯口，已知在任意一层等待电梯的时间服从0到10 min之间的均匀分布. 电梯运行一层的时间为10 s，从11层电梯口到达会议室需要20 秒. 如果你不想走楼梯而执意等待电梯，则你能准时到达会场的概率是多少？解：设=在任意一层等待电梯的时间,则，由题意，若能准时到达会场，则在10等电梯的时间不能超过4.5 min，所求概率为.20. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间（min）服从的指数分布. 某顾客在窗口等待服务，若超过10 min，他就离开. 若他一个月到银行5次，求：(1) 一个月内他未等到服务而离开窗口的次数的分布；(2) 求. 解：（1）由已知，其中所以的分布为；（2）.21. 设随机变量，求使： （1）；（2）. 解：由得（1）查标准正态分布表得：，所以；（2）由得，所以即，查标准正态分布表得，所以22. 设，求. 解：由得；.23. 某地8月份的降水量服从的正态分布，求该地区8月份降水量超过250 的概率. 解：设随机变量该地8月份的降水量，则，从而所求概率为24. 测量某一目标的距离时，产生的随机误差服从正态分布，求在3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 的概率. 解：由得设在3次测量中误差的绝对值不超过30 的次数，则其中所以P3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 =25. 已知测量误差，X的单位是mm，问必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过的概率大于0. 9. 解：设必须进行n次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过的概率大于0. 9.由已知，设n次测量中，绝对误差不超过的次数，则其中所求概率为，即，解之得，必须进行3次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过的概率大于0. 9.26. 参加某项综合测试的380名学生均有机会获得该测试的满分500分. 设学生的得分，某教授根据得分将学生分成五个等级：A级：得分；B级：；C级：；D级：；F级：. 已知A级和C级的最低得分分别为448分和352分，则： （1）和是多少？（2）多少个学生得B级？解：（1）由已知，解之得（2）由于0.3413380=129.66，故应有130名学生得B级。27. 已知随机变量的概率分布如下， -1 0 1 2 0. 2 0. 25 0. 30 0. 25 求及的概率分布. 解：的所有可能的取值为4，1，-2，-5.且；.所以的分布律为-5 -2 1 40.25 0.3 0.25 0.2的所有可能的取值为1，2，5且；.所以的分布律为 1 2 50.25 0.5 0.2528. 设随机变量，求的密度函数.解：由XN(0,1)，得 ，设的分布函数为FY(y)，则当y1时，；当y0时Z的密度函数为当时，所以第四章习题解答1设随机变量XB（30，），则E（X）( D ). A.； B.； C.； D.5.2已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间-1，3和2，4上服从均匀分布，则E(XY)=（ A ）.A. 3；B. 6； C. 10； D. 12. 因为随机变量X和Y相互独立所以3设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X2的数学期望E(X 2)_18.4_4某射手有3发子弹，射一次命中的概率为，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽设表示X耗用的子弹数求E（X）.解：X123P2/32/91/95设X的概率密度函数为求 解：,.6设随机向量(X，Y)的联合分布律为：YX-112-10.250.10.320.150.150.05求 解：X-12P0.650.35.Y-112P0.40.250.357设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为求（1）; (2) . 解：8设随机变量X与Y相互独立，且D(X)=1，D(Y)=2，则D(X-Y)= 3 .9设正方形的边长在区间0，2服从均匀分布，则正方形面积A=X2的方差为_64/45_. X的密度函数10设随机变量X的分布律为X-1012P1/51/21/51/10求 D(X). 解：，,.11设随机变量X的概率密度函数为，求D(X )解：，.12设随机变量X，Y相互独立，其概率密度函数分别为 求D(X )，D(Y )，D(X-Y )解：由本章习题5知，于是有.由知.由于随机变量X，Y相互独立，所以.13设D(X)=1,D(Y)=4,相关系数，则cov(X,Y)=_1_.cov(X,Y)=14设二维随机变量(X, Y )的联合密度函数为求cov(X,Y )， 解：,.由对称性 , .cov(X,Y )=15设二维随机变量(X, Y )有联合概率密度函数试求E(X)，E(Y)，cov(X, Y)， 解：,由对称性.,cov(X,Y )= .,. 由对称性.16设X, Y相互独立，XN(0，1)，Y N(1，2)，Z = X+2Y，试求X与Z的相关系数解：,.17设随机变量(5,3)，Y在0，6上服从均匀分布，相关系数，求（1）；（2）.解：,18设二维随机向量（X，Y）的概率密度为求（1）E（XY）；（2）E（XY）；（3）. 解：; cov(X,Y )= ，第五章习题解答 1. 设随机变量X的方差为2，则根据车比雪夫不等式有估计 1/2 . 2. 随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，相关系数为-0.5，则根据车比雪夫不等式有估计 1/12 . 3. 电站供应一万户用电设用电高峰时，每户用电的概率为09，利用中心极限定理，（1）计算同时用电的户数在9030户以上的概率；（2）若每户用电200 w，电站至少应具有多大发电量才能以095的概率保证供电？ 解： 设表示用电户数，则 由中心定理（定理4）得 设发电量为，依题意即 4. 某车间有150台同类型的机器，每台机器出现故障的概率都是002，设各台机器的工作是相互独立的，求机器出现故障的台数不少于2的概率解：设表示机器出故障的台数，则 5.用一种对某种疾病的治愈率为80%的新药给100个患该病的病人同时服用，求治愈人数不少于90的概率解：设表示治愈人数，则 其中 6. 设某集成电路出厂时一级品率为0.7，装配一台仪器需要100只一级品集成电路，问购置多少只才能以99.9%的概率保证装该仪器是够用(不能因一级品不够而影响工作)解：设购置台，其中一级品数为，有 7. 分别用切比雪夫不等式与隶美弗拉普拉斯中心极限定理确定：当掷一枚硬币时，需要掷多少次，才能保证出现正面的频率在0.40.6之间的概率不小于90%解：设投，其中正面出现的次数为，由切贝雪夫不等式只要 中心极限定理8. 某螺丝钉厂