利用导数研究函数的极值.ppt

3.3 3.3.2 利用导数研究函数的极值,理解教材新知,把握热点考向,应用创新演练,考点一,考点二,第三章 导数及其应用,考点三,知识点一,知识点二,考点四,33.2 利用导数研究函数的极值,在群山之中，各个山峰的顶端， 虽然不一定是群山的最高处，但它却 是其附近所有点的最高点同样，各 个谷底虽然不一定是群山之中的最低 处，但它却是附近所有点的最低点群山的最高处是所有山峰中的最高者的顶部，群山中的最低处是所有谷底中的最低者的底部如图是函数yf(x)的图象,问题1：yf(x)在xa处的导数f (a)等多少？ 提示：f(a)0. 问题2：当xa时，f(x)取最大值吗？ 提示：不是，但f(a)比xa附近的函数值都大 问题3：在xa附近两侧导数f(x)的符号有什么特点？ 提示：左侧f(x)0，右侧f(x)0.,1极值点与极值的概念 已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作 ，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作 ，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点 极大值与极小值统称为极值， 和 统称为极值点,f(x)f(x0),y极大值f(x0),f(x)f(x0),y极小值f(x0),极大值点,极小值点,2求可导函数yf(x)极值的步骤 (1)求导数f(x)； (2)求方程 的所有实数根； (3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧， 导函数f(x)的符号如何变化，如果f(x)的符号 ， 则f(x0)是极大值；如果f(x)的符号 ，则f(x0)是极 小值 如果在f(x)0的根xx0的左右侧符号 ，则f(x0) 不是极值,f(x)0,由正变负,由负变正,不变,假设函数yf(x)、yg(x)、yh(x)在闭区间a，b的图象都是一条连续不断的曲线(如下图所示),问题1：这三个函数在a，b上一定能取得最大值与最小值吗？ 提示：能 问题2：函数的极值一定是最大值或最小值吗？ 提示：不一定，最大值或最小值也可能是区间端点的函数值 问题3：如何求函数的最大值和最小值？ 提示：比较极值与端点的函数值，最大的为最大值，最小的为最小值,1函数在闭区间a，b上的最值 假设函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是 的曲线，该函数在a，b一定能够取得最大值与最小值，若函数在(a，b)是可导的，该函数的最值必在 或 取得 2求可导函数yf(x)在a，b的最大(小)值的步骤 (1)求f(x)在开区间(a，b)内所有 ； (2)计算函数f(x)在 和 函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值,一条连续,不断,极值点,区间端点,极值点,极值点,端点的,1一个点为函数的极值点不但满足此点处导数值为零，还要满足在此点附近左右两侧函数的单调性相反，单调性一致时，不能作为极值点，如f(x)x3，x0满足f(0)0，但x0不是极值点 2函数的极值是一个局部概念，它反映的是某个点的函数值与它附近的函数值的大小情况 3在定义域的某个区间内极大值或极小值并不一定唯一，也可能不存在极值，并且极大值不一定大于极小值,4函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值至多只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值,思路点拨 解答本题可先求使f(x)0成立的点，再结合定义域研究这些点附近左右两侧函数的单调性，进而判断极值,一点通 求极值的方法： (1)求f(x)0在函数定义域内的所有根； (2)用方程f(x)0的根将定义域分成若干小区间，列表； (3)由f(x)在各个小区间内的符号，判断f(x)0的根处的极值情况,1函数y2x2x3的极值情况是 ( ) A有极大值，没有极小值 B有极小值，没有极大值 C既无极大值也无极小值 D既有极大值又有极小值,答案：D,解：(1)函数f(x)x33x29x5的定义域为R，且f(x)3x26x9.解方程3x26x90，得x11，x23. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化状态如下表： 因此，x1是函数的极大值点，极大值为f(1)10；x3是函数的极小值点，极小值为f(3)22.,例2 已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10.求常数a，b的值 思路点拨 由函数f(x)在x1处有极值10，可得f(1)0且f(1)10，由此列出方程求a，b的值，但还要注意检验求出的a，b的值是否满足函数取得极值的条件,一点通 已知函数极值，确定函数的解析式中的参数时，注意以下两点： (1)根据极值点的导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解 (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性,答案： 3,4已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且 f(1)1， (1)试求常数a、b、c的值； (2)试判断x1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由,一点通 求函数在闭区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点： (1)对函数进行准确求导； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值； (3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论,答案：C,例4 已知f(x)ln xxa，x(0,2 若f(x)a23对任意的x(0,2恒成立，求实数a的取值范围,一点通 解决恒成立问题常用的方法是转化为求函数的最值问题，通过分离参数，要使mf(x)恒成立，只要m大于f(x)的最大值即可；同理，要使mf(x)恒成立，只需mf(x)的最小值即可,7已知不等式exxa对任意xR恒成立，求a的取值范围 解：令f(x)exx，则f(x)ex1， 由f(x)0得x0，由f(x)0得x0， f(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数， x0时f(x)取最小值f(0)1，由于aexx对任意xR恒 成立 a1，即a的取值范围为(，1,8设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0) (1)求f(x)的最小值h(t)； (2)若h(t)0)， 当xt时，f(x)取得最小值f(t)t3t1， 即h(t)t3t1. (2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t) 3t230得t11，t21(不符合题意，舍去)列表：,g(t)在(0,2)内有最大值g(1)1m. h(t)2tm在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒 成立， 即等价于1m0. m的取值范围为(1，),1若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间(a，b)上的单调函数没有极值 2在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时，若方程f(x)0的实数根较多时，应注意使用表格，使极值点的确定一目了然,3求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数值为0